三角さんかく恒等こうとう式しき

在ざい几何上じょう依よ据すえ以O为中心ちゅうしん的てき单位圆可以构造づくり角かくθしーた的てき很多三さん角かく函数かんすう

三角さんかく函數かんすう示しめせ意圖いと

幾いく個こ三さん角かく函數かんすう的てき圖形ずけい，分別ふんべつ為ため正弦せいげん、餘弦よげん、正せい切きり、餘よ切きり、正せい割わり、餘よ割わり和正かずまさ矢や。配色はいしょく與あずか上うえ圖ず相しょう同どう

单位圆的てき角度かくど

在ざい数学すうがく中なか，三角さんかく恒等こうとう式しき是ぜ对出现的所有しょゆう值都为實じつ变量，涉わたる及到三角さんかく函数かんすう的てき等式とうしき。这些恒等こうとう式しき在ざい表ひょう达式中有ちゅうう些三角函数需要简化的时候是很有用的。一个重要应用是非三角函数的积分：一个常用技巧是首先使用使用しよう三角函数的代换规则，则通过三角恒等式可简化结果的积分。

符号ふごう

为了避免由よし于$\sin ^{-1}x$的てき不同ふどう意思いし所しょ带来的てき混淆こんこう，我わが們經常用じょうよう下か列れつ兩個りゃんこ表ひょう格かく來らい表示ひょうじ三角さんかく函数かんすう的てき倒たおせ数すう和わ反はん函数かんすう。另外在がいざい表示ひょうじ余よ割わり函数かんすう時とき，'$\csc$'有ゆう时會寫うつし成なり比較ひかく长的'$\mathrm {cosec}$'。

函数かんすう			反はん函數かんすう			倒たおせ数すう
中ちゅう文ぶん	全ぜん寫うつし	簡寫	中ちゅう文ぶん	全ぜん寫うつし	簡寫	中ちゅう文ぶん	全ぜん寫うつし	簡寫
正弦せいげん	sine	sin	反はん正弦せいげん	arcsine	arcsin	餘よ割わり	cosecant	csc
餘弦よげん	cosine	cos	反はん餘弦よげん	arccosine	arccos	正せい割わり	secant	sec
正せい切きり	tangent	tan	反はん正せい切きり	arctangent	arctan	餘よ切きり	cotangent	cot
餘よ切きり	cotangent	cot	反はん餘よ切きり	arccotangent	arccot	正せい切きり	tangent	tan
正せい割わり	secant	sec	反はん正せい割わり	arcsecant	arcsec	餘弦よげん	cosine	cos
餘よ割わり	cosecant	csc	反はん餘よ割わり	arccosecant	arccsc	正弦せいげん	sine	sin

不同ふどう的てき角度かくど度量どりょう适合于不同ふどう的てき情じょう况。本ほん表ひょう展示てんじ最さい常用じょうよう的てき系けい统。弧こ度ど是ぜ缺かけ省しょう的てき角度かくど量りょう并用在ざい指数しすう函数かんすう中ちゅう。所有しょゆう角度かくど度量どりょう都と是ぜ无单位い的てき。另外在がいざい計算けいさん機き中ちゅう角度かくど的てき符號ふごう為ためD，弧こ度ど的てき符號ふごう為ためR，梯はしご度ど的てき符號ふごう為ためG。

相あい同どう角度かくど的てき轉換てんかん表ひょう

角度かくど單位たんい	值								計算けいさん機き中代なかだい號ごう
轉てん	$0$	${\frac {1}{12}}$	${\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {3}{4}}$	$1$	無む
角度かくど	$0^{\circ }$	$30^{\circ }$	$45^{\circ }$	$60^{\circ }$	$90^{\circ }$	$180^{\circ }$	$270^{\circ }$	$360^{\circ }$	D
弧こ度ど	$0$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$	R
梯はしご度ど	$0^{g}$	$33{\frac {1}{3}}^{g}$	$50^{g}$	$66{\frac {2}{3}}^{g}$	$100^{g}$	$200^{g}$	$300^{g}$	$400^{g}$	G

