Παραλληλόγραμμο

Παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ όπου οおみくろんιいおた πλευρές $\mathrm {AB}$ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {\Gamma \Delta }$ είναι ίσες κかっぱαあるふぁιいおた παράλληλες.

Οおみくろんιいおた διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται.

Τたうοおみくろん ύψος $\mathrm {AH}$ πぱいοおみくろんυうぷしろん αντιστοιχεί σしぐまτたうηいーた βάση $\mathrm {\Gamma \Delta }$.

Σしぐまτたうηいーたνにゅー γεωμετρία, τたうοおみくろん παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει τις απέναντι πλευρές τたうοおみくろんυうぷしろん παράλληλες.

Τたうοおみくろん σημείο τομής τたうωおめがνにゅー διαγωνίων τたうοおみくろんυうぷしろん λέγεται κέντρο τたうοおみくろんυうぷしろん παραλληλογράμμου. Ηいーた απόσταση δύο απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου λέγεται ύψος τたうοおみくろんυうぷしろん ενώ οおみくろんιいおた απέναντι πλευρές λέγονται βάσεις ως προς τたうοおみくろん ύψος αυτό (κάθε παραλληλόγραμμο έχει δύο ύψη).

Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμου είναι τたうοおみくろん ορθογώνιο, οおみくろん ρόμβος κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん τετράγωνο.

Ιδιότητες

• Σしぐまεいぷしろん κάθε παραλληλόγραμμο οおみくろんιいおた απέναντι πλευρές είναι ίσες κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた απέναντι γωνίες είναι ίσες.

Απόδειξη  

Θしーたαあるふぁ ξεκινήσουμε δείχνοντας ότι οおみくろんιいおた απέναντι γωνίες είναι ίσες. Καθώς $\mathrm {AB}$ είναι παράλληλη σしぐまτたうηいーたνにゅー $\mathrm {\Gamma \Delta }$ προκύπτει ότι οおみくろんιいおた ${\hat {\mathrm {A} }}$ είναι παραπληρωματική της ${\hat {\mathrm {\Delta } }}$. Από τたうηいーたνにゅー παραλληλία της $\mathrm {B\Gamma }$ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {\Delta A}$ προκύπτει ότι οおみくろんιいおた ${\hat {\mathrm {\Delta } }}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\hat {\mathrm {\Gamma } }}$ είναι παραπληρωματικές. Άρα ${\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$ (κかっぱαあるふぁιいおた αντίστοιχα ${\hat {\mathrm {B} }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}$.

Τたうαあるふぁ τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {B\Gamma \Delta }$ είναι ίσα.

Θεωρούμε τたうηいーたνにゅー διαγώνιο $\mathrm {B\Delta }$. Τότε, έχουμε ότι $\mathrm {AB\Delta } =\mathrm {B\Delta \Gamma }$ ως εντός εναλλάξ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {A\Delta B} =\mathrm {\Delta B\Gamma }$ κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた $\mathrm {B\Delta }$ είναι κοινή. Επομένως, τたうαあるふぁ τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {B\Gamma \Delta }$ είναι ίσα. Επομένως, $\mathrm {AB} =\mathrm {\Gamma \Delta }$ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {B\Gamma } =\mathrm {A\Delta }$.

• Σしぐまεいぷしろん κάθε παραλληλόγραμμο οおみくろんιいおた διαγώνιοι διχοτομούνται.

Απόδειξη  

Τたうαあるふぁ τρίγωνα $\mathrm {AOB}$ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {\Gamma O\Delta }$ είναι ίσα

Έστω $\mathrm {O}$ τたうοおみくろん σημείο τομής τたうωおめがνにゅー διαγωνίων. Τたうαあるふぁ τρίγωνα $\mathrm {AOB}$ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {\Gamma O\Delta }$ σしぐまτたうοおみくろん σχήμα είναι ίσα επειδή έχουν δύο ίσες γωνίες κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーたνにゅー περιεχόμενη πλευρά τους ίση, συνεπώς $\mathrm {OB} =\mathrm {O\Delta }$ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {OA} =\mathrm {O\Gamma }$.

• Τたうοおみくろん κέντρο ενός παραλληλογράμμου είναι κέντρο συμμετρίας τたうοおみくろんυうぷしろん.
• Οおみくろんιいおた διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών είναι παράλληλες.

Απόδειξη  

Οおみくろんιいおた διχοτόμοι δύο απέναντι γωνιών είναι παράλληλοι.

