ハーディ空間くうかん

数学すうがくの複素ふくそ解析かいせきの分野ぶんやにおけるハーディ空間くうかん（ハーディくうかん、英えい: Hardy space）あるいはハーディ級きゅう（Hardy class）H^p とは、単位たんい円えん板ばんあるいは上うえ半平はんぺん面めん上うえのある種しゅの正則せいそく函数かんすうの空間くうかんのことを言いう。リース・フリジェシュ (Riesz 1923) によって導入どうにゅうされ、その名なは論文ろんぶん (Hardy 1915) の著者ちょしゃであるゴッドフレイ・ハロルド・ハーディにちなむ。実じつ解析かいせきにおけるハーディ空間くうかんは、（超ちょう函数かんすうの意味いみで）複素ふくそハーディ空間くうかんの正則せいそく函数かんすうの境界きょうかい値ちであるような、実数じっすう直線ちょくせん上じょうのある超ちょう函数かんすうからなる空間くうかんで、函数かんすう解析かいせき学がくにおけるLp空間くうかんと関係かんけいする。1 ≤ p ≤ ∞ に対たいし、それら実じつハーディ空間くうかん H^p は L^p の部分ぶぶん集合しゅうごうであるが、p < 1 に対たいして L^p はいくつか望のぞましくない性質せいしつを持もつ一方いっぽう、ハーディ空間くうかんはより良よい振ふる舞まいをする。

複素数ふくそすうの場合ばあいの管状かんじょう領域りょういき上うえの正則せいそく函数かんすうや、実数じっすうの場合ばあいの Rⁿ 上うえの超ちょう函数かんすうの空間くうかんなど、高こう次元じげんの一般いっぱん化かがいくつか存在そんざいする。

ハーディ空間くうかんには解析かいせき学がくそれ自身じしんにおいて多おおくの応用おうようが存在そんざいすると共ともに、制御せいぎょ理論りろん（H∞制御せいぎょ理論りろんなど）や散乱さんらん理論りろんにおいても多おおくの応用おうようが存在そんざいする。

単位たんい円えん板ばんに対たいするハーディ空間くうかん

開ひらく単位たんい円えん板ばん上うえの正則せいそく函数かんすうの空間くうかんに対たいし、ハーディ空間くうかん H² は、半径はんけい r の円周えんしゅう上じょうの平均へいきん二に乗じょう値ちが r → 1 に下したから近ちかづいた時ときに有界ゆうかいとなるような函数かんすうから構成こうせいされる空間くうかんとなる。

より一般いっぱんに、0 < p < ∞ に対たいするハーディ空間くうかん H^p は、次つぎを満みたす開ひらく単位たんい円えん板ばん上じょうの正則せいそく函数かんすう f のクラスとなる：

$\sup _{0<r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{p}\;\mathrm {d} \theta \right)^{1/p}<\infty .$

このクラス H^p はベクトル空間くうかんである。この不等式ふとうしきの左辺さへんの数かずは、f に対たいするハーディ空間くうかんの p-ノルムであり、$\|f\|_{H^{p}}$ と記述きじゅつされる。これは p ≥ 1 のときはノルムであるが、0 < p < 1 のときはノルムとならない。

H^∞ は円えん板ばん上じょうの有界ゆうかい正則せいそく函数かんすうからなるベクトル空間くうかんとして定義ていぎされ、そのノルムは

$\|f\|_{H^{\infty }}:=\sup _{|z|<1}\left|f(z)\right|$

となる。0 < p ≤ q ≤ ∞ に対たいし、クラス H^q は H^p の部分ぶぶん集合しゅうごうであり、H^p-ノルムは p について増加ぞうかである（これは L^p-ノルムが確かく率りつ測度そくど、すなわち総そう質量しつりょうが 1 である測度そくどに対たいして増加ぞうかであるというヘルダーの不等式ふとうしきによる）。