基本きほん關係かんけい

三角さんかく函數かんすう間あいだ的てき關係かんけい，可分かぶん成なり正せい函數かんすう和わ餘よ函數かんすう

畢達哥拉斯三さん角かく恒等こうとう式しき如下：

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$

$\tan ^{2}\theta +1\,=\sec ^{2}\theta$

$1\,+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta$

由よし上面うわつら的てき平方へいほう關係かんけい加か上じょう三さん角かく函數かんすう的てき基本きほん定義ていぎ，可か以導出どうしゅつ下面かめん的てき表ひょう格かく，即そく每まい個こ三角函數都可以用其他五個表達。（严谨地ち说，所有しょゆう根号こんごう前まえ都と应根据すえ实际情じょう况添加てんか正せい负号）

函數かんすう	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$	$\sec$	$\csc$
$\sin \theta$	$\sin \theta \$	${\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	${\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	${\frac {1}{\csc \theta }}$
$\cos \theta$	${\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\cos \theta \$	${\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	${\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$
$\tan \theta$	${\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\tan \theta \$	${\frac {1}{\cot \theta }}$	${\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	${\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$
$\cot \theta$	${{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} \over \sin \theta }$	${\cos \theta \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${1 \over \tan \theta }$	$\cot \theta \$	${1 \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$
$\sec \theta$	${1 \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${1 \over \cos \theta }$	${\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	${{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta }$	$\sec \theta \$	${\csc \theta \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$
$\csc \theta$	${1 \over \sin \theta }$	${1 \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }} \over \tan \theta }$	${\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$	${\sec \theta \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\csc \theta \$

其他函數かんすう的てき基本きほん關係かんけい

正せい矢や、餘よ矢や、半はん正せい矢や、半はん餘あまり矢や、外そと正せい割わり用よう於航行こうこう。例れい如半はん正せい矢や可か以計算けいさん球體きゅうたい上じょう的てき兩個りゃんこ點てん之の間あいだ的てき距離きょり，但ただし它們不ふ常用じょうよう。

名稱めいしょう	函數かんすう	值
正せい矢や, versine	$\operatorname {versin} \theta$ $\operatorname {vers} \theta$ $\operatorname {ver} \theta$	$1-\cos \theta$
餘よ的てき正せい矢や, vercosine	$\operatorname {vercosin} \theta$	$1+\cos \theta$
餘よ矢や, coversine	$\operatorname {coversin} \theta$ $\operatorname {cvs} \theta$	$1-\sin \theta$
餘よ的てき餘よ矢や, covercosine	$\operatorname {covercosin} \theta$	$1+\sin \theta$
半はん正せい矢や, haversine	$\operatorname {haversin} \theta$	${\frac {1-\cos \theta }{2}}$
餘よ的てき半はん正せい矢や, havercosine	$\operatorname {havercosin} \theta$	${\frac {1+\cos \theta }{2}}$
半はん餘あまり矢や, hacoversine cohaversine	$\operatorname {hacoversin} \theta$	${\frac {1-\sin \theta }{2}}$
餘よ的てき半はん餘あまり矢や, hacovercosine cohavercosine	$\operatorname {hacovercosin} \theta$	${\frac {1+\sin \theta }{2}}$
外そと正せい割わり，exsecant	$\operatorname {exsec} \theta$	$\sec \theta -1$
外そと餘よ割わり，excosecant	$\operatorname {excsc} \theta$	$\csc \theta -1$
弦つる函數かんすう, chord	$\operatorname {crd} \theta$	$2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$
純じゅん虛數きょすう指數しすう函數かんすう, cosine and imaginary unit sine	$\operatorname {cis} \theta$	$\cos \theta +i\;\sin \theta$
輻や角かく,Argument	$\arg x$	$\operatorname {Im} (\ln x)$

對稱たいしょう、移うつり位い和わ周期しゅうき

通過つうか檢視けんし單位たんい圓えん，可か確立かくりつ三角函數的下列性質，這些性質せいしつ也被稱たたえ為ため誘導ゆうどう公式こうしき：

對稱たいしょう

當とう三角函数反射自某个特定的$\theta$值，結果けっか經常けいじょう是ぜ另一个其他た三角さんかく函數かんすう。這導致了下か列れつ恆等こうとう式しき：

反射はんしゃ於$\theta =0$	反射はんしゃ於$\theta ={\tfrac {\pi }{4}}$	反射はんしゃ於$\theta ={\tfrac {\pi }{2}}$	反射はんしゃ於$\theta ={\tfrac {3\pi }{4}}$
${\begin{aligned}\sin(0-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(0-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(0-\theta )&=-\tan \theta \\\cot(0-\theta )&=-\cot \theta \\\sec(0-\theta )&=+\sec \theta \\\csc(0-\theta )&=-\csc \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=-\cos \theta \\\cos({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=-\sin \theta \\\tan({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\cot({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \\\sec({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=-\csc \theta \\\csc({\tfrac {3\pi }{2}}-\theta )&=-\sec \theta \end{aligned}}$

