ラグランジュ力学りきがく

古典こてん力学りきがく
${\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})$ 運動うんどうの第だい2法則ほうそく
歴史れきし
分野ぶんや 静せい力学りきがく  · 動力どうりょく学がく / 物理ぶつり学がくにおける動力どうりょく学がく  · 運動うんどう学がく  · 応用おうよう力学りきがく  · 天体てんたい力学りきがく  · 連続れんぞく体力たいりょく学がく  · 統計とうけい力学りきがく 定式ていしき化か ニュートン力学りきがく 解析かいせき力学りきがく: ラグランジュ力学りきがく ハミルトン力学りきがく 基本きほん概念がいねん 空間くうかん · 時間じかん · 速度そくど · 速はやさ · 質量しつりょう · 加速度かそくど · 重力じゅうりょく · 力ちから · 力ちから積せき · トルク / モーメント / 偶力 · 運動うんどう量りょう · 角かく運動うんどう量りょう · 慣性かんせい · 慣性かんせいモーメント · 基準きじゅん系けい · エネルギー · 運動うんどうエネルギー · 位置いちエネルギー · 仕事しごと · 仮想かそう仕事しごと · ダランベールの原理げんり 主要しゅよう項目こうもく 剛体ごうたい · 運動うんどう · ニュートン力学りきがく · 万有引力ばんゆういんりょく · 運動うんどう方程式ほうていしき · 慣性かんせい系けい · 非ひ慣性かんせい系けい · 回転かいてん座標ざひょう系けい · 慣性かんせい力りょく · 平面へいめん粒子りゅうし運動うんどう力学りきがく · 変位へんい · 相対そうたい速度そくど · 摩擦まさつ · 単たん振動しんどう · 調和ちょうわ振動しんどう子こ · 短たん周期しゅうき振動しんどう · 減衰げんすい · 減衰げんすい比ひ · 自転じてん · 回転かいてん · 円運動えんうんどう · 非ひ等とう速そく円運動えんうんどう · 向こう心力しんりょく · 遠心えんしん力りょく · 遠心えんしん力りょく (回転かいてん座標ざひょう系けい) · 反応はんのう遠心えんしん力りょく · コリオリの力ちから · 振ふり子こ · 回転かいてん速度そくど · 角すみ加速度かそくど · 角速度かくそくど · 角すみ周波数しゅうはすう · 偏へん位い角度かくど 科学かがく者しゃ ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン

ラグランジュ力学りきがく（ラグランジュりきがく、英語えいご：Lagrangian mechanics）は、一般いっぱん化か座標ざひょうとその微分びぶんを基本きほん変数へんすうとして記述きじゅつされた古典こてん力学りきがくである。フランスの物理ぶつり学者がくしゃジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが創始そうしした。後ごのハミルトン力学りきがくと同様どうようにニュートン力学りきがくを再さい定式ていしき化かした解析かいせき力学りきがくの一いち形式けいしきである。

概要がいよう

ラグランジュ形式けいしきの解析かいせき力学りきがくは最小さいしょう作用さようの原理げんりによって構成こうせいされる。 元々もともとはニュートン的てきな力学りきがくの分野ぶんやにおいて成立せいりつしたが、電磁気でんじき学がくや相対性理論そうたいせいりろんでも応用おうようすることが出来できて、これらの分野ぶんやにおける基礎きそ方程式ほうていしき（マクスウェル方程式ほうていしき、アインシュタイン方程式ほうていしき）を導みちびき出だすことが出来できる。 また、量子力学りょうしりきがくにおいても、経路けいろ積分せきぶんの方法ほうほうは最小さいしょう作用さようの原理げんりに関連かんれんして考かんがえ出だされた方法ほうほうである。

ラグランジュ形式けいしきでは一般いっぱん化か座標ざひょうによって記述きじゅつされており、変数へんすうの取とり方かたが任意にんいである。 ニュートンの運動うんどう方程式ほうていしきはベクトルの方程式ほうていしきであり、デカルト座標ざひょう以外いがいでは煩雑はんざつな座標ざひょう変換へんかんが必要ひつようとなるが、ラグランジュ形式けいしきにおいてはラグランジアンはスカラーであり座標ざひょう変換へんかんが簡単かんたんである。

