パラメトリック方程式ほうていしき

パラメトリック方程式ほうていしき（パラメトリックほうていしき、英えい: parametric equation）とは、関数かんすうを媒介ばいかい変数へんすう（パラメータ）を使つかって表あらわしたもの、またはその手法しゅほうである。単純たんじゅんな運動うんどう学がく的てき例れいとして、時間じかんを媒介ばいかい変数へんすうとして位置いち、速度そくど、その他たの運うん動体どうたいに関かんする情報じょうほうを表あらわす場合ばあいが挙あげられる。

抽象ちゅうしょう的てきには、関係かんけいは1つの方程式ほうていしきの形かたちで表あらわされ、ユークリッド空間くうかん Rⁿ の項こうからなる関数かんすうのイメージとしても表あらわされる。したがって、より正確せいかくには媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ（英えい: parametric representation）として定義ていぎされる。

例れい[編集へんしゅう]

例れいとして、最もっとも単純たんじゅんな方程式ほうていしきとして次つぎの放物線ほうぶつせんの式しきを考かんがえる。

y=x^{2}\,

これを自由じゆうな媒介ばいかい変数へんすう t を使つかって次つぎのようにも表あらわせる。

x=t\,

y=t^{2}\,

これはやや自明じめいな例れいだが、半径はんけい a の円えんをパラメトリックに表あらわすと次つぎのようになる。

x=a\cos(t)\,

y=a\sin(t)\,

パラメトリック方程式ほうていしきは、高次こうじ元もと空間くうかんでの曲線きょくせんを表あらわすのに便利べんりである。例たとえば、

x=a\cos(t)\,

y=a\sin(t)\,

z=bt\,

これは3次元じげんの螺旋らせん状じょうの曲線きょくせんを表あらわしており、半径はんけいが a で、1周しゅうするごとに 2πぱいb だけ上昇じょうしょうする。なお、z値ねを除のぞくと円えんの方程式ほうていしきと全まったく同おなじである点てんに注意ちゅうい。

この方程式ほうていしきを次つぎのように表記ひょうきすることも多おおい。

r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,

このように曲線きょくせんを表現ひょうげんすることは実用じつよう的てきであり、効率こうりつ的てきである。例たとえば、そのような曲線きょくせんを項こうごとに積分せきぶん・微分びぶんできる。したがって、媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじされた経路けいろを通とおる粒子りゅうしがあるとき、その速度そくどは次つぎのように表あらわせる。

v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b)\,

さらに加速度かそくどは次つぎのようになる。

a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0)\,

一般いっぱんにパラメトリック曲線きょくせんは（通常つうじょう t で表あらわされる）1つの独立どくりつ媒介ばいかい変数へんすうの関数かんすうである。2つ（以上いじょう）の独立どくりつ媒介ばいかい変数へんすうに対応たいおうした同様どうようの概念がいねんはパラメトリック曲面きょくめんと呼よぶ。

2つのパラメトリック方程式ほうていしきから1つの方程式ほうていしきへの変換へんかん[編集へんしゅう]

パラメトリック方程式ほうていしきを1つの方程式ほうていしきに変換へんかんするとは、並列へいれつする方程式ほうていしき群ぐん $x=x(t),\ y=y(t)$ から媒介ばいかい変数へんすう $t$ を取とり除のぞくことに他たならない。これらの方程式ほうていしきのうちの1つを $t$ について解とくことができれば、その式しきをもう一方いっぽうの方程式ほうていしきに代入だいにゅうし、 $x$ と $y$ だけから成なる方程式ほうていしきが得えられる。 $x(t)$ と $y(t)$ が有理ゆうり関数かんすうなら、tを取とり除のぞくのは容易よういである。パラメトリック方程式ほうていしきと等価とうかな閉形式しきの1つの方程式ほうていしきが存在そんざいしない場合ばあいもある^[1]。