質点しつてん

質点しつてん（しつてん、英語えいご: point mass）とは力学りきがく的てき概念がいねんで、位置いちが一意的いちいてきに定さだまり質量しつりょうを持もつ運動うんどうの要素ようそだが、それ以外いがいの、体積たいせき・変形へんけい・角速度かくそくどなどの内部ないぶ自由じゆう度どを一切いっさい持もたないものと定義ていぎされる。

点てん粒子りゅうしの一種いっしゅである。モデルであるが、初等しょとう的てきな積分せきぶん計算けいさんで証明しょうめいできるように、球たま対称たいしょうな質量しつりょう分布ぶんぷを持もつ固かたい物体ぶったいは、その重心じゅうしん運動うんどうを扱あつかう限かぎりにおいては、全ぜん質量しつりょうをその中心ちゅうしんに集中しゅうちゅうさせた質点しつてんとして扱あつかったとしても、近似きんじではなく完全かんぜんに一致いっちする。従したがって、例たとえば、惑星わくせいの公転こうてん軌道きどう（太陽たいよう周回しゅうかい軌道きどう）を計算けいさんする場合ばあいなどにおいては、惑星わくせいを質点しつてんと見みなしても、体積たいせきを持もった球たまとして計算けいさんした場合ばあいと全まったく同様どうようの正確せいかくさで計算けいさんできる。ただしこの例れいの場合ばあいは、そもそも多た体からだ問題もんだいに厳密げんみつ解かいが無ない。結局けっきょくのところ、近似きんじか否ひかは、真しんの質点しつてんが存在そんざいするか否ひかの問題もんだいではなく、扱あつかっている問題もんだいにおいて、対象たいしょうを質点しつてんとして扱あつかっても厳密げんみつに一致いっちするかそうでないかの問題もんだいである。

多数たすうの質点しつてんが存在そんざいする系けいを質点しつてん系けいという。この場合ばあいの質点しつてんの数かずは、2から、一般いっぱんの n個こまで、様々さまざまである。質点しつてん系けいを扱あつかう際さいには、個々ここの質点しつてんに自然しぜん数すうの番号ばんごうをつけて「〜番ばん目めの質点しつてん」のように区別くべつするとともに、総和そうわ記号きごうを用もちいて式しきの見通みとおしをよくすることがよく行おこなわれる。

質点しつてん系けいの力学りきがく

質点しつてんの運動うんどう方程式ほうていしき

重心じゅうしんの運動うんどう方程式ほうていしき

詳細しょうさいは「運動うんどう量りょう保存ほぞんの法則ほうそく」を参照さんしょう

古典こてん力学りきがくにおいて、質量しつりょうは物体ぶったいがどんな状況じょうきょうにあろうと変化へんかしない値ねなので、質量しつりょう$\,m$、速はやさ${\vec {v}}$、位置いち座標ざひょう${\vec {r}}$の質点しつてんの運動うんどう方程式ほうていしきを次つぎのように表あらわすことができる。

${\vec {F}}=m{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$

ここで、${\vec {p}}$は運動うんどう量りょうと呼よばれる物理ぶつり量りょうである。 質点しつてんが複数ふくすうある質点しつてん系けいにおいて、重心じゅうしんと呼よばれる座標ざひょう${\vec {r}}_{G}$が存在そんざいする。質点しつてん系けいの質点しつてんは互たがいに離はなれてばらばらに運動うんどうしているが、すべての質点しつてんの質量しつりょうを持もち、その運動うんどうは質点しつてん系けいそのものの運動うんどうとみなせる質点しつてんを扱あつかうことができる。その質点しつてんが重心じゅうしんであり、その運動うんどう方程式ほうていしきを重心じゅうしんの運動うんどう方程式ほうていしきという。

$M{\frac {d^{2}{\vec {r}}_{G}}{dt^{2}}}={\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{N}F_{i}$

ここで、$\,M$は質点しつてん系けい内ないの全ぜん質量しつりょう(重心じゅうしんの質量しつりょう)、$\,N$は質点しつてんの個数こすう、${\vec {P}}$は全ぜん運動うんどう量りょう(重心じゅうしんの運動うんどう量りょう)、$\,F_{i}$はi番ばん目めの質点しつてんに働はたらく外力がいりょくである。重心じゅうしんの運動うんどう量りょうは内うち力りょくには依存いぞんせず、したがって、外力がいりょくが働はたらいていない系けい、または外力がいりょくの総和そうわが$\,0$の系けいでは全ぜん運動うんどう量りょう${\vec {P}}$は保存ほぞんされる。

質点しつてんの個数こすう$\,N$が無限むげんにあり、連続れんぞく的てきに分布ぶんぷしている系けいでは、重心じゅうしん座標ざひょうは次つぎのように表あらわされる。