実際じっさいの計算けいさん上じょうでも、例たとえば長ながさが一定いっていの振ふり子こなどで円周えんしゅう上うえを運動うんどうする場合ばあいには、平面へいめん内ないの運動うんどうなのでニュートンの運動うんどう方程式ほうていしきでは2つの方向ほうこうの2変数へんすうが必要ひつようとなるが、ラグランジュ形式けいしきでは一般いっぱん化か座標ざひょうとして角度かくどを選えらぶことにより1変数へんすうの方程式ほうていしきが得えられる。 もちろんニュートンの運動うんどう方程式ほうていしきはラグランジュ形式けいしきと等価とうかなので適当てきとうな変換へんかんにより同おなじ式しきが得えられるが、ラグランジュ形式けいしきでは直接ちょくせつ得えられる点てんで便利べんりである。

定式ていしき化か

ラグランジュ形式けいしきにおいて、力学りきがく系けいの運動うんどう状態じょうたいを指定していする力学りきがく変数へんすうは一般いっぱん化か座標ざひょう $q(t)=(q_{1}(t),\ldots )$ である。力学りきがく系けいの性質せいしつは一般いっぱん化か座標ざひょうとその微分びぶん（一般いっぱん化か速度そくど）、および時間じかんを変数へんすうとする関数かんすう $L(q(t),{\dot {q}}(t),t)$ によって記述きじゅつされる。この力学りきがく系けいの性質せいしつを記述きじゅつする関数かんすう L はラグランジュ関数かんすう（ラグランジアン）と呼よばれる。

ラグランジュ形式けいしきにおいて、作用さよう汎ひろし関数かんすうはラグランジュ関数かんすうの時間じかん積分せきぶん

$S[q]=\int _{t_{\text{I}}}^{t_{\text{F}}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)\,dt$

として与あたえられる。 一般いっぱん化か座標ざひょうは実際じっさいには起おこらない運動うんどうの値ねも取とりうるが、そこから実際じっさいの運動うんどうを導みちびく方法ほうほうが最小さいしょう作用さようの原理げんりである。すなわち、作用さよう汎ひろし関数かんすうが最小さいしょうとなる運動うんどうが実際じっさいに起おこる運動うんどうである。

作用さようの停留ていりゅう条件じょうけんから、ラグランジュの運動うんどう方程式ほうていしき（オイラー＝ラグランジュ方程式ほうていしき）

${\frac {\delta S[q]}{\delta q_{i}(t)}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0$

が得えられる。 これはニュートンの運動うんどう方程式ほうていしきと同等どうとうである。

運動うんどう量りょう

一般いっぱん化か座標ざひょうに共役きょうやくな一般いっぱん化か運動うんどう量りょうは、ラグランジアンの一般いっぱん化か速度そくどによる偏へん微分びぶん

$p_{i}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

によって定義ていぎされる。 これは並進へいしん対称たいしょう性せいから導みちびかれる保存ほぞん量りょうである。

一般いっぱん化か運動うんどう量りょうを用もちいると、ラグランジュの運動うんどう方程式ほうていしきは

${\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}$

となる。ニュートンの運動うんどう方程式ほうていしきとの比較ひかくから、右辺うへんは一般いっぱん化かされた力ちからと見みることも出来できる。

ハミルトン形式けいしきでは一般いっぱん化か座標ざひょうと一般いっぱん化か運動うんどう量りょうによって記述きじゅつされている。 一般いっぱん化か運動うんどう量りょうは正せい準じゅん共役きょうやく量りょうであり、共役きょうやく運動うんどう量りょうや正せい準じゅん運動うんどう量りょうと呼よばれることもある。

ラグランジュ関数かんすう

ラグランジュ関数かんすう（ラグランジアン、Lagrangian）は、物理ぶつり的てきな力学りきがく系けいの動力どうりょく学がくを記述きじゅつするために用もちいられる関数かんすうである。 ラグランジアン $L(q,{\dot {q}},t)$ は一般いっぱんに運動うんどうエネルギー T とポテンシャル V の差さ

$L(q,{\dot {q}},t)=T-V$

の形かたちで書かかれる。

ラグランジアンはエネルギーの次元じげんを持もつスカラーであるが、観測かんそく可能かのうな物理ぶつり量りょうではなく、その値ね自体じたいに物理ぶつり的てきな意味いみがあるわけではない。特とくに、座標ざひょうと時間じかんの任意にんい関数かんすう $f(q,t)$ の時間じかんによる全ぜん微分びぶんを加くわえる変換へんかん