移うつり位い和わ周期しゅうき

通過つうか旋轉せんてん特定とくてい角度かくど移うつり位い三さん角かく函數かんすう，經常けいじょう可か以找到更さら簡單かんたん的てき表ひょう達たち结果的てき不同ふどう的てき三角さんかく函數かんすう。例れい如通過つうか旋轉せんてん${\tfrac {\pi }{2}}$、$\pi$和わ$2\pi$弧こ度ど移うつり位い函數かんすう。因よし爲ため這些函數かんすう的てき周期しゅうき要よう麼是$\pi$要よう麼是$2\pi$，所以ゆえん新しん函數かんすう和わ沒ぼつ有ゆう移うつり位い的てき舊きゅう函數かんすう完全かんぜん一いち樣よう。

移うつり位い${\tfrac {\pi }{2}}$	移うつり位い$\pi$	移うつり位い${\tfrac {3\pi }{2}}$	移うつり位い$2\pi$
	$\tan$和わ$\cot$的てき周期しゅうき		$\sin$, $\cos$, $\csc$和わ$\sec$的てき周期しゅうき
${\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=-\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=+\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=-\tan \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=+\csc \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {3\pi }{2}})&=-\sec \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \end{aligned}}$

角かく的てき和わ差さ恆等こうとう式しき

正弦せいげん與あずか餘弦よげん的てき角かく和わ公式こうしき的てき圖形ずけい證明しょうめい法ほう。使用しよう了りょう相似そうじ三角形的性質與三角函數的定義，強調きょうちょう的てき線せん段だん是ぜ單位たんい長ちょう度たび

正せい切きり的てき角かく和わ公式こうしき的てき圖形ずけい證明しょうめい法ほう。使用しよう了りょう相似そうじ三角形的性質與三角函數的定義，強調きょうちょう的てき線せん段だん是ぜ單位たんい長ちょう度ど。

又また稱たたえ做“和わ差さ定理ていり”、“和わ差さ公式こうしき”或ある“和わ角かく公式こうしき”。最さい簡要的てき檢定けんてい方式ほうしき是ぜ使用しよう歐おう拉ひしげ公式こうしき。

正弦せいげん	$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,$
余弦よげん	$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,$
正せい切きり	$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
余よ切きり	$\cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$
正せい割わり	$\sec(\alpha \pm \beta )={\frac {\sec \alpha \sec \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
余よ割わり	$\csc(\alpha \pm \beta )={\frac {\csc \alpha \csc \beta }{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$
注意ちゅうい正負せいふ號ごう的てき對應たいおう。 ${\begin{aligned}x\pm y=a\pm b&\Rightarrow \ x+y=a+b\\&{\mbox{and}}\ x-y=a-b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}x\pm y=a\mp b&\Rightarrow \ x+y=a-b\\&{\mbox{and}}\ x-y=a+b\end{aligned}}$

根ね据すえ$sin{\frac {\pi }{4}}=cos{\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$，以及和わ差さ恒等こうとう式しき，可か以得到いた同どう角かく的てき正弦せいげん余弦よげん的てき和わ差さ关系，例れい如，

$\sin \alpha +\cos \alpha ={\sqrt {2}}\left(\sin \alpha \cos {\frac {\pi }{4}}+\sin {\frac {\pi }{4}}\cos \alpha \right)={\sqrt {2}}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{4}}\right)$

$\sin \alpha -\cos \alpha ={\sqrt {2}}\left(\sin \alpha \cos {\frac {\pi }{4}}-\sin {\frac {\pi }{4}}\cos \alpha \right)={\sqrt {2}}\sin \left(\alpha -{\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}\cos \left(\alpha +{\frac {\pi }{4}}\right)$

正弦せいげん與あずか余弦よげん的てき無限むげん多項たこう和わ

$\sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{\mathrm {odd} \ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{|A|=k}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)$

$\cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{\mathrm {even} \ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{|A|=k}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)$