${\begin{aligned}{\vec {r}}_{G}&\equiv {\frac {1}{M}}\int _{V}^{}{\vec {r}}\,dm\\&={\frac {1}{M}}\int _{V}^{}{\vec {r}}\rho ({\vec {r}})\,dV\\&={\frac {1}{M}}\iiint _{V}^{}{\vec {r}}\rho ({\vec {r}})\,dx\,dy\,dz\\\end{aligned}}$
$M\equiv \int _{V}^{}\,dm=\int _{V}^{}\rho ({\vec {r}})\,dV=\iiint _{V}^{}\rho ({\vec {r}})\,dx\,dy\,dz$

ここで、$\rho ({\vec {r}})$は位置いち${\vec {r}}$での質点しつてんの密度みつどを示しめし、積分せきぶん領域りょういき$\,V$は質点しつてんの分布ぶんぷしている領域りょういきに亘わたっている。

相対そうたい座標ざひょうの運動うんどう方程式ほうていしき

詳細しょうさいは「換算かんさん質量しつりょう」を参照さんしょう

AとBの2つの質点しつてんがある。AとBはそれぞれ座標ざひょうは${\vec {r}}_{A},{\vec {r}}_{B}$、質量しつりょうは$m_{A},\,m_{B}$、速はやさは${\vec {v}}_{A},{\vec {v}}_{B}$である。作用さよう・反作用はんさようの法則ほうそくを考慮こうりょして、Aの運動うんどう方程式ほうていしきに$\,m_{B}$を掛かけ、Bの方程式ほうていしきには$\,m_{A}$を掛かけて引ひき算ざんすれば

$m_{A}m_{B}{\frac {d^{2}({\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A})}{dt^{2}}}=(m_{A}+m_{B}){\vec {F}}_{BA}+m_{A}{\vec {F}}_{B}-m_{B}{\vec {F}}_{A}$

となり、外力がいりょくがないとき上うえ式しきは次つぎのようになる。

${\frac {m_{A}m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}{\frac {d^{2}({\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A})}{dt^{2}}}={\vec {F}}_{BA}$

この式しきは、座標ざひょうを${\vec {r}}\equiv {\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}$、質量しつりょうを$\mu \equiv {\tfrac {m_{A}m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}$とする質点しつてんの運動うんどう方程式ほうていしきとみなすことができる。${\vec {r}}$を相対そうたい座標ざひょう、$\,\mu$を換算かんさん質量しつりょうと呼よぶ。したがって、上うえの運動うんどう方程式ほうていしきは

$\mu {\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}=\mu {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {F}}_{BA}$

のようにあらわされ、ちょうど換算かんさん質量しつりょうを持もつ質点しつてんが、相対そうたい速度そくどで運動うんどうするときの運動うんどう方程式ほうていしきとみなせる。これを相対そうたい座標ざひょうの運動うんどう方程式ほうていしきという。

とくに$m_{A}\ll m_{B}$のときには、換算かんさん質量しつりょうは小ちいさいほうの質量しつりょう$\,m_{A}$に等ひとしいとみなせる。

$\mu ={\frac {m_{A}m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\fallingdotseq m_{A}$

この場合ばあいには、ちょうど静止せいしした大おおきな質量しつりょう$\,m_{B}$からの力ちからを受うけて運動うんどうする、質量しつりょう$\,m_{A}$の質点しつてんの運動うんどう方程式ほうていしきを表あらわすことになる。たとえば、地球ちきゅうの周まわりを回まわる人工じんこう衛星えいせいは、静止せいししている地球ちきゅうからの引力いんりょくを受うけて運動うんどうしていると近似きんじ的てきに扱あつかうことができる。

衝突しょうとつ

ここでは、AとBの2つの質点しつてんが衝突しょうとつしたとき、その前後ぜんごの運動うんどうを記述きじゅつする。このとき、外力がいりょくが働はたらかず、位置いちエネルギーは$\,0$か無視むしできる程度ていどのものとする。運動うんどう量りょう保存ほぞんの法則ほうそくから、衝突しょうとつ前後ぜんこうの運動うんどう量りょうをそれぞれ$p_{A},\,p_{B},\,p'_{A},\,p'_{B}$とすれば、

${\vec {p}}_{A}+{\vec {p}}_{B}={\vec {p'}}_{A}+{\vec {p'}}_{B}$

となり、衝突しょうとつ時じに運動うんどうエネルギーが保存ほぞんされているなら、

${\frac {{\vec {p}}_{A}^{2}}{2m_{A}}}+{\frac {{\vec {p}}_{B}^{2}}{2m_{B}}}={\frac {{\vec {p}}_{A}'^{2}}{2m_{A}}}+{\frac {{\vec {p}}_{B}'^{2}}{2m_{B}}}$

