紧空间

在ざい数学すうがく中なか，如果欧おう几里得とく空そら间 Rⁿ 的てき子こ集しゅう是これ閉集合しゅうごう且是有界ゆうかい的てき，那な么称它是紧致的てき。例れい如，在ざいR中なか，单位区く间[0, 1]是ぜ紧致的てき，但ただし整数せいすう集合しゅうごうZ不ふ是ぜ（它不是ぜ有界ゆうかい的てき），半はん开区间[0, 1)也不是ぜ（它不是ぜ闭合的てき）。

另一個定義方式是如果對於一个度量どりょう空間くうかん的てき所有しょゆう开覆盖，都と可か以找到有限ゆうげん的てき子こ覆くつがえ盖，則のり稱しょう此度量どりょう空間くうかん是これ紧致的てき。根據こんきょ海うみ涅-博ひろし雷かみなり尔定理ていり，这个定てい义在欧おう几里得とく空そら间中等ちゅうとう价于“閉集且有界かい”。

注意ちゅうい：某ぼう些作者しゃ如布ぬの尔巴基もと使用しよう术语“预紧致”，并把“紧致”保留ほりゅう给是豪ごう斯多夫おっと空そら间并且“预紧致”的てき拓つぶせ扑空间。一个单一的紧致集合有时称为紧统（compactum）。在ざい法語ほうご的てき數學すうがく著作ちょさく中ちゅう，quasi-compact是ぜ指ゆび緊緻，compact是ぜ指ゆび緊緻且豪斯多夫おっと，不同ふどう於英語ご。

历史和わ动机

术语“紧致”是これ莫里斯·弗どる雷かみなり歇在ざい1906年ねん介入かいにゅう的てき。

很久以来いらい就认识到了りょう像ぞう紧致性せい这样的てき性せい质对于证明あかり很多有用ゆうよう的てき定理ていり是ぜ必需ひつじゅ的てき。最初さいしょ“紧致”意味いみ着ぎ“序列じょれつ紧致”（所有しょゆう序列じょれつ都みやこ有ゆう收おさむ敛子序列じょれつ）。这是在ざい研究けんきゅう主要しゅよう的てき度量どりょう空そら间的てき时候。“覆くつがえ盖紧致”定てい义已经变得どく更さら加か突出とっしゅつ，因いん为它允まこと许我们考虑更一般的拓扑空间，并且关于度量どりょう空そら间的很多已やめ有ゆう结果可か以推广到这种设置。这种推广在ざい研究けんきゅう函数かんすう空そら间的てき时候特とく别有用よう，它们很多都と不ふ是ぜ度量どりょう空そら间。

研究けんきゅう紧致空そら间的主要しゅよう原因げんいん之の一是因为它们以某种方式类似于有限ゆうげん集合しゅうごう：有ゆう很多结果易えき于对有限ゆうげん集合しゅうごう证明，其证明あきら可か以通过极小しょう的てき变动就转移うつり到いた紧致空そら间上。常つね说“紧致性せい是ぜ在ざい有限ゆうげん性せい之の后きさき最さい好このみ的てき事情じじょう”。例れい如：

• 假かり设X是これ豪ごう斯多夫おっと空そら间，我わが们有一いち个X中なか的てき点てんx和かず不ふ包含ほうがんx的てきX的てき有限ゆうげん子こ集しゅうA。则我们可以通过邻域来き分ぶん离x和わA:对于每ごと个A中なか的てきa，设U(x)和わ V(a)分ぶん别是包含ほうがんx和わa的てき不ふ相あい交的邻域系けい统。则所有しょゆうU(x)的てき交集和わ所有しょゆうV(a)的てき并集就是要求ようきゅう的てきx和わA的てき邻域。

注意ちゅうい如果A是これ无限的てき，则证明あかり失しつ败，因いん为任意にんい多た个x的てき邻域的てき交集可能かのう不ふ是ぜx的てき邻域。但ただし这个证明是ぜ可か以挽救すくい的てき，如果A是ぜ紧致的てき：我わが们可以简单的选取A的てき覆くつがえ盖{V(a)}的てき有限ゆうげん子こ覆くつがえ盖。在ざい这种方式ほうしき下か，我わが们看到いた在ざい豪ごう斯多夫おっと空そら间中，任にん何なん点てん都と可か以通过不包含ほうがん它的任にん何なん紧致集合しゅうごう的てき邻域来らい分ぶん离。事こと实上，重じゅう复这个论证证明あきら了りょう在ざい豪ごう斯多夫おっと空そら间中任にん何なん两个不ふ相あい交紧致集合しゅうごう可か以通过领域いき来らい分ぶん离 -- 注意ちゅうい这正好こう就是我わが们在豪ごう斯多夫おっと分ぶん离公理こうり中なか把わ“点てん”（就是单元素げんそ集合しゅうごう）替がえ代だい为“紧致集合しゅうごう”所得しょとく到いた的てき。涉わたる及紧致空间的很多论证和わ结果都と服ふく从这个模式しき。

