摄动理り论

  此条目め页的主題しゅだい是ぜ一般的数学摄动理论。关于量子力学りょうしりきがく的てき摄动理り论，請見「微ほろ擾理論ろん (量子力學りょうしりきがく)」。

摄动理り论使用しよう一いち些特別べつ的てき数学すうがく方法ほうほう來らい對たい於很多た不具ふぐ精せい确解的てき问题給きゅう出で近似きんじ解かい，这些方法ほうほう从相关的較簡單かんたん问题的てき精せい确解开始入手にゅうしゅ。摄动理り论將原本げんぽん問題もんだい分ぶん為ため具有ぐゆう精確せいかく解かい的てき較簡單かんたん部ぶ分與ぶんよ不具ふぐ精確せいかく解かい的てき微ほろ扰部分ぶん。摄动理り论适用よう的てき问题通常つうじょう具有ぐゆう以下いか性質せいしつ：通つう过加入かにゅう一个微扰项於較簡單部分的數學表述，可か以計算出さんしゅつ整せい個こ問題もんだい的てき近似きんじ解かい。

摄动理り论计算さん出来でき的てき解答かいとう通常つうじょう会かい表ひょう达为一いち个微小びしょう参さん数すう的てき冪べき級數きゅうすう。摄动理り论解答かいとう与あずか精せい确解之の间的差さ别，可か以用这微小びしょう参さん数すう来らい做数量すうりょう比ひ较。冪べき級數きゅうすう的てき第だい一个项目是精确解的解答。后きさき面めん的てき项目描述解答かいとう的てき修正しゅうせい。这修正しゅうせい是ぜ因いん为精确解与原よはら本ほん问题的てき「完全かんぜん解かい」之の间的误差而产生せい的てき。更正こうせい式しき地ち，完全かんぜん解かい$A\,\!$的てき近似きんじ可か以表達たち为一个級數きゅうすう：

$A=\epsilon ^{0}A_{0}+\epsilon ^{1}A_{1}+\epsilon ^{2}A_{2}+\cdots \,\!$；

在ざい這例子こ裏うら，$A_{0}\,\!$是ぜ簡單かんたん又また有ゆう「精確せいかく解かい」的てき問題もんだい的てき精確せいかく解ほどけ，$A_{1},\,A_{2},\,\!$代表だいひょう由よし某ぼう种系统程序じょ反覆はんぷく地ち找到的てき高だか阶项目め修正しゅうせい。因よし为$\epsilon \,\!$的てき值很微小びしょう，这些高だか阶项目め修正しゅうせい应该会かい越来ごえく越えつ不ふ重要じゅうよう。

微ほろ扰阶数すう

摄动理り论的标准阐述主要しゅよう是ぜ以微扰的阶数来らい分ぶん辨べん：一阶摄动理论或二阶摄动理论。再来さいらい就是以微扰的简并度ど来き分ぶん辨べん：无简并或有ゆう简并。有ゆう简并的てき摄动，又また称たたえ为奇き异摄动（singular perturbation），比ひ较难解かい，必须用よう到いた更さら进阶的てき理り论。

一阶无简并摄动理论

本ほん段落だんらく讲述微分びぶん方かた程ほど的てき一阶微扰理论。为了简单易えき解かい，假かり设零微ほろ扰系统的解答かいとう是ぜ不ふ简并的てき。

一阶本征值修正

许多常微分じょうびぶん方かた程ほど或ある偏へん微分びぶん方かた程ほど可か以表达为

$Dg(x)=\lambda g(x)\,\!$；(1)

其中，$D\,\!$是ぜ某ぼう特定とくてい微分びぶん算さん子こ，$\lambda \,\!$是ぜ其本ほん征せい值。

假かり设微分ぶん算さん子こ可か以写为

$D=D^{(0)}+\epsilon D^{(1)}\,\!$；

其中，$\epsilon \,\!$是ぜ微小びしょう的てき度量どりょう。

又また假かり设我们已知道ともみち$D^{(0)}\,\!$的てき解答かいとう的てき完かん备集$\{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!$；其中，解答かいとう$f_{i}^{(0)}(x)\,\!$是これ$D^{(0)}\,\!$的てき本ほん征せい值为$\lambda _{i}^{(0)}\,\!$的てき本ほん征せい函数かんすう。用もちい方かた程ほど表おもて达，

$D^{(0)}f_{i}^{(0)}(x)=\lambda _{i}^{(0)}f_{i}^{(0)}(x)\,\!$。

还有，这一集合しゅうごう的てき解答かいとう$\{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!$形成けいせい一いち个正せい交归一いち集しゅう：

$\int f_{i}^{(0)}(x)f_{j}^{(0)}(x)\,dx=\delta _{ij}\,\!$；

其中，$\delta _{ij}\,\!$是これ克かつ羅ら內克函數かんすう。

取と至いたり零れい阶，完全かんぜん解かい$g(x)\,\!$应该相当そうとう接近せっきん集合しゅうごう里さと一いち个零微ほろ扰解。设定这零微ほろ扰解为$f_{n}^{(0)}(x)\,\!$。用もちい方かた程ほど表おもて达，

$g(x)=f_{n}^{(0)}(x)+{\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!$；

其中，${\mathcal {O}}\,\!$采さい用よう大だいO符號ふごう来らい描述函数かんすう的てき渐近行ぎょう为。

完全かんぜん解かい的てき本ほん征せい值也可か近似きんじ为

$\lambda =\lambda _{n}^{(0)}+{\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!$。

将はた完全かんぜん解かい$g(x)\,\!$写うつし为零微ほろ扰解的てき线性组合，

$g(x)=\sum _{m}c_{m}f_{m}^{(0)}(x)\,\!$；(2)