這里的てき"$|A|=k$"意味いみ著ちょ索引さくいん$A$遍歷へんれき集合しゅうごう$\left\{1,2,3,\ldots \right\}$的てき大小だいしょう為ため$k$的てき所有しょゆう子こ集しゅう的てき集合しゅうごう。

在ざい这两个恒等式とうしき中出なかいで现了在ざい有限ゆうげん多た项中不出ふしゅつ现的不ふ对称：在ざい每まい个乘积中，只ただ有ゆう有限ゆうげん多た个正弦せいげん因子いんし和わ餘よ有限ゆうげん多た个余弦よげん因子いんし。

如果只ただ有ゆう有限ゆうげん多た项$\theta _{i}$是非ぜひ零れい，则在右みぎ边只有ゆう有限ゆうげん多た项是非ぜひ零れい，因いん为正弦せいげん因子いんし将はた变为零れい，而在每ごと个项中ちゅう，所有しょゆう却有限げん多た的てき余弦よげん因子いんし将はた是ぜ单位一いち。

正せい切きり的てき有限ゆうげん多た项和

设$x_{i}=\tan \theta _{i}$，对于$i=1,\ldots ,n$。设$e_{k}$是ぜ变量$x_{i}$，$i=1,\ldots ,n$，$k=0,\ldots ,n$的てき$k$次つぎ基本きほん对称多た项式。则

$\tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},$

项的数すう目もく依よ赖于$n$。例れい如，

${\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\\\&{}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}$

并以此类推。一般情况可通过数学すうがく归纳法ほう证明。

多た倍角ばいかく公式こうしき

$T_{n}$是これ$n$次つぎ切きり比ひ雪夫ゆきお多た项式	$\cos n\theta =T_{n}\cos \theta \,$
$S_{n}$是これ$n$次つぎ伸展しんてん多た项式	$\sin ^{2}n\theta =S_{n}\sin ^{2}\theta \,$
棣莫弗どる定理ていり，$i$是これ虚きょ单位	$\cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}\,$

$1+2\cos x+2\cos 2x+2\cos 3x+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left[\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right]}{\sin {\frac {x}{2}}}}$。

（這個$x$的てき函數かんすう是ぜ狄利克かつ雷かみなり核かく。）

雙そう倍角ばいかく、三さん倍ばい角すみ和かず半角はんかく公式こうしき

這些公式こうしき可か以使用しよう和わ差さ恒等こうとう式しき或ある多倍たばい角かく公式こうしき来き证明。

		弦つる	切きり	割わり
雙そう倍角ばいかく公式こうしき	正ただし	${\begin{aligned}\sin 2\theta &=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\tan 2\theta &={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\ \\&={\frac {1}{1-\tan \theta }}-{\frac {1}{1+\tan \theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sec 2\theta &={\frac {\sec ^{2}\theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\\&={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}\end{aligned}}$
	餘よ	${\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cot 2\theta &={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\\&={\frac {\cot \theta -\tan \theta }{2}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\csc 2\theta &={\frac {\csc ^{2}\theta }{2\cot \theta }}\\&={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}\end{aligned}}$
降くだ次じ公式こうしき	正ただし	$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}$	$\tan ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{1+\cos 2\theta }}$
	餘よ	$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}$	$\cot ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{1-\cos 2\theta }}$
三さん倍角ばいかく公式こうしき	正ただし	${\begin{aligned}\sin 3\theta &=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \\&=4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\tan 3\theta &={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}\\&=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sec 3\theta &={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}\\&={\dfrac {1}{4\cos \theta \cos \left({\dfrac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\dfrac {\pi }{3}}+\theta \right)}}\end{aligned}}$
	餘よ	${\begin{aligned}\cos 3\theta &=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \\&=4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cot 3\theta &={\frac {\cot ^{3}\theta -3\cot \theta }{3\cot ^{2}\theta -1}}\\&=\cot \theta \cot \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cot \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\csc 3\theta &={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}\\&={\dfrac {1}{4\sin \theta \sin \left({\dfrac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\dfrac {\pi }{3}}+\theta \right)}}\end{aligned}}$
半角はんかく公式こうしき	正ただし	$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$	${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta +\sin \theta -1}{\cos \theta -\sin \theta +1}}\\&={\sqrt {\cot ^{2}\theta +1}}-\cot \theta \end{aligned}}$	$\sec {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {2\sec \theta }{\sec \theta +1}}}$
	餘よ	$\cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$	${\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}\\&={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}\\&={\frac {\cos \theta -\sin \theta +1}{\cos \theta +\sin \theta -1}}\\&={\sqrt {\cot ^{2}\theta +1}}+\cot \theta \end{aligned}}$	$\csc {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {2\sec \theta }{\sec \theta -1}}}$