単位たんい円上えんじょうのハーディ空間くうかん

前節ぜんせつで定義ていぎされたハーディ空間くうかんは、単位たんい円上えんじょうの複素ふくそ L^p 空間くうかんの閉線型がた部分ぶぶん空間くうかんと見みなすことも出来できる。この関係かんけいは、以下いかの定理ていりによって示しめされる(Katznelson 1976, Thm 3.8)：p ≥ 0 に対たいし f ∈ H^p が与あたえられるとき、半径はんけいに関かんする極限きょくげん

${\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)=\lim _{r\to 1}f\left(re^{i\theta }\right)$

はほとんど全すべての θしーた に対たいして存在そんざいする。この関数かんすう ${\tilde {f}}$ は単位たんい円えんに対たいする L^p 空間くうかんに属ぞくし、次つぎが成立せいりつする。

$\|{\tilde {f}}\|_{L^{p}}=\|f\|_{H^{p}}.$

単位たんい円えんを T と表あらわし、全すべての極限きょくげん函数かんすう ${\tilde {f}}$ からなる L^p(T) の線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんを H^p(T) と表あらわす。f が H^p 内うちで変化へんかするとき、p ≥ 1 に対たいして次つぎが成なり立たつ (Katznelson 1976)。

$g\in H^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ if and only if }}g\in L^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ and }}{\hat {g}}(n)=0{\text{ for all }}n<0.$

ただし ĝ(n) は単位たんい円上えんじょうで可か積分せきぶんな函数かんすう g のフーリエ係数けいすうであり、次つぎが成なり立たつ。

$\forall n\in \mathbf {Z} ,\ \ \ {\hat {g}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g\left(e^{i\phi }\right)e^{-in\phi }\,\mathrm {d} \phi .$

空間くうかん H^p(T) は L^p(T) の閉部分ぶぶん空間くうかんである。1 ≤ p ≤ ∞ に対たいして L^p(T) はバナッハ空間くうかんであるため、H^p(T) もまた同様どうようにバナッハ空間くうかんとなる。

上述じょうじゅつの議論ぎろんは逆ぎゃくも成なり立たつ。p ≥ 1 に対たいして函数かんすう ${\tilde {f}}$ ∈ L^p(T) が与あたえられるとき、ポアソン核かく P_r を用もちいて単位たんい円えん板ばん上じょうの正則せいそく函数かんすう f を次つぎのように再さい構成こうせいすることが出来できる：

$f\left(re^{i\theta }\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -\phi ){\tilde {f}}\left(e^{i\phi }\right)\,\mathrm {d} \phi ,\quad r<1.$

そして ${\tilde {f}}$ が H^p(T) に属ぞくしているなら、f は H^p に属ぞくす。${\tilde {f}}$ は H^p(T) 内ないにある、すなわち ${\tilde {f}}$ は、全すべての n < 0 に対たいして a_n = 0 を満みたすフーリエ係数けいすう (a_n)_n∈Z を持もつと仮定かていする。このとき、${\tilde {f}}$ と関連かんれんするハーディ空間くうかん H^p の元もと f は、次つぎの正則せいそく函数かんすうである。

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\ \ \ |z|<1.$

応用おうようの場面ばめんでは、これら負まけのフーリエ係数けいすうが消失しょうしつしている函数かんすうは通常つうじょう、因果いんが解かい（causal solution）と解釈かいしゃくされる。したがって空間くうかん H² は自然しぜんに L² 空間くうかんの内側うちがわにあり、N によって添そえ字じ付つけられる無限むげん列れつとして表あらわされる。一方いっぽう、L² は Z によって添そえ字じ付つけられる両側りょうがわ無限むげん列れつ（bi-infinite sequence）から構成こうせいされる。

