Kosinusna teorema ima istu analitičku formu nezavisno od toga da li je dati trougao oštrougli (sl.1) ili tupougli (sl.2). Međutim, obično se posebno dokazuje svaki od ta dva slučaja, kao što je urađeno u dokazu koji sledi.
Sl.1. Oštrougli trougao
Kosinusna teorema
U svakom trouglu je gde je nasuprot stranice a ugao α.
Dokaz
Na slici desno (sl.1) dat je oštrougli trougao ABC sa visinom CD. Iz pravouglih trouglova BCD i ACD prema Pitagorinoj teoremi je a otuda zamenom dobijamo prvo a onda Iz pravouglog trougla ACD dobijamo i zamenom u prethodnu jednakost što je i trebalo dokazati.
Sl.2. Tupougli trougao
Dalje, na slici (2) levo, dat je tupougli trougao ABC, sa uglom α u temenu A, većim od pravog ugla (90°). Visina CD = h pada na produžetak stranice AB u tačku D tako da je D-A-B, te je spoljašnji ugao CAD = 180°-α. U trougluCAD je
DA =
Sa druge strane, trouglovi BCD i ACD su pravougli i, prema Pitagorinoj teoremi imamo pa zamenom dobijamo
tj.
kao što je i trebalo dokazati. Kraj dokaza.
Kosinusna teorema se može dokazati jednostavno i bez razmatranja različitih rasporeda koristeći vektorski račun. U gornjim oznakama,
( označava skalarni proizvod.)
Drugačijim označavanjem trougla, dobićemo i ostale dve formule, koje se zajedno sa navedenom nazivaju kosinusna teorema: Kada je, na primer ugao u temenu S = γ=90°, zbog cos(90°)=0, poslednja formula postaje tj. Pitagorina teorema je poseban slučaj kosinusne teoreme. Pored toga, kosinusna teorema ima još nekih važnih posledica.
Teorema 2
Kvadrat bilo koje stranice trougla je manji, jednak, ili veći od zbira kvadrata ostale dve stranice, zavisno od toga da li je suprotni ugao oštar, prav, ili tup.
Dokaz
Ako je tada je i
Ako je tada je i
Ako je tada je i Kraj dokaza.
Važi i suprotna teorema.
Teorema 3
Ugao trougla je oštar, prav, ili tup zavisno od toga da li je kvadrat suprotne stranice trougla redom manji, jednak, ili veći od zbira kvadrata ostale dve strane.
Dokaz
Sledi iz kosinusne teoreme
Ako je tada je i prema tome
Ako je tada tj.
Ako je tada je tj. Kraj dokaza.
Teorema 4
U bilo kojem paralelogramu zbir kvadrata dijagonala jednak je zbiru kvadrata sve četiri njegove strane.
Sl.3. Paralelogram
Dokaz
Na slici (3) desno, dat je paralelogram ABCD sa dijagonalama AC i BD i uglom BAD = α.
Tada je Naime, kako je ugao CBA = 180°-α, prema kosinusnoj teoremi iz trouglova ADB, ABC dobijamo