$L'(q,{\dot {q}},t)=L(q,{\dot {q}},t)+{\frac {d}{dt}}f(q,t)$

を行おこなっても全まったく同おなじ力学りきがく系けいを表あらわす。 この全ぜん微分びぶんは連鎖れんさ律りつにより

${\frac {d}{dt}}f(q,t)={\dot {q}}_{i}\cdot {\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}$

となるので、この変換へんかんに対たいして、共役きょうやく運動うんどう量りょうは

$p'_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i}+{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}$

と変換へんかんされる。したがって、新あらたな共役きょうやく運動うんどう量りょうの時間じかん微分びぶんは

${\dot {p}}'_{i}={\dot {p}}_{i}+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}$

となる。一方いっぽう、一般いっぱん化かされた力ちからは

${\frac {\partial L'}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}{\frac {d}{dt}}f$

と変換へんかんされる。任意にんい関数かんすう f に作用さようする全ぜん微分びぶん d/dt と座標ざひょうの偏へん微分びぶん ∂/∂q が交換こうかん可能かのうなので、この変換へんかんに対たいして運動うんどう方程式ほうていしきが保たもたれる。

座標ざひょう変換へんかん

座標ざひょう変換へんかん $q\mapsto Q$ が

$q_{i}=g_{i}(Q,t)$

で表あらわされるとき、新あらたな座標ざひょうの下したでのラグランジアンは

${\tilde {L}}(Q,{\dot {Q}},t)=L(g(Q,t),{\dot {g}}(Q,t),t)$

で与あたえられ、新あらたなラグランジアンから導みちびかれる運動うんどう方程式ほうていしきは

${\frac {\delta {\tilde {S}}[Q]}{\delta Q_{I}(t)}}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial Q_{I}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q}}_{I}}}=0$

である。このように写像しゃぞうの合成ごうせいで座標ざひょう変換へんかんを容易よういに行おこなえることが一般いっぱん化か座標ざひょうで表あらわされるラグランジュ形式けいしきの利点りてんの一ひとつである。

座標ざひょう変換へんかんの時間じかん微分びぶんは連鎖れんさ律りつにより

${\dot {g}}_{i}(Q,t)={\frac {dg_{i}}{dt}}(Q,t)={\dot {Q}}_{I}\cdot {\frac {\partial g_{i}}{\partial Q_{I}}}(Q,t)+{\frac {\partial g_{i}}{\partial t}}(Q,t)$

であるため、新あらたな座標ざひょうに共役きょうやくな運動うんどう量りょうは

$P_{I}(t)={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q}}_{I}}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\partial g_{i}}{\partial Q_{I}}}=p_{i}\cdot {\frac {\partial g_{i}}{\partial Q_{I}}}$

となる。

母はは関数かんすう

座標ざひょう変換へんかんは

$W(p,Q,t)=p_{i}\cdot g_{i}(Q,t)$

で定義ていぎされる母はは関数かんすうにより生成せいせいされる。 座標ざひょう変換へんかんは

$q_{i}={\frac {\partial W}{\partial p_{i}}}$

で与あたえられ、新あらたな運動うんどう量りょうは

$P_{I}={\frac {\partial W}{\partial Q_{I}}}$

で与あたえられる。

先さきの任意にんい関数かんすうによるラグランジュ関数かんすうの変換へんかんを伴ともなう場合ばあいの母はは関数かんすうは

$W(p,Q,t)=p_{i}\cdot g_{i}(Q,t)+f(Q,t)$

で与あたえられる。

拘束こうそく系けい

拘束こうそく条件じょうけんが課かされた系けいにラグランジュ形式けいしきを用もちいる際さいに、一般いっぱん座標ざひょうを適当てきとうに選えらぶことによって、拘束こうそく条件じょうけんが常つねに満みたされるようにすることができる。上うえで挙あげた振ふり子この例れいであれば、座標ざひょう変数へんすうに角度かくどを選えらぶことによって長ながさが一定いっていという拘束こうそく条件じょうけんが常つねに満みたされるようにしている。 これの手法しゅほうとは別べつに、ラグランジュの未定みてい乗数じょうすう法ほうを用もちいて作用さよう汎ひろし関数かんすう（ラグランジュ関数かんすう）に拘束こうそく条件じょうけんを取とり入いれる方法ほうほうがある。

