経路けいろ積分せきぶん

経路けいろ積分せきぶん（けいろせきぶん）あるいは径路けいろ積分せきぶんは、リチャード・P・ファインマンが考案こうあんした量子力学りょうしりきがくの理論りろん手法しゅほうである。ファインマンの経路けいろ積分せきぶんとも呼よばれる。

概要がいよう

t₀ で同時どうじに A 点てんを出発しゅっぱつした粒子りゅうしが、別べつの t₁ で同時どうじに B 点てんに到達とうたつする無数むすうの経路けいろのうちの 3 つを示しめしている。

古典こてん力学りきがく（古典こてん系けい）では、ある質点しつてんの運動うんどうの様子ようす（運動うんどうの経路けいろ）は初期しょき状態じょうたいを決きめてしまえば後のちは運動うんどう方程式ほうていしきを解とくことによって一意的いちいてきに定さだまる。一方いっぽう、量子りょうし系けいでは量子りょうし的てきな不ふ確定かくていさ（量子りょうしゆらぎ）が存在そんざいするため、古典こてん系けいのような一意的いちいてきな経路けいろの決定けっていはできない。

量子りょうし系けいで素粒子そりゅうしなどの運動うんどうの様子ようすを求もとめる方法ほうほうはいくつか存在そんざいするが、その一ひとつとして経路けいろ積分せきぶんによる方法ほうほうがある。

経路けいろ積分せきぶんの数式すうしきでは、始点してんと終点しゅうてんを結むすぶ経路けいろは無数むすうにかつ大域たいいき的てきに分布ぶんぷしている。それら無数むすうの経路けいろを計算けいさん上じょうで合成ごうせいすると求もとめる結果けっかとなる。 経路けいろ積分せきぶん法ほうによって求もとめた測定そくてい値ちの確かく率りつ分布ぶんぷは、通常つうじょうの演算えんざん子こ形式けいしきで求もとめた確かく率りつ分布ぶんぷと一致いっちする。よって演算えんざん子こ形式けいしきと経路けいろ積分せきぶん法ほうは等価とうかな理論りろんである。

演算えんざん子こ形式けいしき（シュレーディンガーによる波動はどう力学りきがくやハイゼンベルクの行列ぎょうれつ力学りきがく）では、系けいの時間じかん発展はってんは運動うんどう方程式ほうていしき（例たとえばシュレーディンガー方程式ほうていしき）を解とくことで求もとまるが、経路けいろ積分せきぶんでは運動うんどうの経路けいろに着目ちゃくもくして、経路けいろ全体ぜんたいに対たいする大域たいいき的てきな視点してんで量子力学りょうしりきがく上うえの問題もんだいを扱あつかう。ファインマンは、ポール・ディラックの論文ろんぶんにあった「時刻じこく t と t + Δでるたt（Δでるたt は微小びしょうとする）の 2 状態じょうたい間あいだの遷移せんいの振幅しんぷくが、該当がいとうする系けいのラグランジアンの指数しすう関数かんすうに対応たいおうする」という記述きじゅつに着想ちゃくそうを得えて、この手法しゅほうを考かんがえ出だした。ファインマン自身じしんは、この手法しゅほうを使つかって液体えきたいヘリウムの極きょく低温ていおんでのロトンの励起れいきの問題もんだいなどを理論りろん的てきに扱あつかった。

発想はっそう

経路けいろ積分せきぶんは古典こてん力学りきがくの基本きほん原理げんりであるラグランジュの最小さいしょう作用さようの原理げんりを元もとにしている(p.55-55)(p.120-124)。 その際さい、ファインマンはディラックの著書ちょしょ中なかの

$\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{a}}^{t_{b}}L(t)\,\mathrm {d} t\right]=\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}S(t_{b},t_{a})\right]$

は量子力学りょうしりきがくの $\langle q_{t_{b}}\mid q_{t_{a}}\rangle$ に対応たいおうする、という指摘してきに興味きょうみをそそられたと言いわれている。

具体ぐたい的てきな経路けいろ積分せきぶんの発想はっそうは、二に重じゅうスリット実験じっけんと関連かんれんする。二に重じゅうスリット実験じっけんではスリットの数かずは 二ふたつであるが、これを無限むげん個こに拡張かくちょうした考かんがえ方かたが経路けいろ積分せきぶんである。 スリットの数かずが二ふたつなら、経路けいろは二ふたつである。スリットの数かずが無限むげん個こなら、経路けいろの数かずは無限むげん個こである。スリットの数かずが無限むげん個こになるという状況じょうきょうは、スリットの刻きざまれた衝立ついたてが存在そんざいしない空間くうかん、つまり障害しょうがい物ぶつのない空間くうかんを意味いみする。従したがって、真空しんくう中ちゅうでは経路けいろが無限むげん個こであると考かんがえられる。 そのアイデアを数式すうしきで定式ていしき化かしたのがファインマンである。