n倍角ばいかく公式こうしき

$n$倍角ばいかく公式こうしき
$\sin n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left[{\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right]=\sin \theta \sum _{k=0}^{\lfloor {\frac {n-1}{2}}\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-1-k}{k}}~(2\cos \theta )^{n-1-2k}$ （第だい二に类切きり比ひ雪夫ゆきお多た项式）
$\cos n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left[{\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right]={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(-1)^{k}{\frac {n}{n-k}}{\binom {n-k}{k}}~(2\cos \theta )^{n-2k}$ （第だい一いち类切きり比ひ雪夫ゆきお多た项式）
$\tan n\theta ={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}(-1)^{k+1}{\binom {n}{2k-1}}\tan ^{2k-1}\theta }{\displaystyle \sum _{k=1}^{\left[{\frac {n+1}{2}}\right]}(-1)^{k+1}{\binom {n}{2(k-1)}}\tan ^{2(k-1)}\theta }}$
$n$倍ばい遞迴公式こうしき
$\tan \,n\theta ={\frac {\tan(n{-}1)\theta +\tan \theta }{1-\tan(n{-}1)\theta \,\tan \theta }}$、$\cot \,n\theta ={\frac {\cot(n{-}1)\theta \,\cot \theta -1}{\cot(n{-}1)\theta +\cot \theta }}$。(遞迴關係かんけい)

参まいり见正せい切きり半角はんかく公式こうしき，它也叫さけべ做“万能ばんのう公式こうしき”。

其他函數かんすう的てき倍ばい半角はんかく公式こうしき

正せい矢や

• $\operatorname {versin} 2\theta =2\sin ^{2}\theta ={\frac {(\sin 2\theta )(\sin \theta )}{\cos \theta }}=1-\cos 2\theta$

餘よ矢や

• $\operatorname {cvs} 2\theta =(\sin \theta -\cos \theta )^{2}=1-\sin 2\theta$

幂简约公式しき

从解余弦よげん二倍角公式的第二和第三版本得到。

正弦せいげん	餘弦よげん	其他
$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}$	$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}$	$\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}$
$\sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}}$	$\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}$	$\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin 2\theta -\sin 6\theta }{32}}$
$\sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}$	$\cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}$	$\sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}}$
$\sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin 3\theta +\sin 5\theta }{16}}$	$\cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}$	$\sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin 2\theta -5\sin 6\theta +\sin 10\theta }{512}}$

	餘弦よげん	正弦せいげん
如果$n$是これ奇數きすう	$\cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {[(n-2k)\theta ]}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {[(n-2k)\theta ]}$
如果$n$是これ偶數ぐうすう	$\cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {[(n-2k)\theta ]}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {[(n-2k)\theta ]}$

数かず值连乘じょう

$\prod _{k=0}^{n-1}\cos 2^{k}\theta ={\frac {\sin 2^{n}\theta }{2^{n}\sin \theta }}$

$\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(x+{\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin nx}{2^{n-1}}}$

$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}$,$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{2n}}\right)={\frac {\sqrt {n}}{2^{n-1}}}$,$\prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k\pi }{2n+1}}\right)={\frac {\sqrt {2n+1}}{2^{n}}}$

$\prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin {\frac {n\pi }{2}}}{2^{n-1}}}$,$\prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{2n}}\right)={\frac {\sqrt {n}}{2^{n-1}}}$,$\prod _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {k\pi }{2n+1}}\right)={\frac {1}{2^{n}}}$

$\prod _{k=1}^{n-1}\tan \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{\sin {\frac {n\pi }{2}}}}$,$\prod _{k=1}^{n-1}\tan \left({\frac {k\pi }{2n}}\right)=1$,$\prod _{k=1}^{n}\tan {\frac {k\pi }{2n+1}}={\sqrt {2n+1}}$