Από τたうηいーたνにゅー παραλληλία τたうωおめがνにゅー $\mathrm {AB}$ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {\Gamma \Delta }$ έχουμε ότι $\mathrm {A\Delta _{A}\Delta } ={\hat {\mathrm {A} }}$. Αφού ${\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {\Gamma } }}$, έπεται ότι $\mathrm {\Delta _{\Gamma }\Gamma \Delta _{A}} =\mathrm {A\Delta _{A}\Delta }$, κかっぱαあるふぁιいおた επομένως $\mathrm {A\Delta _{A}} \parallel \mathrm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}$.

• Οおみくろんιいおた διχοτόμοι δύο διαδοχικών γωνιών είναι κάθετες.

Απόδειξη  

Οおみくろんιいおた διχοτόμοι διαδοχικών γωνιών τέμνονται κάθετα.

Έστω $\mathrm {E}$ τたうοおみくろん σημείο τομής τたうωおめがνにゅー δύο διχοτόμων. Τότε,

$\mathrm {AEB} =180^{o}-(\mathrm {EAB} +\mathrm {ABE} )=180^{o}-{\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {B} }})=180^{o}=90^{o}=90^{o}$.

• Κριτήρια παραλληλογράμμου: Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた μόνο αあるふぁνにゅー ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

1. Οおみくろんιいおた απέναντι πλευρές είναι ίσες ανά δύο.
2. Δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες κかっぱαあるふぁιいおた παράλληλες.
3. Οおみくろんιいおた απέναντι γωνίες είναι ίσες ανά δύο.
4. Οおみくろんιいおた διαγώνιοί τたうοおみくろんυうぷしろん διχοτομούνται.

Κριτήρια ισότητας παραλληλογράμμων

Ισχύουν τたうαあるふぁ εξής κριτήρια ισότητας παραλληλογράμμων:

• Δύο παραλληλόγραμμα $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {A'B'\Gamma '\Delta '}$ μみゅーεいぷしろん $\mathrm {AB} =\mathrm {A'B'}$, $\mathrm {A\Delta } =\mathrm {A'\Delta '}$ κかっぱαあるふぁιいおた ${\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {A} }}'$ είναι ίσα.
• Δύο παραλληλόγραμμα $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {A'B'\Gamma '\Delta '}$ μみゅーεいぷしろん $\mathrm {AB} =\mathrm {A'B'}$, $\mathrm {A\Delta } =\mathrm {A'\Delta '}$ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {A\Gamma } =\mathrm {A'\Gamma '}$ είναι ίσα.

Μετρικές σχέσεις

• (Νόμος τたうοおみくろんυうぷしろん παραλληλογράμμου) Σしぐまεいぷしろん κάθε παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー τετραγώνων τたうωおめがνにゅー πλευρών τたうοおみくろんυうぷしろん είναι ίσο μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー τετραγώνων τたうωおめがνにゅー διαγωνίων τたうοおみくろんυうぷしろん,

$\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {B\Gamma } ^{2}+\mathrm {\Gamma \Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta A} ^{2}=2\cdot \mathrm {A\Gamma } ^{2}+2\cdot \mathrm {B\Delta } ^{2}$.

Εμβαδόν

Διαγραμματική απόδειξη τύπου $\mathrm {E} =b\cdot h$ γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん εμβαδόν.

Υπάρχουν αρκετοί τύποι γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん εμβαδόν τたうοおみくろんυうぷしろん παραλληλογράμμου:

• Τたうοおみくろん εμβαδόν ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん γινόμενο της βάσης κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろんυうぷしろん αντίστοιχου ύψους:

$\mathrm {E} =({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}}).$

• Από τたうοおみくろんνにゅー τύπο τたうοおみくろんυうぷしろん Ήρωνα σしぐまτたうοおみくろん τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$, ισχύει ότι

$\mathrm {E} ={\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\delta )}}$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\delta )$ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {AB} =\alpha$, $\mathrm {B\Gamma } =\beta$ κかっぱαあるふぁιいおた $\mathrm {A\Gamma } =\delta$.

• Αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん σημείο $\mathrm {A} =(0,0)$, τたうοおみくろん $\mathrm {B} =(x_{1},y_{1})$ κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん $\mathrm {\Gamma } =(x_{2},y_{2})$, τότε

$\mathrm {E} =\left|\mathrm {det} {\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{bmatrix}}\right|=\left|x_{1}\cdot y_{2}-x_{2}\cdot y_{1}\right|$.

Εφαρμογές

Τたうαあるふぁ μέσα $\mathrm {M} _{1},\mathrm {M} _{2},\mathrm {M} _{3},\mathrm {M} _{4}$ τたうωおめがνにゅー πλευρών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο.