円上えんじょうの実じつハーディ空間くうかんとの関連かんれん

1 ≤ p < ∞ のとき、後述こうじゅつの実じつハーディ空間くうかん H^p は現在げんざいの文脈ぶんみゃくで容易よういに表現ひょうげんすることが出来できる。単位たんい円上えんじょうの実じつ函数かんすう f は、それが H^p(T) 内ないのある函数かんすうの実み部ぶであるなら、実じつハーディ空間くうかん H^p(T) に属ぞくする。また複素ふくそ函数かんすう f が実じつハーディ空間くうかんに属ぞくするための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、Re(f) および Im(f) がその空間くうかんに属ぞくすることである（後述こうじゅつの実じつハーディ空間くうかんに関かんする節ふしを参照さんしょうされたい）。

p < 1 に対たいし、フーリエ係数けいすうやポアソン積分せきぶん、共役きょうやく函数かんすうのような道具どうぐはもはや有効ゆうこうではない。例たとえば、

$F(z)={\frac {1+z}{1-z}},\quad |z|<1$

と

$f(e^{i\theta }):={\tilde {F}}(e^{i\theta })=i\,\cot({\tfrac {\theta }{2}})$

を考かんがえる。函数かんすう F は全すべての p < 1 に対たいして H^p に含ふくまれ、半径はんけいに関かんする極限きょくげん f は H^p(T) 内ないにあるが Re(f) はほとんど至いたる所ところで 0 とする。Re(f) から F を得えることはもはや出来できなく、上述じょうじゅつのような簡単かんたんな方法ほうほうで実み H^p(T) を定義ていぎすることは出来できない。

同おなじ函数かんすう F に対たいし、f_r(e^iθしーた) = F(re^iθしーた) とする。r → 1 としたときの Re(f_r) の超ちょう函数かんすうの意味いみでの円上えんじょうの極限きょくげんは、z = 1 でのデルタ超ちょう函数かんすうの非ひゼロの倍数ばいすうに等ひとしい。単位たんい円上えんじょうの任意にんいの点てんでのデルタ超ちょう函数かんすうは、全すべての p < 1 に対たいして実みのる H^p(T) に属ぞくする（後述こうじゅつの議論ぎろんを参照さんしょう）。

内うち函数かんすうと外そと函数かんすうへの因数いんすう分解ぶんかい（バーリング）

0 < p ≤ ∞ に対たいし、H^p 内うちの全すべての非ひゼロ函数かんすう f は、以下いかで定義ていぎされる外そと函数かんすう（outer function）G と内うち函数かんすう（inner function）h の積せき f = Gh で表あらわすことが出来できる (Rudin 1987, Thm 17.17)。このバーリング因数いんすう分解ぶんかいは、ハーディ空間くうかんを内うち函数かんすうと外そと函数かんすうの空間くうかんによって完全かんぜんに特徴付とくちょうづけることを許ゆるす。

G(z) は次つぎの形状けいじょうを取とるとき、外そと函数かんすうと呼よばれる。

$G(z)=c\,\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\log \!\left(\varphi \!\left(e^{i\theta }\right)\right)\,\mathrm {d} \theta \right).$

ただし c は |c| = 1 であるような複素数ふくそすうで、φふぁい は log(φふぁい) が単位たんい円上えんじょうで可か積分せきぶんであるような正せいの可か測はか函数かんすうである。特とくに φふぁい も単位たんい円上えんじょうで可か積分せきぶんであるなら、上うえ式しきがポアソン核かくの形状けいじょうを取とるため、G は H¹ に含ふくまれる。このことは、ほとんど全すべての θしーた に対たいして

$\lim _{r\to 1^{-}}\left|G\left(re^{i\theta }\right)\right|=\varphi \left(e^{i\theta }\right)$

が成立せいりつすることを意味いみする。

h(z) が内うち函数かんすうであるとは、単位たんい円えん板ばん上じょうで |h(z)| ≤ 1 を満みたし、ほとんど全すべての θしーた に対たいして極限きょくげん

$\lim _{r\to 1^{-}}h(re^{i\theta })$

が存在そんざいし、その母はは数すうが 1 に等ひとしいことを言いう。特とくに、h は H^∞ に含ふくまれる。内うち函数かんすうはさらに、ブラシュケ積せきを含ふくむ形かたちへ分解ぶんかいすることが出来できる。

f = Gh と分解ぶんかいされる函数かんすう f が H^p 内うちにあるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、外そと函数かんすう G の式しきに現あらわれる正せいの函数かんすう φふぁい が L^p(T) に属ぞくすることである。