常見つねみ的てき恆等こうとう式しき

积化和わ差さ与あずか和わ差さ化か积恆等式とうしき

數學すうがく家か韋達在ざい其三角さんかく學がく著作ちょさく《應用おうよう於三角形さんかっけい的てき數學すうがく定律ていりつ》給きゅう出で积化和わ差さ与あずか和わ差さ化か积恒等式とうしき。积化和わ差さ恒等こうとう式しき可か以通过展开角的てき和わ差さ恒等こうとう式しき的てき右手みぎて端はし来らい证明。

积化和わ差さ	和わ差さ化か积
$\sin \alpha \cos \beta ={\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \over 2}$	$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
$\cos \alpha \sin \beta ={\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ) \over 2}$	$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}$
$\cos \alpha \cos \beta ={\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ) \over 2}$	$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
$\sin \alpha \sin \beta =-{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta ) \over 2}$	$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}$

平方へいほう差さ公式こうしき

$\sin(x+y)\sin(x-y)=\sin ^{2}{x}-\sin ^{2}{y}=\cos ^{2}{y}-\cos ^{2}{x}\,$

$\cos(x+y)\cos(x-y)=\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{y}=\cos ^{2}{y}-\sin ^{2}{x}\,$

(可か藉由積せき化か和わ差さ公式こうしき+2倍角ばいかく公式こうしき推導而來)

其他恆等こうとう式しき

如果$x+y+z=n\pi$，

那な么$\tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z$

$\cot x\cot y+\cot y\cot z+\cot z\cot x=1$

如果$x+y+z=n\pi +{\frac {\pi }{2}}$，

那な么$\tan x\tan y+\tan y\tan z+\tan z\tan x=1$

$\cot x+\cot y+\cot z=\cot x\cot y\cot z$

如果$x+y+z=\pi$，

那な么$\sin 2x+\sin 2y+\sin 2z=4\sin x\sin y\sin z$

$\sin x+\sin y+\sin z=4\cos {\frac {x}{2}}\cos {\frac {y}{2}}\cos {\frac {z}{2}}$

$\cos x+\cos y+\cos z=1+4\sin {\frac {x}{2}}\sin {\frac {y}{2}}\sin {\frac {z}{2}}$

托たく勒密定理ていり

如果$w+x+y+z=\pi$（半はん圆）

那な么:

${\begin{aligned}\sin(w+x)\sin(x+y)&=\sin(x+y)\sin(y+z)\\&=\sin(y+z)\sin(z+w)\\&{}=\sin(z+w)\sin(w+x)\\&{}=\sin w\sin y+\sin x\sin z\end{aligned}}$

（前ぜん三个等式是一般情况；第だい四よん个是本ほん质。）

三角函數與雙曲函數的恆等式

利用りよう三角さんかく恒等こうとう式しき的てき指數しすう定義ていぎ和わ雙そう曲きょく函數かんすう的てき指數しすう定義ていぎ即そく可か求もとめ出で下か列れつ恆等こうとう式しき：

$e^{ix}=\cos x+i\;\sin x,\;e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x$

$e^{x}=\cosh x+\sinh x\!,\;e^{-x}=\cosh x-\sinh x\!$

所以ゆえん

$\cosh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})=\cos x$

$\sinh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}-e^{-ix})=i\sin x$

下表かひょう列れつ出で部分ぶぶん的てき三角さんかく函數かんすう與あずか雙そう曲きょく函數かんすう的てき恆等こうとう式しき：

三角さんかく函數かんすう	雙そう曲きょく函數かんすう
$\sin \theta =-i\sinh {i\theta }\,$	$\sinh {\theta }=i\sin {(-i\theta )}\,$
$\cos {\theta }=\cosh {i\theta }\,$	$\cosh {\theta }=\cos {(-i\theta )}\,$
$\tan \theta =-i\tanh {i\theta }\,$	$\tanh {\theta }=i\tan {(-i\theta )}\,$
$\cot {\theta }=i\coth {i\theta }\,$	$\coth \theta =-i\cot {(-i\theta )}\,$
$\sec {\theta }=\operatorname {sech} {\,i\theta }\,$	$\operatorname {sech} {\theta }=\sec {(-i\theta )}\,$
$\csc {\theta }=i\;\operatorname {csch} {\,i\theta }\,$	$\operatorname {csch} \theta =-i\csc {(-i\theta )}\,$