在ざい度量どりょう空そら间中，所有しょゆう的てき有限ゆうげん集あつまり都と有ゆう最大さいだい与あずか最小さいしょう元素げんそ。一般いっぱん而言，无限集しゅう可能かのう不ふ存在そんざい最大さいだい或ある最小さいしょう元素げんそ（比ひ如R中なか的てき(0, 1)），但ただしR中なか的てき非ひ空そら紧子集あつまり都と有ゆう最さい大和やまと最小さいしょう元素げんそ。在ざい很多情たじょう况下，对有限げん集しゅう成立せいりつ的てき证明可か以扩展てん到いた緊緻集しゅう。一个简单的例子是对以下性质的证明：定てい义在緊緻集しゅう上じょう的てき连续实值函数かんすう是ぜ一致いっち连续的てき。

定てい义

欧おう几里得とく空そら间中的てき紧致性せい

对于欧おう几里得とく空そら间Rⁿ的てき子こ集しゅう，下しも列れつ四个条件是等价的：

• 所有しょゆう开覆盖都みやこ有ゆう有限ゆうげん子こ覆くつがえ盖。这是最さい常用じょうよう的てき定てい义。
• 所有しょゆう在ざい这个集合しゅうごう中ちゅう的てき序列じょれつ都みやこ有ゆう收おさむ敛子こ序列じょれつ，且它的てき极限点てん属ぞく于这个集合しゅうごう。
• 这个集合しゅうごう的てき所有しょゆう无限子こ集しゅう有ゆう在ざい这个集合しゅうごう中ちゅう的てき聚集点てん。
• 这个集合しゅうごう是ぜ闭合与あずか有界ゆうかい的てき。这是最さい容易ようい验证的てき定てい义，例れい如闭区く间或ある闭n维球。

在ざい其他空そら间中，这些条件じょうけん等とう价与否いな依よ赖于这个空そら间的性せい质。

注意ちゅうい尽つき管かん紧致性せい是ぜ集合しゅうごう自身じしん（和わ它的拓つぶせ扑）的てき性せい质，闭合性せい是ぜ相しょう对于它所在しょざい的てき空そら间的；上面うわつら的てき“闭合”是ぜ在ざい闭合于Rⁿ中なか的てき意い义上使用しよう的てき。比ひ如闭合あい在ざいQⁿ中なか的てき集合しゅうごう典型てんけい的てき不ふ闭合在ざいRⁿ中なか，因いん此不是ぜ紧致的てき。

拓つぶせ扑空间中的てき紧致性せい

上段じょうだん中ちゅう的てき“有限ゆうげん子こ覆くつがえ盖”性せい质要比ひ“閉集与あずか有界ゆうかい”更さら加か抽象ちゅうしょう，但ただし是ぜ它在用よう于 Rⁿ 的てき子こ集しゅう的てき子こ空そら间拓扑时有明ありあけ显的好こう处，省はぶけ去ざ了りょう使用しよう度量どりょう或ある周しゅう围（ambient）空そら间的需要じゅよう。因よし此紧致性是ぜ个拓つぶせ扑性质。闭区间[0,1]在ざい某ぼう种意义上是ぜ本ほん质上紧致性せい的てき，不ふ论它是ぜ如何いか嵌入かんにゅうR或あるRⁿ中なか的てき。

拓つぶせ扑空间 X 被ひ定てい义为紧致的てき，如果它的所有しょゆう开覆盖都有ゆう至いたり少しょう一个有限的子覆盖。也就是ぜ說せつ：

X 是ぜ緊緻的てき，如果对于任意にんい一いち个由 X 的まと開ひらき子こ集しゅう构成的てき集合しゅうごう族ぞく C，使つかい得とく

$X=\bigcup _{x\in C}x$

总存在そんざい一いち个 C 的てき有限ゆうげん子こ集しゅう F，使つかい得とく

$X=\bigcup _{x\in F}x$

其他緊緻的てき等價とうか定義ていぎ利用りよう了りょう有限ゆうげん交集性せい质，如果拓ひらけ樸しらき空間くうかん X 滿足まんぞく下面かめん這條件じょうけん則そく X 為ため緊緻空間くうかん：如果 ${\mathcal {C}}$ 為ため X 中ちゅう任意にんい一いち個こ閉子集しゅう的てき集しゅう族ぞく 且满足あし有限ゆうげん交集性せい质，則のり集しゅう族ぞく ${\mathcal {C}}$ 中ちゅう所有しょゆう元素げんそ的てき交集為ため非ひ空そら集合しゅうごう。。这个定てい义对偶于使用しよう开集的てき定てい义。