経路けいろ積分せきぶんの計算けいさん法ほうは形式けいしき的てき手法しゅほうであって実在じつざいを表あらわしていないという批判ひはんがあり(p.127-128)、保ほ江こう邦夫くにおは経路けいろ積分せきぶんが実在じつざいしないし数学すうがく的てきに破綻はたんしていると断言だんげんしている(p.67-69)。

経路けいろの干渉かんしょう

二に重じゅうスリット実験じっけんのように、少すこし条件じょうけんが複雑ふくざつになれば最終さいしゅう的てきな結論けつろんは変化へんかし、古典こてん力学りきがくの結論けつろんと一致いっちするとは限かぎらなくなる。 二に重じゅうスリット実験じっけんではスリットが二ふたつあり、途中とちゅう点てんが二ふたつある。古典こてん力学りきがくでは単たんに経路けいろの足たし算ざんがあるだけで、ピークが二ふたつ観測かんそくされるはずであるが、これは実験じっけん事実じじつと異ことなる。一方いっぽう、経路けいろ積分せきぶんでは経路けいろの干渉かんしょうを計算けいさんすると、縞しま模様もようの干渉かんしょう縞しまができる（これは、実験じっけん事実じじつと一致いっちする）。二に重じゅうスリット実験じっけんの結果けっか（干渉かんしょう縞しま）は古典こてん力学りきがくの理論りろんでは解釈かいしゃくできないが、経路けいろ積分せきぶんの手法しゅほうで考かんがえれば妥当だとうな説明せつめいを得えることができる。

詳細しょうさい説明せつめい

経路けいろとは、位置いちを時刻じこく t の関数かんすうとして表あらわした $q(t)$ のことを指さす。

時刻じこく t_A に位置いち q_A を出発しゅっぱつし、時刻じこく t_B に位置いち q_B に到達とうたつする粒子りゅうしの運動うんどうを考かんがえる。 系けいの古典こてん的てきラグランジアンを $L(q,{\dot {q}})$ とすると、その作用さようは

$S[A,B]=\int _{t_{A}}^{t_{B}}L(q,{\dot {q}},t)dt$

で表あらわされる。 ファインマンは状態じょうたい A から状態じょうたい B に遷移せんいする量子力学りょうしりきがく的てきな確かく率りつ振幅しんぷくは、 A から B へ行いくすべての取とりうる経路けいろからの寄与きよについての和わをとった

$K_{A\to B}=\int _{A}^{B}{\mathcal {D}}q\,e^{(i/\hbar )S[A,B]}$

として表あらわせることを見出みいだした。 ここで、形式けいしき的てきな積分せきぶん $\int {\mathcal {D}}q$ は、時間じかんを

$\Delta t=(t_{B}-t_{A})/N,~t_{j+1}=t_{j}+\Delta t,~t_{0}=t_{A},~t_{N}=t_{B},~q_{j}=q(t_{j})$

と分割ぶんかつし、多重たじゅう積分せきぶんの極限きょくげん

$\int {\mathcal {D}}q=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{C}}\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}$

で与あたえられるものである。 C は極限きょくげんを収束しゅうそくさせる為ための規格きかく化か因子いんしで、ラグランジアンが

$L(q,{\dot {q}})={\frac {m}{2}}{\dot {q}}^{2}-V(q,t)$

で表あらわされるときは、

$C=\left({\frac {2\pi i\hbar \Delta t}{m}}\right)^{N/2}$

となる。

ファインマン自身じしんは、この関係かんけい式しきを古典こてん力学りきがくと量子力学りょうしりきがくを関係付かんけいづける基礎きそ原理げんりとしてとらえ、量子りょうし化かを与あたえる新あらたな手法しゅほうとして提案ていあんした(経路けいろ積分せきぶん量子りょうし化か)。

