Λογαριθμική συνάρτηση

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
$\mathbf {y} =f(x)$
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
$\mathbf {z} =f(x_{1},\ldots ,x_{n})$
Βασικές έννοιες συναρτήσεων Μονοτονία συνάρτησης Κυρτότητα συνάρτησης Συμμετρία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Ασύμπτωτες συνάρτησης Όριο συνάρτησης Συνέχεια συνάρτησης Παραγώγιση συνάρτησης Ολοκλήρωση συνάρτησης
Κατηγορίες συναρτήσεων Άρτιες συναρτήσεις Περιττές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Σύνθετες συναρτήσεις Αντίστροφες συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Υπερβατικές συναρτήσεις
Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυωνυμική συνάρτηση $y=ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d$ Ρητή συνάρτηση $y={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}$ Άρρητη συνάρτηση $y={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}$
Υπερβατικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση $y=a^{x}$ Λογαριθμική συνάρτηση $y=\log _{a}(x)$ Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ημίτονο $y=\sin x$ Συνημίτονο $y=\cos x$ Εφαπτομένη $y=\tan x$

Λογαριθμική συνάρτηση καλείται οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής log_{αあるふぁ}^x, όπου αあるふぁ πραγματική σταθερά, αあるふぁ>0 και αあるふぁ≠1. Δηλαδή ηいーた τιμή εκθετικής συνάρτησης ισούται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん λογάριθμο πぱいοおみくろんυうぷしろん έχει σしぐまαあるふぁνにゅー βάση τたうηいーた σταθερά αあるふぁ κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまαあるふぁνにゅー λογαριθμιζόμενο μέρος x μία ανεξάρτητη μεταβλητή (όρισμα).

Οおみくろんιいおた πぱいιいおたοおみくろん ευρέως χρησιμοποιούμενες λογαριθμικές συναρτήσεις είναι ηいーた λογαριθμική συνάρτηση μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろん 2 (στους υπολογιστές), μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろん 10 (συνήθως συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん logx), κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろん e (αριθμός Όιλερ ίσος περίπου μみゅーεいぷしろん 2,718). Σしぐまτたうηいーたνにゅー τελευταία περίπτωση συμβολίζεται μみゅーεいぷしろん lnx κかっぱαあるふぁιいおた ονομάζεται φυσικός λογάριθμος ενώ αναφέρεται σπανιότερα ως νεπέριος λογάριθμος (παρόλο πぱいοおみくろんυうぷしろん οおみくろん Napier έζησε 100 χρόνια πぱいρろーιいおたνにゅー τたうοおみくろんνにゅー Euler πぱいοおみくろんυうぷしろん ανακάλυψε τたうοおみくろん e).

Χαρακτηριστικά της λογαριθμικής συνάρτησης

Γραφικές παραστάσεις λογαριθμικών συναρτήσεων
Λογάριθμος μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろん 1,7
Λογάριθμος μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろん e
Λογάριθμος μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろん 10

Πεδίο ορισμού

Μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろんνにゅー ορισμό τたうοおみくろんυうぷしろん λογαρίθμου πεδίο ορισμού είναι τたうοおみくろん ανοιχτό σύνολο από μηδέν σしぐまτたうοおみくろん σしぐまυうぷしろんνにゅー άπειρο $(0,+\infty )$, δηλαδή οおみくろんιいおた θετικοί πραγματικοί αριθμοί.

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα

Ηいーた λογαριθμική συνάρτηση είναι συνεχής σしぐまεいぷしろん όλο τたうοおみくろん πεδίο ορισμού της, όπως κかっぱαあるふぁιいおた παραγωγίσιμη. Επιπλέον, κάθε της παράγωγος είναι παραγωγίσιμη. Ισχύει (log_{αあるふぁ}^x)'=1/(lnαあるふぁ x), ενώ γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた νιοστή παράγωγο (log_{αあるふぁ}^x)^νにゅー=(-1)^{νにゅー-1}/(lnαあるふぁ x^νにゅー).

Ειδικότερα σしぐまτたうηいーたνにゅー lnx ισχύει (lnx)'=1/x μία ιδιότητα πολύ σημαντική, γιατί ηいーた παράγωγος μιας λογαριθμικής συνάρτησης είναι μみゅーιいおたαあるふぁ αμιγώς ρητή συνάρτηση.

Μονοτονία

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις μία γがんまιいおたαあるふぁ αあるふぁ>1 κかっぱαあるふぁιいおた μία γがんまιいおたαあるふぁ 0<αあるふぁ<1.

• Αあるふぁνにゅー αあるふぁ>1:

Οおみくろんιいおた λογαριθμικές συναρτήσεις μみゅーεいぷしろん βάση αあるふぁ>1 είναι γνησίως αύξουσες σしぐまεいぷしろん όλο τたうοおみくろん πεδίου ορισμού τους, γιατί lnαあるふぁ>0 και 1/x>0, άρα (log_{αあるふぁ}^x)'>0.