一般いっぱん化か座標ざひょう q に対たいして、拘束こうそく条件じょうけん

$\varPhi (q,t)=0$

が課かされている場合ばあいを考かんがえる。 このとき、作用さようは

$S_{\text{b}}[q,\beta ]=S[q]+\int _{t_{\text{I}}}^{t_{\text{F}}}\beta (t)\,\varPhi (q,t)\,dt$

によって拘束こうそく条件じょうけんが取とり入いれられる。ここで導入どうにゅうされた βべーた(t) がラグランジュの未定みてい乗数じょうすうである。 拘束こうそく条件じょうけんは全すべての時間じかんで成なり立たつので、未定みてい乗数じょうすうも各々おのおのの時間じかんに対たいして導入どうにゅうされる時間じかんの関数かんすうである。

拘束こうそく条件じょうけんが取とり入いれられた作用さように対たいして最小さいしょう作用さようの原理げんりを適用てきようして

${\frac {\delta S_{\text{b}}[q,\beta ]}{\delta q_{i}(t)}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}+\beta (t){\frac {\partial \varPhi }{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0$

${\frac {\delta S_{\text{b}}[q,\beta ]}{\delta \beta (t)}}=\varPhi (q,t)=0$

が得えられる。力学りきがく変数へんすう q に対応たいおうする運動うんどう方程式ほうていしきには「拘束こうそく力りょく」βべーた(∂Φふぁい/∂q) が加くわえられ、未定みてい乗数じょうすうに対応たいおうする運動うんどう方程式ほうていしきとして拘束こうそく条件じょうけんが導みちびかれる。

ハミルトン形式けいしきとの関係かんけい

ハミルトン形式けいしきとラグランジュ形式けいしきはルジャンドル変換へんかんを通とおして等価とうかである。ただし、ラグランジアンが退化たいかしている場合ばあいは、ルジャンドル変換へんかんが微分びぶん同相どうしょう写像しゃぞうではなくなり、ラグランジュ系けいからハミルトン系けいへ移行いこうすることができなくなる。この退化たいかしている場合ばあいの処方しょほうとしてポール・ディラックの拘束こうそく理論りろんが知しられている。

ラグランジュ形式けいしきによる場ばの理論りろん

詳細しょうさいは「ラグランジアン (場ばの理論りろん)」を参照さんしょう

特とくに相対そうたい論ろん的てきな場ばの理論りろんの場合ばあいでは、ラグランジュ形式けいしきから出発しゅっぱつするのが一般いっぱん的てきである。その方ほうが相対そうたい論ろん的てき不変ふへん性せいなどの対称たいしょう性せいが見みやすいからである。

力学りきがく変数へんすうとしては場ば $\phi (x)$を考かんがえる。作用さよう積分せきぶんはラグランジアン密度みつど ${\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,x)$ により

$S[\phi ]={\frac {1}{c}}\int {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,x){\sqrt {-g}}\,d^{d}x$

で書かかれる。その変へん分ぶんは

${\begin{aligned}\delta S&={\frac {1}{c}}\int \left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\partial _{\mu }\delta \phi \right){\sqrt {-g}}\,d^{d}x\\&={\frac {1}{c}}\int \left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-{\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\sqrt {-g}}\right)\right]\delta \phi {\sqrt {-g}}\,d^{d}x+{\frac {1}{c}}\oint {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta \phi {\sqrt {-g}}\,d\varSigma _{\mu }\\\end{aligned}}$

となり、ラグランジュの運動うんどう方程式ほうていしきとして

${\frac {c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S[\phi ]}{\delta \phi (x)}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-{\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\sqrt {-g}}\right)=0$

が得えられる。

ラグランジュ関数かんすうの存在そんざい条件じょうけん

座標ざひょうの2階かい微分びぶん ··q について高々たかだか1次じである次つぎの運動うんどう方程式ほうていしき

$A_{ij}(q,{\dot {q}},t){\ddot {q}}^{j}+B_{i}(q,{\dot {q}},t)=0,\quad (i,j=1,\dots ,N)$