Θεώρημα Βαρινιόν

Τたうοおみくろん θεώρημα Varignon λέει ότι τたうαあるふぁ μέσα $\mathrm {M} _{1},\mathrm {M} _{2},\mathrm {M} _{3},\mathrm {M} _{4}$ τたうωおめがνにゅー πλευρών ενός τετραπλεύρου $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$, δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο. Τたうοおみくろん παραλληλόγραμμο αυτό ονομάζεται τたうοおみくろん παραλληλόγραμμο Βαρινιόν.

Θεώρημα Πάππου.

Θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Πάππου

Τたうοおみくろん θεώρημα Πάππου γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん εμβαδόν είναι ένα θεώρημα πぱいοおみくろんυうぷしろん συσχετίζεται τたうαあるふぁ εμβαδά τριών παραλληλογράμμων στις πλευρές ενός τριγώνου.

Σしぐまεいぷしろん αποδείξεις θεωρημάτων

Σしぐまεいぷしろん αρκετές αποδείξεις θεωρημάτων βοηθάει ηいーた δημιουργία παραλληλογράμμων. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, στις αποδείξεις

• της ύπαρξης τたうοおみくろんυうぷしろん βαρυκέντρου
• τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος van Schooten
• τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος Vecten.

Πλακοστρώσεις

Τたうαあるふぁ παραλληλόγραμμα μπορούν νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθούν γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ πλακοστρώσουν τたうοおみくろん επίπεδο.

Πλακόστρωση μみゅーεいぷしろん τετράγωνα

Πλακόστρωση μみゅーεいぷしろん ορθογώνια

Πλακόστρωση μみゅーεいぷしろん ρόμβους

Πλακόστρωση μみゅーεいぷしろん παραλληλόγραμμα

Ειδικές περιπτώσεις

Ένα παραλληλόγραμμο πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει τις γωνίες τたうοおみくろんυうぷしろん ορθές λέγεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Ένα παραλληλόγραμμο πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει όλες τたうοおみくろんυうぷしろん τις πλευρές ίσες λέγεται ρόμβος. Αあるふぁνにゅー έχει κかっぱαあるふぁιいおた τις γωνίες τたうοおみくろんυうぷしろん ορθές κかっぱαあるふぁιいおた τις πλευρές τたうοおみくろんυうぷしろん ίσες, τότε λέγεται τετράγωνο.

Ορθογώνιο

Ρόμβος

Τετράγωνο

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Εφαρμογή γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ μήκη τたうωおめがνにゅー πλευρών ενός παραλληλογράμμου
• Εφαρμογή μみゅーεいぷしろん τις ιδιότητες τたうοおみくろんυうぷしろん παραλληλογράμμου

Ελληνικά άρθρα

• Νにゅー. Δεργιάδες (1979). «Συνθήκες γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ είναι ένα κυρτό τετράπλευρο παραλληλόγραμμο». Ευκλείδης Β΄ (3): 108-110. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3939. 
• Αあるふぁ. Δούναβης (1986). «Παραλληλόγραμμα». Ευκλείδης Β΄ (2): 95-99. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2995. 
• Τたう. Λαμπρόπουλος (1988). «Παραλληλόγραμμα». Ευκλείδης Β΄ (3): 24-28. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3214. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Scott, J. A. (Νοεμβρίου 2007). «91.68 Bridging parallelograms of equal area». The Mathematical Gazette 91 (522): 530–533. doi:10.1017/S0025557200182257. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-11_91_522/page/530. 
• Hajja, Mowaffaq; Krasopoulos, Panagiotis T. (Μαρτίου 2023). «More characterisations of parallelograms». The Mathematical Gazette 107 (568): 76–83. doi:10.1017/mag.2023.10. 
• Wang, David G. L. (Σεπτεμβρίου 2016). «Tilings of Parallelograms by Similar Isosceles Triangles». The Mathematical Intelligencer 38 (3): 24–29. doi:10.1007/s00283-016-9629-2. 
• Daykin, D. E. (Ιανουαρίου 1965). «Rational Triangles and Parallelograms». Mathematics Magazine 38 (1): 46–47. doi:10.1080/0025570X.1965.11975584. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1965-01_38_1/page/46. 
• Crain, Karleton W. (Απριλίου 1937). «Two Families of Parallelograms». National Mathematics Magazine 11 (7): 304. doi:10.2307/3028786. 
• Mayor, F (Φεβρουαρίου 1941). «1499. Eighteen parallelograms». The Mathematical Gazette 25 (263): 46–47. doi:10.2307/3606482. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1941-02_25_263/page/46. <

Δείτε επίσης

• Ορθογώνιο
• Ρόμβος
• Τετράγωνο
• Τραπέζιο
• Παραλληλεπίπεδο