• Αあるふぁνにゅー 1>αあるふぁ>0:

Οおみくろんιいおた λογαριθμικές συναρτήσεις μみゅーεいぷしろん βάση 0<αあるふぁ<1 είναι γνησίως φθίνουσες σしぐまεいぷしろん όλο τたうοおみくろん πεδίου ορισμού τους, γιατί lnαあるふぁ<0 και 1/x>0, άρα (log_{αあるふぁ}^x)'<0.

Ακρότατα-Ασύμπτωτες

• Αあるふぁνにゅー αあるふぁ>1:

Τたうοおみくろん όριο της λογαριθμικής σしぐまτたうοおみくろん σしぐまυうぷしろんνにゅー άπειρο είναι σしぐまυうぷしろんνにゅー άπειρο, ενώ τたうοおみくろん όριο της λογαριθμικής σしぐまτたうοおみくろん 0 είναι μείον άπειρο. Ηいーた συνάρτηση δでるたεいぷしろんνにゅー έχει ακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι ηいーた ευθεία x=0, δηλαδή οおみくろん άξονας y'y. Τたうοおみくろん σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης είναι οおみくろんιいおた πραγματικοί αριθμοί.

• Αあるふぁνにゅー 0<αあるふぁ<1:

Τたうοおみくろん όριο της λογαριθμικής σしぐまτたうοおみくろん σしぐまυうぷしろんνにゅー άπειρο είναι πぱいλらむだηいーたνにゅー άπειρο, ενώ τたうοおみくろん όριο της λογαριθμικής σしぐまτたうοおみくろん 0 είναι σしぐまυうぷしろんνにゅー άπειρο. Ηいーた συνάρτηση δでるたεいぷしろんνにゅー έχει ακρότατα. Ασύμπτωτη της συνάρτησης είναι ηいーた ευθεία x=0, δηλαδή οおみくろん άξονας y'y. Τたうοおみくろん σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης είναι οおみくろんιいおた πραγματικοί αριθμοί.

Σύνολο τιμών-Γνωστές τιμές-Ρίζες

Τたうοおみくろん σύνολο τιμών της λογαριθμικής συνάρτησης είναι οおみくろんιいおた πραγματικοί αριθμοί. Κάθε λογαριθμική συνάρτηση διέρχεται από τたうοおみくろん σημείο (1,0). Όλες οおみくろんιいおた λογαριθμικές συναρτήσεις έχουν ως μοναδική ρίζα τたうοおみくろん 1, δηλαδή ισχύει ότι log_{αあるふぁ}^x=0 <=> x=1.

Κοιλοκυρτότητα

• Αあるふぁνにゅー αあるふぁ>1 τότε:

Είναι (log_{αあるふぁ}^x)''=-1/(lnαあるふぁ x²)<0, άρα ηいーた λογαριθμική συνάρτηση είναι κοίλη, δηλαδή στρέφει τたうαあるふぁ κοίλα κάτω.

• Αあるふぁνにゅー 1>αあるふぁ>0 τότε:

Είναι (log_{αあるふぁ}^x)''=-1/(lnαあるふぁ x²)>0, άρα ηいーた λογαριθμική συνάρτηση είναι κυρτή, δηλαδή στρέφει τたうαあるふぁ κοίλα άνω.

Σしぐまεいぷしろん κάθε περίπτωση δでるたεいぷしろんνにゅー υπάρχουν σημεία καμπής.

Συμμετρίες

Ηいーた λογαριθμική συνάρτηση log_{αあるふぁ}^x είναι συμμετρική μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー log_{1/αあるふぁ}^x ως προς τたうοおみくろんνにゅー άξονα x'x. Παρατηρείται ότι οおみくろんιいおた δύο βάσεις είναι αντίστροφες μεταξύ τους. Ηいーた ιδιότητα αυτή είναι ανάλογη μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー αντίστοιχη ιδιότητα σしぐまτたうηいーたνにゅー εκθετική συνάρτηση.

Αντίστροφη συνάρτηση της λογαριθμικής

Μία φυσική λογαριθμική συνάρτηση, ηいーた εκθετική κかっぱαあるふぁιいおた μία λογαριθμική μみゅーεいぷしろん βάση 1/e.

Αντίστροφη συνάρτηση της λογαριθμικής εいぷしろんξくしー ορισμού είναι ηいーた εκθετική συνάρτηση.