（ただし q = (q¹, ..., q^N)）を導みちびくラグランジュ関数かんすうが局所きょくしょ的てきに存在そんざいする必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは以下いかであることがヘルムホルツにより調しらべられている：

${\begin{aligned}A_{ij}&=A_{ji},\\{\frac {\partial A_{jk}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}&={\frac {\partial A_{ki}}{\partial {\dot {q}}^{j}}},\\{\frac {\partial B_{i}}{\partial {\dot {q}}^{j}}}+{\frac {\partial B_{j}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}&=2\left({\dot {q}}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)A_{ij},\\2\left({\frac {\partial B_{i}}{\partial q^{j}}}-{\frac {\partial B_{j}}{\partial q^{i}}}\right)&=\left({\dot {q}}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)\left({\frac {\partial B_{i}}{\partial {\dot {q}}^{j}}}-{\frac {\partial B_{j}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right).\end{aligned}}$

このとき、ラグランジュ関数かんすうは以下いかで与あたえられる：

${\begin{aligned}L(q,{\dot {q}},t)&=K(q,{\dot {q}},t)+D_{i}(q,t){\dot {q}}^{i}+C(q,t),\\K(q,{\dot {q}},t)&=\int _{0}^{1}{\dot {q}}^{i}H_{i}(q,{\dot {q}}\tau ,t)\mathrm {d} \tau ,\\D_{i}(q,t)&=q^{j}\int _{0}^{1}\mathrm {d} \tau \ \tau Z_{[i,j]}(\tau q,t)+{\frac {\partial G}{\partial q^{i}}},\\C(q,t)&=q^{i}\int _{0}^{1}\mathrm {d} \tau \ Y_{i}(q\tau ,t),\\H_{i}(q,{\dot {q}},t)&:=\int _{0}^{1}\mathrm {d} \tau \ A_{ij}(q,\tau {\dot {q}},t){\dot {q}}^{j},\\Z_{[i,j]}(q,t)&\equiv -Z_{[j,i]}(q,t):={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial B_{i}}{\partial {\dot {q}}^{j}}}-{\frac {\partial B_{j}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}K}{\partial q^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}-{\frac {\partial ^{2}K}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial q^{j}}},\\Y_{i}(q,t)&:=\left\{{\frac {\partial ^{2}K}{\partial q^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial B_{i}}{\partial {\dot {q}}^{j}}}-{\frac {\partial B_{j}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right)\right\}{\dot {q}}^{j}-{\frac {\partial K}{\partial q^{i}}}-B_{i}+{\frac {\partial ^{2}K}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial t}}+{\frac {\partial D_{i}}{\partial t}}.\end{aligned}}$

ここで G は q, t の任意にんい関数かんすうである。

具体ぐたい例れい

相対そうたい論ろん的てきな粒子りゅうし系けい

相対そうたい論ろん的てきな系けいでは、時間じかんは位置いちと共ともに4元げんベクトルとなるので、時間じかんは力学りきがく変数へんすうとなり、運動うんどうのパラメータではなくなる。パラメータを λらむだ として、力学りきがく変数へんすうを

$X=(X_{i}^{\mu }(\lambda ))=(ct_{i}(\lambda ),{\boldsymbol {x}}_{i}(\lambda ))$

とする。ここで μみゅー は時空じくうの添そえ字じで、i は粒子りゅうしを区別くべつする添そえ字じである。 自由じゆう粒子りゅうし系けいを考かんがえると、作用さよう積分せきぶんは

$S[X]=\int L(X,{\dot {X}},\lambda )\,d\lambda =-\int \sum _{i}\left(m_{i}c{\sqrt {-\eta _{\mu \nu }\,{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }}}\right)\,d\lambda$

である。ここで ηいーた は平坦へいたんな時空じくうの計量けいりょうで $\eta =\mathrm {diag} (-1,1,\ldots ,1)$ である。 平方根へいほうこんの中なかが正せいである為ために、作用さよう積分せきぶんの段階だんかいで運動うんどうは時間じかん的てきなものに限定げんていされている。

ラグランジュの運動うんどう方程式ほうていしきは

${\frac {\delta S[X]}{\delta X_{i}^{\mu }(\lambda )}}=-{\dot {p}}_{i\mu }(\lambda )=0$