• 其他恆等こうとう式しき：

$\cosh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})=\cos x$

$\sinh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}-e^{-ix})=i\sin x$

$\cosh(x+iy)=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\,$

$\sinh(x+iy)=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\,$

$\tanh ix=i\tan x\,$

$\cosh x=\cos ix\,$

$\sinh x=-i\sin ix\,$

$\tanh x=-i\tan ix\,$

线性组合

对于某ぼう些用途ようと，知道ともみち同どう样周期き但ただし不同ふどう相そう位い移うつり动的てき正弦せいげん波は的てき任にん何なに线性组合是ぜ有ゆう相しょう同どう周期しゅうき但ただし不ふ同相どうしょう位い移うつり动的正弦せいげん波は是ぜ重要じゅうよう的てき。在ざい正弦せいげん和わ余弦よげん波は的てき线性组合的てき情じょう况下，我わが们有

$a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )\;(a>0)$

这里的てき

$\varphi =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)$

这个公式こうしき也叫辅助角かく公式こうしき或ある李り善よし兰公式こうしき。更さら一般いっぱん的てき说，对于任にん何なん相そう位い移うつり动，我わが们有

$a\sin x+b\sin(x+\alpha )=c\sin(x+\beta )\;(a+b\cos x>0)$

这里

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }},$

而

$\beta =\arctan \left({\frac {b\sin \alpha }{a+b\cos \alpha }}\right)$

反はん三角さんかく函数かんすう

主しゅ条目じょうもく：反はん三角さんかく函数かんすう

$\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}\;$

$\arctan x+\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}.\;$

$\arctan x+\arctan {\frac {1}{x}}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}},&{\mbox{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.$

$\arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+\left\{{\begin{matrix}\pi ,&{\mbox{if }}x,y>0\\-\pi ,&{\mbox{if }}x,y<0\\0,&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}\right.$

$\sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}\,$

$\sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}\,$

$\tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$

无限乘じょう积公式しき

为了用よう于特殊とくしゅ函数かんすう，有ゆう下か列れつ三さん角かく函数かんすう無窮むきゅう乘じょう積せき公式こうしき：

$\sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$

${\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)$

$\cos x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$

$|\sin x|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\tan \left(2^{n}x\right)\right|}}$

微積分びせきぶん

正弦せいげん的てき微分びぶん

正弦せいげん（藍色あいいろ）、正弦せいげん的てき微分びぶん（橘たちばな色しょく），其中，正弦せいげん的てき微分びぶん正ただし好こう是ぜ餘弦よげん。

餘弦よげん的てき微分びぶん

餘弦よげん（藍色あいいろ）、餘弦よげん的てき微分びぶん（橘たちばな色しょく），其中，餘弦よげん的てき微分びぶん正ただし好こう是正ぜせい弦つる的てき對たいx軸じく的てき鏡きょう射しゃ。

在ざい微積分びせきぶん中なか，下面かめん陳述ちんじゅつ的てき關係かんけい要求ようきゅう角かく用よう弧こ度ど來らい度量どりょう；如果用よう其他方式ほうしき比ひ如角度かくど來らい這些關係かんけい會かい變へん得どく更さら加か複雜ふくざつ。如果三角函數以幾何的方式來定義，它們的てき導しるべ數すう可か以通過つうか驗けん證しょう兩個りゃんこ極限きょくげん而找到。第だい一いち個こ是ぜ：

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

可か以使用しよう單位たんい圓えん和わ夾擠定理ていり來らい驗けん證しょう。如果用よう洛らく必達法則ほうそく來らい证明這個極限きょくげん，那な也就用よう這個極限きょくげん證明しょうめい了りょう正弦せいげん的てき导数是ぜ餘弦よげん，並なみ因いん此在應用おうよう洛らく必達法則ほうそく中ちゅう使用しよう正弦せいげん的てき導しるべ數すう是ぜ餘弦よげん的てき事實じじつ，就是邏輯謬論中ちゅう的てき循環じゅんかん論證ろんしょう了りょう。第だい二に個こ極限きょくげん是ぜ：