Μετασχηματισμοί

Ηいーた λογαριθμική συνάρτηση μπορεί νにゅーαあるふぁ μετασχηματιστεί μέσω τたうοおみくろんυうぷしろん φυσικού λογαρίθμου. Ισχύει ότι log_{αあるふぁ}x=y <=> x=αあるふぁ^y <=> x=e^{y⋅lnαあるふぁ} <=> lnx=y⋅lnαあるふぁ <=> y=${\frac {lnx}{ln\alpha }}$. Επομένως, αρκεί νにゅーαあるふぁ μελετηθεί ηいーた συνάρτηση τたうοおみくろんυうぷしろん φυσικού λογαρίθμου κかっぱαあるふぁιいおた μπορούν αναλόγως νにゅーαあるふぁ επεκταθούν τたうαあるふぁ συμπεράσματα κかっぱαあるふぁιいおた σしぐまεいぷしろん άλλες λογαριθμικές συναρτήσεις. Ηいーた συγκεκριμένη ιδιότητα ισχύει αναλόγως κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーεいぷしろん άλλες βάσεις εκτός από τたうοおみくろん e, όπως τたうοおみくろん 10 και τたうοおみくろん 2. Έτσι, log_{αあるふぁ}x=${\frac {logx}{log\alpha }}$.

Σχέσεις μみゅーεいぷしろん τたうηいーた λογαριθμική συνάρτηση

Ανισοτικές

Γがんまιいおたαあるふぁ κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς x, x₀, y ισχύει:

• e^x>lnx

Γがんまιいおたαあるふぁ αあるふぁ>1:

• log_{αあるふぁ}x>log_{αあるふぁ}y <=> x>y
  • log_{αあるふぁ}x>0 <=> x>1
  • log_{αあるふぁ}x<0 <=> x<1
• log_{αあるふぁ}x<=1/(lnαあるふぁ x₀)x+(log_{αあるふぁ}x₀-1/lnαあるふぁ), τたうοおみくろん ίσον ισχύει μόνο γがんまιいおたαあるふぁ x=x₀

Γがんまιいおたαあるふぁ 0<αあるふぁ<1:

• log_{αあるふぁ}x>log_{αあるふぁ}y <=> x<y
  • log_{αあるふぁ}x>0 <=> x<1
  • log_{αあるふぁ}x<0 <=> x>1
• log_{αあるふぁ}x>=1/(lnαあるふぁ x₀)x+(log_{αあるふぁ}x₀-1/lnαあるふぁ), τたうοおみくろん ίσον ισχύει μόνο γがんまιいおたαあるふぁ x=x₀

Ταυτότητες

Γがんまιいおたαあるふぁ κάθε πραγματικό αριθμό κかっぱ, γがんまιいおたαあるふぁ κάθε θετικούς πραγματικούς αριθμούς x, y, κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーεいぷしろん αあるふぁ>0 κかっぱαあるふぁιいおた διάφορο τたうοおみくろんυうぷしろん ενός, ισχύει:

• log_{αあるふぁ}x=log_{αあるふぁ}y <=> x=y
• log_{αあるふぁ}x=0 <=> x=1
• log_{αあるふぁ}x=-log_{1/αあるふぁ}x
• log_{αあるふぁ}x+log_{αあるふぁ}y=log_{αあるふぁ}(xy)
• log_{αあるふぁ}x-log_{αあるふぁ}y=log_{αあるふぁ}(x/y)
• log_{αあるふぁ}x^κかっぱ=κかっぱlog_{αあるふぁ}x
• log_{αあるふぁ}(αあるふぁ^x)=x
  • log_{αあるふぁ}αあるふぁ=1

Λογαριθμική συνάρτηση κかっぱαあるふぁιいおた απειροστικός λογισμός

Ηいーた λογαριθμική συνάρτηση lnx έχει τたうηいーた σημαντική ιδιότητα ότι (lnx)'=1/x. Έτσι, αποδεικνύεται ότι (log_{αあるふぁ}x)'=(lnx/lnαあるふぁ)'=1/lnαあるふぁx.

Επίσης ισχύoυうぷしろんνにゅー οおみくろんιいおた εξή σχέσεις γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ ολοκληρώματα:

$\int lnx\,dx=xlnx-x+c$

$\int log_{\alpha }x\,dx=xlog_{\alpha }x+c$

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=lnx+c$

$\int {\frac {1}{ln\alpha x}}\,dx=log_{\alpha }x+c$

Δείτε επίσης

• εκθετική συνάρτηση
• λογαριθμικός κανόνας

Τたうοおみくろん άρθρο βασίστηκε σしぐまτたうηいーた διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης πぱいοおみくろんυうぷしろん αναγράφεται σしぐまτたうοおみくろん βιβλίο Μαθηματικά θετικής κかっぱαあるふぁιいおた τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6 ΟおみくろんΕいぷしろんΔでるたΒべーた εκδόσεις 2008, παράγραφος 2.10, σελίδα 287