となる。 ここで、一般いっぱん化か運動うんどう量りょうは

$p_{i\mu }(\lambda )={\frac {\partial L}{\partial {\dot {X}}_{i}^{\mu }}}=m_{i}c{\frac {\eta _{\mu \nu }\,{\dot {X}}_{i}^{\nu }(\lambda )}{\sqrt {-({\dot {X}}_{i})^{2}}}}$

$p_{i}^{\mu }(\lambda )=\eta ^{\mu \nu }\,p_{i\nu }(\lambda )={\frac {m_{i}c{\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )}{\sqrt {-({\dot {X}}_{i})^{2}}}}$

である。 固有こゆう時間じかん $c^{2}d\tau _{i}^{2}=\eta _{\rho \sigma }dX_{i}^{\rho }dX_{i}^{\sigma }$ を使つかうと

$p_{i}^{\mu }(\tau _{i})=m_{i}{\frac {dX_{i}^{\nu }}{d\tau _{i}}}=\left(m_{i}c{\frac {dt_{i}}{d\tau _{i}}},m_{i}{\frac {d{\boldsymbol {x}}_{i}}{d\tau _{i}}}\right)=(E_{i}/c,{\boldsymbol {p}}_{i})$

となる。

補助ほじょ変数へんすうの導入どうにゅう

この作用さようは平方根へいほうこんの中なかに微分びぶんを含ふくむ形かたちのため扱あつかいが困難こんなんである。 補助ほじょ変数へんすう γがんま_i(λらむだ) を導入どうにゅうして別べつの形かたちに書かくことが出来できる。

$S[X,\gamma ]={\frac {1}{2}}\int \sum _{i}\left({\frac {1}{{\gamma _{i}}^{2}}}\eta _{\mu \nu }{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)\gamma _{i}d\lambda$

この作用さよう積分せきぶんは多おおくの系けいの運動うんどう項こうと同おなじく一般いっぱん化か速度そくどの二に次じ形式けいしきで書かかれている。作用さよう積分せきぶんの段階だんかいでは運動うんどうは時間じかん的てきなものに限定げんていされない。また、質量しつりょう m がゼロの場合ばあいにも意味いみを持もつ。

力学りきがく変数へんすう X に関かんする運動うんどう方程式ほうていしきは

${\frac {\delta S[X,\gamma ]}{\delta X_{i}^{\mu }(\lambda )}}=-{\dot {p}}_{i\mu }(\lambda )=0$

であり、一般いっぱん化か運動うんどう量りょうは

$p_{i\mu }(\lambda )={\frac {1}{\gamma _{i}(\lambda )}}\eta _{\mu \nu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }(\lambda )$

である。

補助ほじょ変数へんすう γがんま_i は、作用さように微分びぶんが含ふくまれておらず、非ひ物理ぶつり的てきな量りょうである。補助ほじょ変数へんすうの拘束こうそく条件じょうけんは

${\frac {\delta S[X,\gamma ]}{\delta \gamma _{i}(\lambda )}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {1}{\gamma _{i}^{2}}}\eta _{\mu \nu }{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)=0$

となる。質量しつりょう m がゼロでないときには

$\gamma _{i}^{2}=-{\frac {\eta _{\mu \nu }{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }}{m_{i}^{2}c^{2}}}$

$\gamma _{i}={\frac {1}{m_{i}c}}{\sqrt {-({\dot {X}}_{i})^{2}}}$

となって上うえの作用さよう積分せきぶんと等価とうかであることが確認かくにんされる。補助ほじょ変数へんすうの実数じっすう性せいを仮定かていすれば、運動うんどうが時間じかん的てきなものに限定げんていされる。

電磁気でんじき学がく

電磁場でんじばの力学りきがく変数へんすうは電磁でんじポテンシャル A である。 自由じゆう空間くうかんにおいて電磁場でんじばが物質ぶっしつ X と相互そうご作用さようする系けいの作用さよう汎ひろし関数かんすうは

$S[X,A]=S_{X}[X]+S_{A}[A]+S_{\text{int}}[X,A]$

の形かたちで書かかれる。 ここで S_X は物質ぶっしつの項こう、S_A は電磁場でんじばの項こう、S_int は電磁場でんじばと物質ぶっしつの相互そうご作用さよう項こうであり、電磁場でんじばの項こうは