が成なり立たち、このときの衝突しょうとつを弾性だんせい衝突しょうとつまたは完全かんぜん弾性だんせい衝突しょうとつという。これ以外いがい、すなわち運動うんどうエネルギーが保存ほぞんされていないときの衝突しょうとつを非ひ弾性だんせい衝突しょうとつといい、特とくに衝突しょうとつ後ごにAとBが一体いったいとなって運動うんどうしたときは完全かんぜん非ひ弾性だんせい衝突しょうとつと呼よぶ。

反発はんぱつ係数けいすうeを用もちいた場合ばあい、$\,e=1$のときが弾性だんせい衝突しょうとつ、$\,0<e<1$のときに非ひ弾性だんせい衝突しょうとつ、$\,e=0$の場合ばあいでは完全かんぜん非ひ弾性だんせい衝突しょうとつと定義ていぎする。

現実げんじつには運動うんどうエネルギーは保存ほぞんされず、熱ねつエネルギーや振動しんどうエネルギーなどに一部いちぶ変化へんかする。実際じっさいには物体ぶったいは質点しつてんではないので回転かいてん運動うんどうエネルギーや変形へんけいのエネルギーなどにも変化へんかする。

1次元じげんの衝突しょうとつ

相対そうたい速度そくどの方向ほうこうに座標軸ざひょうじくをとり、質量しつりょうが$m_{A},\,m_{B}$の2つの質点しつてんの座標軸ざひょうじく上じょうの衝突しょうとつについて記述きじゅつする。運動うんどう量りょう保存ほぞんの法則ほうそくから、

$m_{A}{\vec {v}}_{A}+m_{B}{\vec {v}}_{B}=m_{A}{\vec {v'}}_{A}+m_{B}{\vec {v'}}_{B}$

よって、反発はんぱつ係数けいすうの定義ていぎから、衝突しょうとつ後ごの速度そくどは次つぎのように表あらわされ、

${\vec {v'}}_{A}={\vec {v}}_{A}+{\frac {m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}({\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A})(1+e)$
${\vec {v'}}_{B}={\vec {v}}_{B}+{\frac {m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{B})(1+e)$

衝突しょうとつ前後ぜんこうの運動うんどうエネルギーの差さは

${\frac {1}{2}}(m_{A}{\vec {v}}_{A}^{2}+m_{B}{\vec {v}}_{B}^{2})-{\frac {1}{2}}(m_{A}{\vec {v}}_{A}'^{2}+m_{B}{\vec {v}}_{B}'^{2})={\frac {1}{2}}{\frac {m_{A}m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{B})^{2}(1+e^{2})$

日常にちじょうで1次元じげんの衝突しょうとつの例れいを挙あげれば、ビリヤードの球たま同士どうしの衝突しょうとつは近似きんじ的てきに弾性だんせい衝突しょうとつであるし、原子核げんしかくの核かく融合ゆうごう反応はんのうは完全かんぜん弾性だんせい衝突しょうとつである。

2次元じげんの衝突しょうとつ

物体ぶったいの衝突しょうとつ面めんでのかすり衝突しょうとつについて記述きじゅつする。

接触せっしょく面めんでの摩擦まさつがないとすると、接触せっしょく面めん方向ほうこうには外力がいりょくも内うち力りょくもはたらかないために、接触せっしょく面めんに平行へいこうな成分せいぶんは速度そくども運動うんどう量りょうも保存ほぞんされる。衝突しょうとつ前まえの速はやさと接線せっせんのなす角かくをそれぞれ$\alpha ,\,\beta$、衝突しょうとつ後ごの速はやさと接線せっせんのなす角かくをそれぞれ$\alpha ',\,\beta '$ととると、接線せっせん方向ほうこうの成分せいぶんは

$v_{A}'\,\cos \alpha '=v_{A}\,\cos \alpha$
$v_{B}'\,\cos \beta '=v_{B}\,\cos \beta$

接触せっしょく面めんに直行ちょっこうする成分せいぶん(法線ほうせん成分せいぶん)は、

$v'_{A}\sin \alpha '=v_{A}\cos \alpha +{\frac {m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}(v_{B}\sin \beta -v_{A}\sin \alpha )(1+e)$

$v'_{B}\sin \beta '=v_{B}\sin \beta +{\frac {m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}(v_{A}\sin \alpha -v_{B}\sin \beta )(1+e)$

となる。

力ちからのモーメント

詳細しょうさいは「角かく運動うんどう量りょう」を参照さんしょう

質点しつてん系けいの力ちからのモーメントは全ぜん質点しつてんの外力がいりょくのモーメントの総和そうわに等ひとしく、内うち力りょくのモーメントに依存いぞんしない。

${\vec {N}}\equiv \sum _{i}{\vec {N}}_{i}=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}=\sum _{i}{\frac {d{\vec {l}}_{i}}{dt}}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}$
$\sum _{i}{\vec {l}}_{i}\equiv {\vec {L}}$

外部がいぶリンク

• 『質点しつてん』 - コトバンク