G を、単位たんい円上えんじょうの函数かんすう φふぁい によって上述じょうじゅつのように表現ひょうげんされる外そと函数かんすうとする。αあるふぁ > 0 に対たいして φふぁい を φふぁい^{αあるふぁ} に置おき換かえることで、次つぎの性質せいしつを満みたす外そと函数かんすうの族ぞく (G_{αあるふぁ}) を得えることが出来できる。

G₁ = G, G_{αあるふぁ+βべーた} = G_{αあるふぁ} G_βべーた  and |G_{αあるふぁ}| = |G|^{αあるふぁ} almost everywhere on the circle.

単位たんい円上えんじょうの実じつ変数へんすうの手法しゅほう

Rⁿ 上うえで定義ていぎされる「実じつハーディ空間くうかん」（後述こうじゅつ）の研究けんきゅうと主おもに関連かんれんする実じつ変数へんすうの手法しゅほうもまた、単位たんい円えんに関かんするより簡単かんたんな枠組わくぐみにおいて用もちいられる。その手法しゅほうは、それら「実み」空間くうかんにおける複素ふくそ函数かんすう（あるいは超ちょう函数かんすう）に対たいする実践じっせん的てきなものである。以下いかの定義ていぎでは、実数じっすうおよび複素数ふくそすうの場合ばあいを区別くべつしない。

P_r を単位たんい円えん T 上うえのポアソン核かくとする。単位たんい円上えんじょうの超ちょう函数かんすう f に対たいして、次つぎを定さだめる。

$(Mf)(e^{i\theta })=\sup _{0<r<1}\left|(f*P_{r})\left(e^{i\theta }\right)\right|.$

ここで「スター」の記号きごうは、単位たんい円上えんじょうでの超ちょう函数かんすう f と函数かんすう e^iθしーた → P_r(θしーた) の畳たたみ込こみを表あらわす。すなわち、(f ∗ P_r)(e^iθしーた) は、単位たんい円上えんじょうで

$e^{i\varphi }\rightarrow P_{r}(\theta -\varphi )$

と定義ていぎされる C^∞-函数かんすうについての f の作用さようの結果けっかである。0 < p < ∞ に対たいし、実じつハーディ空間くうかん H^p(T) は M f  が L^p(T) に属ぞくするような超ちょう函数かんすう f より構成こうせいされる。

単位たんい円上えんじょうで F(re^iθしーた) = (f ∗ P_r)(e^iθしーた) で定義ていぎされる函数かんすう F は調和ちょうわ的てきであり、M f  は F の半径はんけい極大きょくだい函数かんすう（radial maximal function）である。M f  が L^p(T) に属ぞくし、p ≥ 1 であるとき、超ちょう函数かんすう f  は L^p(T) の函数かんすう、すなわち、F の境界きょうかい値ちである。p ≥ 1 に対たいし、実じつハーディ空間くうかん H^p(T) は L^p(T) の部分ぶぶん空間くうかんである。

共役きょうやく函数かんすう

単位たんい円上えんじょうのすべての実じつ三角さんかく多項式たこうしき u に対たいし、u + iv が単位たんい円えん板いた内ないの正則せいそく函数かんすうとなるように拡張かくちょうできる実じつ共役きょうやく多項式たこうしき v を次つぎのように定義ていぎできる。

$u(e^{i\theta })={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k\geq 1}a_{k}\cos(k\theta )+b_{k}\sin(k\theta )\longrightarrow v(e^{i\theta })=\sum _{k\geq 1}a_{k}\sin(k\theta )-b_{k}\cos(k\theta ).$

この写像しゃぞう u → v は、1 < p < ∞ のときには L^p(T) 上じょうの有界ゆうかい線型せんけい作用素さようそ H へと拡張かくちょうされる（スカラー倍ばいを除のぞき、それは単位たんい円上えんじょうのヒルベルト変換へんかんである）。また H は L¹(T) を弱じゃく-L¹(T) にも写うつす。1 ≤ p < ∞ のとき、単位たんい円上えんじょうの実じつ数値すうち可か積分せきぶん函数かんすう f に対たいして、以下いかは同値どうちである。