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\cos x-1}{x}}=0$

使用しよう恆等こうとう式しき$\tan {\frac {x}{2}}=1-{\frac {\cos x}{\sin x}}$驗けん證しょう。已やめ經けい確立かくりつ了りょう這兩個りゃんこ極限きょくげん，你可以使用しよう導しるべ數すう的てき極限きょくげん定義ていぎ和わ加法かほう定理ていり來らい證明しょうめい$\sin 'x=\cos x$和わ$\cos 'x=-\sin x$。如果正弦せいげん和わ餘弦よげん函數かんすう用よう它們的てき泰たい勒級數すう來らい定義ていぎ，則のり導しるべ數すう可か以通過つうか冪べき級數きゅうすう逐項微分びぶん得え到いた。

${d \over dx}\sin(x)=\cos(x)$

結果けっか的てき三角函數可以使用上述恆等式和微分びぶん規則きそく來らい做微分ぶん。

${\begin{aligned}{d \over dx}\sin x&=\cos x,&{d \over dx}\arcsin x&={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\cos x&=-\sin x,&{d \over dx}\arccos x&=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\tan x&=\sec ^{2}x,&{d \over dx}\arctan x&={1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{d \over dx}\operatorname {arccot} x&=-{1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\sec x&=\tan x\sec x,&{d \over dx}\operatorname {arcsec} x&={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\\{d \over dx}\csc x&=-\csc x\cot x,&{d \over dx}\operatorname {arccsc} x&=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\end{aligned}}$

在ざい三角さんかく函數かんすう積分せきぶん表ひょう中ちゅう可か以找到積分せきぶん恆等こうとう式しき。

蘊涵

三角さんかく函數かんすう（正弦せいげん和わ餘弦よげん）的てき微分びぶん是ぜ同樣どうよう兩個りゃんこ函數かんすう線せん性せい組合くみあい的てき事實じじつ在ざい很多數學すうがく領域りょういき包括ほうかつ微分びぶん方かた程ほど和わ傅でん立葉たてば變換へんかん中ちゅう是ぜ重要じゅうよう的てき基本きほん原理げんり。

指数しすう定てい义

函数かんすう	反はん函数かんすう
$\sin \theta ={\frac {e^{{i}\theta }-e^{-{i}\theta }}{2{i}}}\,$	$\arcsin x=-{i}\ln \left({i}x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$
$\cos \theta ={\frac {e^{{i}\theta }+e^{-{i}\theta }}{2}}\,$	$\arccos x=-{i}\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,$
$\tan \theta ={\frac {e^{{i}\theta }-e^{-{i}\theta }}{{i}(e^{{i}\theta }+e^{-{i}\theta })}}\,$	$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {{i}+x}{{i}-x}}\right)\,$
$\csc \theta ={\frac {2{i}}{e^{{i}\theta }-e^{-{i}\theta }}}\,$	$\operatorname {arccsc} x=-{i}\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{{i}\theta }+e^{-{i}\theta }}}\,$	$\operatorname {arcsec} x=-{i}\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {i}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\cot \theta ={\frac {{i}(e^{{i}\theta }+e^{-{i}\theta })}{e^{{i}\theta }-e^{-{i}\theta }}}\,$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {{i}-x}{{i}+x}}\right)\,$
$\operatorname {cis} \,\theta =e^{{i}\theta }\,$	$\operatorname {arccis} \,x=-{i}\ln x\,$
$\sinh \theta ={\frac {e^{\theta }-e^{-\theta }}{2}}\,$	$\operatorname {arcsinh} \,x=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}+1}}\right)\,$
$\cosh \theta ={\frac {e^{\theta }+e^{-\theta }}{2}}\,$	$\operatorname {arccosh} \,x=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)=\pm \ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,$
$\tanh \theta ={\frac {\sinh \theta }{\cosh \theta }}={\frac {e^{\theta }-e^{-\theta }}{e^{\theta }+e^{-\theta }}}\,$	$\operatorname {arctanh} \,x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)\,$

参まいり见

• 余弦よげん定理ていり
• 三角さんかく函数かんすう
• 正弦せいげん定理ていり
• 正せい切きり定理ていり
• 中ちゅう线长公式こうしき
• 角かく平分へいぶん线长公式こうしき
• 雙そう曲きょく函數かんすう恆等こうとう式しき
• 三さん分ふん之の一角いっかく公式こうしき

參考さんこう文獻ぶんけん

来らい源みなもと

• A one-page proof of many trigonometric identities using Euler's formula，by Connelly Barnes.
• Useful Formulae for Hong Kong Advanced Level Examination Pure Mathematics.