其中，除じょ了りょう$c_{n}\,\!$以外いがい，所有しょゆう的てき常数じょうすう$c_{m},\ m\neq n\,\!$的てき值是${\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!$；只ただ有ゆう$c_{n}\,\!$的てき值是${\mathcal {O}}(1)\,\!$。

将はた公式こうしき (2)代入だいにゅう公式こうしき (1)，乘じょう以$f_{n}^{(0)}(x)\,\!$，利用りよう正せい交归一いち性せい，可か以得到いた

$\lambda _{n}^{(0)}c_{n}+\epsilon \sum _{m}c_{m}\int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{m}^{(0)}(x)\,dx=\lambda c_{n}\,\!$。

这可以很容易ようい地ち改あらため变为一いち个简单的线性代数だいすう问题，一いち个寻找矩のり阵的てき本ほん征せい值的问题：给予 $\sum _{m}A_{nm}c_{m}=\lambda c_{n}\!\,\!$，求もとむ$\lambda \,\!$；其中，$A_{nm}\,\!$是ぜ矩のり阵元素げんそ：

$A_{nm}=\lambda _{n}^{(0)}\delta _{nm}+\epsilon \int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{m}^{(0)}(x)\,dx\,\!$。

我わが们并不ふ需要じゅよう解析かいせき整せい个矩阵。注意ちゅうい到いた线性方かた程ほど裡うら的てき每ごと一いち个$c_{m}\,\!$都みやこ是ただし${\mathcal {O}}(\epsilon )\,\!$；只ただ有ゆう$c_{n}\,\!$的てき值是${\mathcal {O}}(1)\,\!$。所以ゆえん，取と至いたり$\epsilon \,\!$一いち阶，线性方かた程ほど可か以很容易ようい地ち解析かいせき为

$\lambda =\lambda _{n}^{(0)}+\epsilon \int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,dx\,\!$。(3)

这就是ぜ一阶摄动理论的本征值解答。一阶本征值数修正是

$\lambda _{n}^{(1)}=\int f_{n}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,dx\,\!$。

一いち阶本征せい函数かんすう修正しゅうせい

取と至いたり一いち阶，函数かんすう$g(x)\,\!$可か以用类似的てき推理すいり求もとめ得う。设定

$g(x)=f_{n}^{(0)}(x)+\epsilon f_{n}^{(1)}(x)\,\!$。(4)

那な麼，公式こうしき (1)变为

$\left(D^{(0)}+\epsilon D^{(1)}\right)\left(f_{n}^{(0)}(x)+\epsilon f_{n}^{(1)}(x)\right)=(\lambda _{n}^{(0)}+\epsilon \lambda _{n}^{(1)})\left(f_{n}^{(0)}(x)+\epsilon f_{n}^{(1)}(x)\right)\,\!$。

取と至いたり一いち阶，展てん开这方かた程ほど。经过一いち番ばん运算，可か以得到いた

$D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)+D^{(0)}f_{n}^{(1)}(x)=\lambda _{n}^{(0)}f_{n}^{(1)}(x)+\lambda _{n}^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,\!$。(5)

由よし于$\{f_{i}^{(0)}(x)\}\,\!$是ぜ一いち个完备集，$f_{n}^{(1)}(x)\,\!$可か以写为

$f_{n}^{(1)}(x)=\sum _{i\neq n}C_{i}f_{i}^{(0)}(x)\,\!$。(6)

请注意ちゅうい，这方程ほど右手みぎて边的总和表ひょう达式，并不含有がんゆう$f_{n}^{(0)}(x)\,\!$项目。任にん何なに$f_{n}^{(0)}(x)\,\!$的てき贡献，可か以与公式こうしき (4)的てき零れい階かい項目こうもく相合そうごう并。

将はた公式こうしき (6)代入だいにゅう公式こうしき (5)，可か以得到いた

$(D^{(1)}-\lambda _{n}^{(1)})f_{n}^{(0)}(x)=\lambda _{n}^{(0)}\sum _{i\neq n}C_{i}f_{i}^{(0)}(x)-D^{(0)}\sum _{i\neq n}C_{i}f_{i}^{(0)}(x)=\sum _{i\neq n}(\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{i}^{(0)})C_{i}f_{i}^{(0)}(x)\,\!$。

将はた这方乘じょう式しき两边都と乘じょう以$f_{j}^{(0)}(x)\,\!$，再さい随ずい著ちょ$x\,\!$积分，利用りよう正せい交归一いち性せい，可か以得到いた

$\int \,f_{j}^{(0)}(x)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(x)\,dx=\sum _{i\neq n}(\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{i}^{(0)})C_{i}\int \,f_{j}^{(0)}(x)f_{i}^{(0)}(x)=(\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{j}^{(0)})C_{j}\,\!$。

稍やや加か编排，改あらため变下标$j\,\!$为$m\,\!$。那な麼，一いち阶本征せい函数かんすう修正しゅうせい$f_{n}^{(1)}(x)\,\!$可か以写为

$f_{n}^{(1)}(x)=\sum _{m\neq n}{\frac {f_{m}^{(0)}(x)}{\lambda _{n}^{(0)}-\lambda _{m}^{(0)}}}\int \,f_{m}^{(0)}(y)D^{(1)}f_{n}^{(0)}(y)\,dy\,\!$。

参まいり阅

• 多た體からだ微ほろ擾理論ろん

外部がいぶ链接

• 摄动方法ほうほう简介 （页面存そん档备份，存そん于互联网档案あん馆）作者さくしゃMark H. Holmes
• 第だい二に章しょう：摄动方法ほうほう简介作者さくしゃJohan Byström,Lars-Erik Persson，及Fredrik Strömberg