• 函数かんすう f はある函数かんすう g ∈ H^p(T) の実み部ぶ；
• 函数かんすう f とその共役きょうやく H(f) は L^p(T) に属ぞくする；
• 半径はんけい極大きょくだい函数かんすう M f  は L^p(T) に属ぞくする。

1 < p < ∞ のとき、f ∈ L^p(T) であるなら H(f) は L^p(T) に属ぞくし、したがって実じつハーディ空間くうかん H^p(T) はこの場合ばあい L^p(T) と一致いっちする。p = 1 に対たいし、実じつハーディ空間くうかん H¹(T) は L¹(T) の真ま部分ぶぶん空間くうかんとなる。

L^∞ 函数かんすうの極大きょくだい函数かんすう M f  は常つねに有界ゆうかいであり、実みのる H^∞ が L^∞ と等ひとしくなることは望のぞまれていないため、p = ∞ の場合ばあいは実じつハーディ空間くうかんの定義ていぎから除外じょがいすることが出来できる。しかし、実じつ数値すうち函数かんすう f に対たいして次つぎの二ふたつの性質せいしつは同値どうちとなる。

• 函数かんすう f  がある函数かんすう g ∈ H^∞(T) の実み部ぶ；
• 函数かんすう f  とその共役きょうやく H(f) が L^∞(T) に属ぞくする。

0 < p < 1 に対たいする実じつハーディ空間くうかん

0 < p < 1 のとき、L^p の凸とつ性せいの欠如けつじょにより、H^p 内うちの函数かんすう F は単位たんい円上えんじょうの境界きょうかい極限きょくげん函数かんすうの実み部ぶによって再さい構成こうせいすることが出来できない。凸とつ性せいは満みたされないが、ある種しゅの複素ふくそ凸とつ性せい、すなわち z → |z|^q がすべての q > 0 に対たいして劣れつ調和ちょうわ的てきとなるという性質せいしつは満みたされる。したがって、

$F(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad |z|<1$

が H^p に属ぞくするのであれば、c_n = O(n^1/p–1) であることが示しめされる。フーリエ級数きゅうすう

$\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}e^{in\theta }$

は超ちょう函数かんすうの意味いみである単位たんい円上えんじょうの超ちょう函数かんすう f に収束しゅうそくし、F(re^iθしーた) =(f ∗ P_r)(θしーた) となる。F のテイラー係数けいすう c_n は Re(f) のフーリエ係数けいすうより計算けいさんすることが出来できるので、函数かんすう F ∈ H^p は単位たんい円上えんじょうの実じつ超ちょう函数かんすう Re(f) によって再さい構成こうせいされる。すなわち p < 1 であれば、単位たんい円上えんじょうの超ちょう函数かんすうは一般いっぱんにハーディ空間くうかんを扱あつかう上うえで十分じゅうぶんなものとなる。1 以上いじょうの自然しぜん数すう N に対たいし、0 < N p < 1 であるなら、函数かんすう F(z) = (1−z)^–N（|z| < 1）に見みられるように、超ちょう函数かんすうは H^p に属ぞくする。

単位たんい円上えんじょうの実じつ超ちょう函数かんすうが実じつ-H^p(T) に属ぞくするための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、それがある F ∈ H^p の実み部ぶの境界きょうかい値ちであることである。単位たんい円上えんじょうの任意にんいの点てん x でのディラック超ちょう函数かんすう δでるた_x は、すべての p < 1 に対たいして実みのる-H^p(T) に属ぞくする。p < 1/2 であれば微分びぶん δでるた′_x が属ぞくし、p < 1/3 であれば二に階かい微分びぶん δでるた′′_x が属ぞくする。以下いか、同様どうようのことが成なり立たつ。

上うえ半平はんぺん面めんに対たいするハーディ空間くうかん

円えん板ばん以外いがいの領域りょういきの上じょうでもハーディ空間くうかんを定義ていぎすることは可能かのうで、複素ふくそ半平はんぺん面めん（通常つうじょうは右みぎ半平はんぺん面めんあるいは上うえ半平はんぺん面めん）上じょうのハーディ空間くうかんが多おおくの応用おうようの場面ばめんで用もちいられている。

