Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν.Μπορείτε να βοηθήσετε προσθέτοντας την κατάλληλη τεκμηρίωση. Υλικό που είναι ατεκμηρίωτο μπορεί να αμφισβητηθεί καινα αφαιρεθεί. Η σήμανση τοποθετήθηκε στις 16/06/2012.
Μία συνάρτηση f(x) πραγματικής μεταβλητής με πεδίο ορισμού το Af λέγεται περιοδική, αν υπάρχει Τ>0 τέτοιο, ώστε για κάθε x που ανήκει στο Af ισχύει ότι x–Τ, x+Τ ανήκουν στο Afκαι ότι f(x+Τ) = f(x–Τ) = f(x). Ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος. Επίσης, λέμε ότι η συνάρτηση επαναλαμβάνεται.
Γραφική παράσταση μια ασυνεχούς περιοδικής συνάρτησης. Σημειώνεται καιη περίοδος.
Λόγω της ιδιότητάς της γιατη μελέτη της περιοδικής συνάρτησης αρκεί να μελετηθεί για τιμές στο διάστημα μιας περιόδου. Τα αποτελέσματα μπορούν να γενικευτούν κατάλληλα καιγια τις υπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης.
Το πεδίο ορισμού της περιοδικής συνάρτησης είτε είναι το σύνολο τωνπραγματικών αριθμών, ή είναι μια απειρία ένωσης όμοιων πεδίων. Για παράδειγμα, αντο διάστημα [2,6) ανήκει στο πεδίο ορισμού καιΤ=5, τότε ανήκει καιτο διάστημα [7,11) καιτο διάστημα [-3,1).
Η περιοδική συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη συνεχής ή παραγωγίσιμη. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι, ανη συνάρτηση έχει την ιδιότητα της συνέχειας ή της παραγωγισιμότητας σε ένα σημείο ή διάστημα, έχει καιτην ίδια ιδιότητα στο σημείο ή διάστημα με διαφορά από το προηγούμενο κατά Τ. Επιπλέον, ηπαράγωγος, αν υπάρχει είναι περιοδική συνάρτηση μετην ίδια περίοδο.
Ημονοτονία της συνάρτησης, όπου υπάρχει, επαναλαμβάνεται και αυτή με βάση την περίοδο. Για παράδειγμα, ανμια περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ=4 είναι γνησίως αύξουσα στο (-2,-1], τότε η ίδια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (2,3] καιστο (-6,-5].
Η περιοδική συνάρτηση είναι αδύνατον να έχει πλάγιες ή οριζόντιες ασύμπτωτες, γιατί είναι αδύνατον να έχει όριο στοσυν ή πλην άπειρο, εκτός αν είναι σταθερή συνάρτηση. Αν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες, τότε αυτές είναι άπειρες και επαναλαμβάνονται κατά την περίοδο της συνάρτησης.
Το σύνολο τιμών άρτιας συνάρτησης ταυτίζεται μετο σύνολο τιμών της συνάρτησης σε οποιαδήποτε περίοδο. Κάθε τιμή τη λαμβάνει άπειρες φορές, άρα η περιοδική συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα. Το σύνολο των ριζών περιοδικής συνάρτησης είναι άπειρο ή μηδέν.
Ηγραφική παράσταση της περιοδικής συνάρτησης επαναλαμβάνεται ακριβώς η ίδια κατά την περίοδο. Για αυτό συνήθως σχεδιάζεται μόνο ένα κομμάτι της, αυτό που αντιστοιχεί σε μία περίοδο που περιλαμβάνει τον άξονα y'y.
Οι περιοδικές συναρτήσεις μπορούν να αναλυθούν με δύο τρόπους: τηνανάλυση Φουριέκαιτην ανάλυση σειράς Taylor.
Το άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίο Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008, παράγραφος 2.10, σελίδα 287 καθώς καιστον ορισμό άρτιας συνάρτησης που περιλαμβάνεται σε αυτό
![{\displaystyle y={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9670d60c36c3ff2f226232d4c0fbdb16a2a201b)