$S_{A}[A]=-{\frac {1}{4Z_{0}}}\int F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }(x){\sqrt {-g}}\,d^{4}x$

と書かかれる。ここで F は電磁場でんじばテンソルである。 このとき、電磁場でんじば A に対たいする運動うんどう方程式ほうていしき

${\frac {c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S[X,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}=j^{\mu }(x)+{\frac {c}{Z_{0}}}D_{\nu }F^{\nu \mu }(x)=0$

としてマクスウェルの方程式ほうていしきが導みちびかれる。

詳細しょうさいは「古典こてん電磁気でんじき学がくの共きょう変へん定式ていしき#電磁気でんじき学がくのラグランジュ形式けいしき」を参照さんしょう

電磁場でんじば中ちゅうの粒子りゅうし系けい

物質ぶっしつ場じょうとして相対そうたい論ろん的てきな粒子りゅうし系けいを考かんがえ、相互そうご作用さよう項こうとして

${\begin{aligned}S_{\text{int}}[X,A]&=\sum _{i}q_{i}\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,A_{\mu }(X_{i})\,d\lambda \\&=\int \sum _{i}q_{i}\left(\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\,d\lambda \right)A_{\mu }(x)\,d^{4}x\\\end{aligned}}$

を考かんがえる。

このとき、物質ぶっしつ X に関かんする運動うんどう方程式ほうていしきは

${\frac {\delta S_{X}[X]}{\delta X_{i}^{\mu }(\lambda )}}+{\frac {\delta S_{\text{int}}[X,A]}{\delta X_{i}^{\mu }(\lambda )}}=-{\dot {p}}_{i\mu }(\lambda )+q_{i}{\dot {X}}_{i}^{\nu }(\lambda )\,F_{\nu \mu }(X_{i})=0$

となり、ローレンツ力つとむを再現さいげんする。

また、4元げん電流でんりゅう密度みつどは

$j^{\mu }(x)={\frac {c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\text{int}}[X,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}=\sum _{i}{\frac {q_{i}c}{\sqrt {-g}}}\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\,d\lambda$

となる。

一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろん

一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんにおいては、平坦へいたんな時空じくうの計量けいりょうは曲まがった時空じくうの計量けいりょう g に置おき換かえられ、これが力学りきがく変数へんすうとなる。 作用さよう積分せきぶんは

$S[g,X]=S_{X}[g,X]+S_{g}[g]$

と書かかれる。 重力じゅうりょく場じょうの項こうは

$S_{g}[g]={\frac {1}{2\kappa c}}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$

である。 ここで R はスカラー曲きょく率りつである。 アインシュタイン方程式ほうていしきは時空じくうの計量けいりょう g の運動うんどう方程式ほうていしきとして導みちびかれる。

詳細しょうさいは「アインシュタイン・ヒルベルト作用さよう」を参照さんしょう

参考さんこう文献ぶんけん

• L.D.ランダウ、E.M.リフシッツ『力学りきがく』東京とうきょう図書としょ出版しゅっぱん〈理論りろん物理ぶつり学がく教程きょうてい〉、1974年ねん。ISBN 4-489-01160-1。 
• L.D.ランダウ、E.M.リフシッツ『場ばの古典こてん論ろん』東京とうきょう図書としょ出版しゅっぱん〈理論りろん物理ぶつり学がく教程きょうてい〉、1978年ねん。ISBN 4-489-01161-X。 
• 清水しみず明あきら『新版しんぱん 量子りょうし論ろんの基礎きそ―その本質ほんしつのやさしい理解りかいのために―』サイエンス社しゃ、2004年ねん。ISBN 4-7819-1062-9。 
• 江沢えざわ洋ひろし『解析かいせき力学りきがく』培風館ばいふうかん〈新しん物理ぶつり学がくシリーズ〉、2007年ねん。ISBN 978-4-563-02436-9。 

関連かんれん項目こうもく

• オイラー＝ラグランジュ方程式ほうていしき
• 最小さいしょう作用さようの原理げんり
• 解析かいせき力学りきがく - ハミルトン力学りきがく
• ネーターの定理ていり

外部がいぶリンク

• Lagrangian mechanics （英語えいご） - スカラーペディア百科ひゃっか事典じてん「ラグランジュ力学りきがく」の項目こうもく。