規格きかく化か

規格きかく化か (きかくか、英えい: normalization) とは、ある空間くうかんで粒子りゅうしが一ひとつ存在そんざいし、それを記述きじゅつする波動はどう関数かんすうをΨぷさいとすると、Ψぷさいのノルムに関かんして、

$\int |\Psi |^{2}d\mathbf {r} =1$

とすることである。正規せいき化かとも言いう。積分せきぶんは当該とうがい粒子りゅうしの存在そんざいする全ぜん空間くうかんに対たいして行おこなわれる。積分せきぶんの範囲はんいは、その粒子りゅうしのなす系けいに課かされた境界きょうかい条件じょうけんによって変かわる。一ひとつの例れいとして周期しゅうき的てき境界きょうかい条件じょうけんに基もとづく結晶けっしょう格子こうしでは、以下いかのようにその単位たんい胞内うちで規格きかく化かのための積分せきぶんが行おこなわれる。

$\int _{V_{cell}}|\Psi |^{2}d\mathbf {r} =1$

ここで、V_cell は単位たんい胞の体積たいせきである。

直交ちょっこう座標ざひょう系けいを考かんがえて、r=(x,y,z) とし、更さらに時間じかんtも考かんがえると、一いち粒子りゅうしの波動はどう関数かんすうは $\Psi =\Psi (x,y,z,t)=\Psi (\mathbf {r} ,t)$ で表あらわされ、これは、

$\int |\Psi |^{2}d\mathbf {r} =\int |\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d\mathbf {r} =1$

と規格きかく化かされる。これは、ある時刻じこくｔで粒子りゅうしが位置いち r での微小びしょうな領域りょういき dr(=dxdydz) に存在そんざいする確かく率りつが、$|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d\mathbf {r}$ であることを示しめしている。それを全ぜん空間くうかん（粒子りゅうしの存在そんざいしうる全ぜん領域りょういき）で積分せきぶんすれば、確かく率りつの総和そうわは1となる必要ひつようがある。この要請ようせいを満みたすために規格きかく化かを行おこなう。実際じっさいの数値すうち計算けいさん等とうで求もとめられる波動はどう関数かんすうは、そのままでは上記じょうきの積分せきぶんが1となる保証ほしょうはないので、積分せきぶん値ちが1となるように規格きかく化かされる。

デルタ関数かんすうによる規格きかく化か

実際じっさいの量子りょうし論ろんでは、自乗じじょう積分せきぶんが∞に発散はっさんするような関数かんすうを扱あつかうことも多おおい。

$\int |\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}d\mathbf {r} =\infty$

その場合ばあいは、次つぎのようなデルタ関数かんすうによる規格きかく化かを許ゆるしている。

$\int \psi _{k}^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi _{k'}(\mathbf {r} ,t)d\mathbf {r} =\delta (k-k')$

この場合ばあいにおける$|\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}$は、ある時刻じこくｔで位置いち$\mathbf {r}$の測定そくていをした時ときの確かく率りつ密度みつど$p(\mathbf {r} ,t)$ではなく、次つぎのように相対そうたい確かく率りつを表あらわす。

$p(\mathbf {r} ,t)\neq |\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}$

$p(\mathbf {r} ,t)\varpropto |\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}$