拉ひしげ格かく朗ろう日び括くく号ごう

拉ひしげ格かく朗ろう日び括くく号ごう是ぜ一いち种与泊とまり松まつ括くく号ごう关系密みつ切きり的てき运算，1808年ねん至いたり1810年ねん间由约瑟夫おっと·拉ひしげ格かく朗ろう日び最早もはや用もちい于经典力学りきがく之これ中ちゅう。不ふ过与泊はく松まつ括くく号ごう相しょう比ひ，拉ひしげ格かく朗ろう日び括くく号ごう在ざい今日きょう已やめ不ふ常つね使用しよう。

定てい义

令れい(q₁, …, q_n, p₁, …, p_n)为相あい空そら间中なか的てき正せい则坐标，且每一个坐标都可表示为两个变量u与あずかv的てき函数かんすう，则u和わv的てき拉ひしげ格かく朗ろう日び括くく号ごう为：

$[u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).$

性せい质

• 拉ひしげ格かく朗ろう日び括くく号ごう与あずか特定とくてい的てき正せい则坐标无关(q, p)。如取另一组正则坐标(Q,P) = (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n)，满足正せい则变换

$Q=Q(q,p),P=P(q,p)$

此时拉ひしげ格かく朗ろう日び括くく号ごう不ふ变，即そく

$[u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}$

因いん而通常つうじょう情じょう况下会かい省略しょうりゃく下か标。

• 如果2n维相空そら间W上うえ有ゆう辛からし形式けいしきΩおめが，u₁,…,u_2n是これW上うえ的てき一いち个坐标系，那な么正则坐标(q,p)可か表示ひょうじ为u的てき函数かんすう，而拉格かく朗ろう日び括くく号ごう所しょ组成的てき矩のり阵

$[u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n$

表示ひょうじ在ざい]Ωおめが在ざい坐すわ标系u下した的てき分量ぶんりょう，可か看み作さく一いち个张量。这个矩のり阵是由よし泊はく松まつ括くく号ごう所しょ组成的てき矩のり阵

$\{u_{i},u_{j}\},\quad 1\leq i,j\leq 2n$

的てき逆ぎゃく矩のり阵。

• 由よし上述じょうじゅつ性せい质可以得到いた，相あい空そら间上的てき坐すわ标(Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n)是正ぜせい则的，当とう且仅当とう它们之の间的拉ひしげ格かく朗ろう日び括くく号ごう有ゆう如下形式けいしき：

$[Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.$

参まいり见

• 拉ひしげ格かく朗ろう日び力学りきがく
• 哈密顿力学がく

参考さんこう文献ぶんけん

• Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7.
• Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257--277. MR1659212