某ぼう些作者しゃ要求ようきゅう紧致空そら间还是ぜ豪ごう斯多夫おっと的てき，并把非ひ豪ごう斯多夫おっと的てき紧致性せい叫さけべ做预紧致。

度量どりょう空そら间中的てき紧致性せい

在ざい度量どりょう空そら间内うち，緊緻集しゅう可か以定义为满足以下いか任にん一いち条件じょうけん的てき集合しゅうごう：

• 任意にんい序列じょれつ有ゆう收おさむ敛子こ序列じょれつ且该子こ序列じょれつ的てき极限点てん属ぞく于该集合しゅうごう（自じ列れつ緊緻集しゅう）。
• 如果它的所有しょゆう开覆盖都有ゆう至いたり少しょう一个有限的子覆盖。
• 完かん备且完全かんぜん有界ゆうかい。

性せい质

緊緻集しゅう具有ぐゆう以下いか性せい质：

• 緊緻集しゅう必然ひつぜん是ぜ有界ゆうかい的てき闭集，但ただし反はん之これ不ふ一定いってい成立せいりつ。
• 緊緻集しゅう在ざい连续函数かんすう下した的てき像ぞう仍是緊緻集しゅう。
• 豪ごう斯多夫おっと空間くうかん的てき紧子集しゅう是ぜ闭集。
• 实数空そら间的非ひ空そら紧子集しゅう有ゆう最大さいだい元素げんそ和わ最小さいしょう元素げんそ。
• 在ざいRⁿ内うち，一个集合是緊緻集当且仅当它是闭集并且有界ゆうかい。（海うみ涅-博ひろし雷かみなり尔定理ていり）
• 定てい义在緊緻集しゅう上じょう的てき连续实值函数かんすう有界ゆうかい且有最大さいだい值和最小さいしょう值。
• 定てい义在緊緻集しゅう上じょう的てき连续实值函数かんすう一致いっち连续。

其他形式けいしき的てき紧致性せい

• 列れつ緊緻集しゅう：每まい個こ序列じょれつ都みやこ有ゆう收おさむ歛的子こ序列じょれつ。
• 可か数すう緊緻集しゅう：每まい個こ可か數すう的てき開ひらけ覆くつがえ蓋ぶた都と有ゆう一個有限的子覆蓋。
• 伪紧：所有しょゆう的てき實じつ值連續れんぞく函數かんすう都と是ぜ有界ゆうかい的てき。
• 弱じゃく可か數すう緊緻：每まい個こ無窮むきゅう子こ集あつまり都と有ゆう極限きょくげん點てん。

在ざい度量どりょう空そら间中ちゅう，以上いじょう概念がいねん均等きんとう价于緊緻集しゅう。

以下いか概念がいねん通常つうじょう弱じゃく于緊緻集：

• 相對そうたい緊緻：如果一いち個こ子こ空間くうかんY在ざい母はは空間くうかんX中なか的てき閉包へいほう是ぜ緊緻的てき，則のり稱しょうY是ぜ相對そうたい緊緻於X。
• 预緊緻集：若わか空間くうかんX的てき子こ空間くうかんY中なか的てき所有しょゆう序列じょれつ都と有ゆう一個收歛的子序列，則のり稱しょうY是これX中なか的てき预緊緻集。
• 局部きょくぶ緊緻空間くうかん：如果空間くうかん中ちゅう的てき每まい個こ點てん都と有ゆう個こ由よし緊緻鄰域組成そせい的てき局部きょくぶ基もと，則のり稱しょう這個空間くうかん是ぜ局部きょくぶ緊緻空間くうかん。

引用いんよう

• H.L. Royden Real Analysis（1988）Pearson Education, Inc. Delhi, India, ISBN 978-81-297-0105-3
• 张恭庆，林はやし源はじめ渠みぞ，《泛函分析ぶんせき讲义》（1987）北京ぺきん大学だいがく出版しゅっぱん社しゃ，ISBN 978-7-301-00489-0
• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology（1978）Springer-Verlag, New York
• Countably compact. PlanetMath. 

相あい关条目め

• 拓つぶせ扑空间
• 度量どりょう空そら间
• 数学すうがく
• 集合しゅうごう论