なお、$\hbar \to 0$ とすると、古典こてん力学りきがくの問題もんだいに帰着きちゃくする。もう少すこし詳くわしくいえば、マクロスコピックな系けいならば、量子力学りょうしりきがくは古典こてん力学りきがくに帰着きちゃくするはずであるから、経路けいろ積分せきぶんではすべての経路けいろを足たし挙あげているところが、古典こてん的てき経路けいろに積分せきぶんが集中しゅうちゅうするはずである。このメカニズムは経路けいろが互たがいに干渉かんしょうすることによる。具体ぐたい的てきには、上記じょうきの式しきの被ひ積分せきぶん関数かんすうは系けいの作用さよう積分せきぶんを偏へん角かくにもつ絶対ぜったい値ち 1 の複素数ふくそすうだけれども、一般いっぱんの経路けいろでは作用さよう積分せきぶんの経路けいろの依存いぞん性せいが大おおきいため、被ひ積分せきぶん関数かんすうが激はげしく振動しんどうして相殺そうさいしてしまう。その相殺そうさいがおこらない経路けいろとはすなわち作用さよう積分せきぶんが停留ていりゅうする点てんで、それはまさに最小さいしょう作用さようの原理げんりより古典こてん的てきな経路けいろである。

具体ぐたい例れい 1

1 + 1 次元じげん時空じくう (x, t) を考かんがえる。粒子りゅうしの質量しつりょうを m（粒子りゅうしは古典こてん的てきなものではなく量子力学りょうしりきがく的てきなものとする）、粒子りゅうしの感かんじるポテンシャル場じょうを V(x) とし、始点してんを A、終点しゅうてんを B とする。これに関かんしての作用さよう積分せきぶん（S[x(t)] とする）は、

$S[x(t)]=\int _{t_{\rm {A}}}^{t_{\rm {B}}}\left[{1 \over 2}m\left({dx \over {dt}}\right)^{2}-V(x)\right]dt$

となり、A → B における確かく率りつ振幅しんぷくは、

$K_{\rm {A\to B}}=\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{2}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{N-1}e^{{i \over {\hbar }}S[x(t)]}$

となる。上うえ式しき右辺うへんの多重たじゅう積分せきぶん部分ぶぶんは、時間じかんの経過けいか t_A → t_B を N 等分とうぶんしたものである（厳密げんみつには、N → ∞ と無限むげんの多重たじゅう積分せきぶんとなる）。つまり時間じかんを離散りさん化かして、粒子りゅうしの運動うんどうの経路けいろを細こまかく分わけた微小びしょうな直線ちょくせんとして、それらすべてをサンプルとした和かず（つまり経路けいろに対たいする積分せきぶん）を行おこなっている。

具体ぐたい例れい 2

第だい一いち原理げんり分子ぶんし動力どうりょく学がく法ほうでは、電子でんし状態じょうたい部分ぶぶんと原子げんしの構造こうぞうの最適さいてき化かを同時どうじに行おこなう。通常つうじょう、原子げんし部分ぶぶんは電子でんしよりずっと重おもいので古典こてん的てきに扱あつかうが、水素すいそのような非常ひじょうに軽かるい原子げんしの動力どうりょく学がく（挙動きょどうや安定あんてい位置いち）を扱あつかう場合ばあい、その量子りょうし的てき効果こうかが無視むしできなくなる。電子でんし部分ぶぶんはシュレーディンガー方程式ほうていしきを出発しゅっぱつ点てんとする従来じゅうらいの方法ほうほうで扱あつかえるが、水素すいそ原子核げんしかく（＝陽子ようし）部分ぶぶんを量子力学りょうしりきがく的てきに扱あつかうには、経路けいろ積分せきぶんの手法しゅほうを用もちいるのが有効ゆうこうである。これに対応たいおうする手法しゅほうとして、第だい一原理経路積分分子動力学法がある。

参考さんこう文献ぶんけん

論文ろんぶん

• R. P. Feynman "Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics" Rev. Mod. Phys. 20 (1948) 367. PDF
• R. P. Feynman "Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics" Phys. Rev. 76, (1949) pp.769-89 PDF

書籍しょせき

• P. A. M. Dirac『The Principles of QUANTUM MECHANICS』みすず書房しょぼう、1963年ねん。ISBN 4-622-02512-4。 
• ファインマン, ヒッブス『量子力学りょうしりきがくと経路けいろ積分せきぶん』みすず書房しょぼう、1995年ねん。ISBN 4-622-04100-6。 
• J.J.Sakurai , San Fu Tuan『現代げんだいの量子力学りょうしりきがく(上うえ)』吉岡よしおか書店しょてん、2009年ねん。ISBN 978-4-8427-0222-3。 

関連かんれん項目こうもく

• ファインマン-カッツの公式こうしき
• 二に重じゅうスリット実験じっけん
• 重かさね合あわせ
• シュレーディンガーの猫ねこ
• コペンハーゲン解釈かいしゃく
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外部がいぶリンク

• Path integral （英語えいご） - スカラーペディア百科ひゃっか事典じてん「経路けいろ積分せきぶん」の項目こうもく。