上うえ半平はんぺん面めん H 上うえのハーディ空間くうかん H^p(H) は、H 上うえの正則せいそく函数かんすう f からなる空間くうかんで、次つぎの有界ゆうかい（準じゅん）ノルムを備そなえるものとして定義ていぎされる。

$\|f\|_{H^{p}}=\sup _{y>0}\left(\int |f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.$

これに対応たいおうする H^∞(H) は、次つぎで与あたえられる有界ゆうかいノルムを備そなえる函数かんすうからなる空間くうかんとして定義ていぎされる。

$\|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{z\in \mathbf {H} }|f(z)|.$

単位たんい円えん板ばん D と上うえ半平はんぺん面めん H は、メビウス変換へんかんの意味いみで一方いっぽうから他方たほうへ写うつすことが可能かのうとなるが、ハーディ空間くうかんに対たいする領域りょういきとしてそれらは交換こうかん可能かのうではない。この違ちがいの原因げんいんは、単位たんい円えんは有限ゆうげん（1次元じげん）ルベーグ測度そくどを持もつが、実数じっすう直線ちょくせんは持もたないという事実じじつにある。しかし、H² に対たいしては、依然いぜんとして次つぎの定理ていりが成なり立たつ。メビウス変換へんかん m : D → H で次つぎを満みたすものが与あたえられたとする。

$m(z)=i\cdot {\frac {1+z}{1-z}}.$

このとき、等ひとし長ちょう同型どうけい M : H²(H) → H²(D) で、次つぎを満みたすものが存在そんざいする。

$(Mf)(z)={\frac {\sqrt {\pi }}{1-z}}f(m(z)).$

Rⁿ に対たいする実じつハーディ空間くうかん

実じつベクトル空間くうかん Rⁿ 上うえの解析かいせきにおいて、ハーディ空間くうかん H^p（0 < p ≤ ∞）は、∫Φふぁい = 1 を満みたすあるシュワルツ函数かんすう Φふぁい に対たいして極大きょくだい函数かんすう

$(M_{\Phi }f)(x)=\sup _{t>0}|(f*\Phi _{t})(x)|$

が L^p(Rⁿ) に属ぞくするような、緩なる増加ぞうか超ちょう函数かんすう f によって構成こうせいされる。ここで ∗ は畳たたみ込こみを表あらわし、Φふぁい_t(x) = t⁻ⁿΦふぁい(x / t) である。H^p 内うちの超ちょう函数かんすう f の H^p-準じゅんノルム ||f ||_Hp は、M_Φふぁいf の L^p ノルムとして定義ていぎされる（これは Φふぁい の選択せんたくに依存いぞんするが、異ことなるシュワルツ超ちょう函数かんすう Φふぁい を選えらんでも同値どうちなノルムが与あたえられる）。H^p-準じゅんノルムは p ≥ 1 のときノルムであるが、p < 1 のときはノルムではない。

1 < p < ∞ であるなら、ハーディ空間くうかん H^p は L^p と等ひとしいベクトル空間くうかんで、同値どうちなノルムを持もつ。p = 1 のとき、ハーディ空間くうかん H¹ は L¹ の真ま部分ぶぶん集合しゅうごうである。L¹ において有界ゆうかいであるが、H¹ において非ひ有界ゆうかいであるような列れつ H¹ を見みつけることが出来できる。例たとえば、実数じっすう直線ちょくせん上じょうの以下いかの函数かんすうが挙あげられる。

$f_{k}(x)=\mathbf {1} _{[0,1]}(x-k)-\mathbf {1} _{[0,1]}(x+k),\ \ \ k>0.$

L¹ と H¹ のノルムは H¹ 上うえで同値どうちではなく、H¹ は L¹ において閉ではない。H¹ の双対そうついは、有界ゆうかい平均へいきん振動しんどうの函数かんすうの空間くうかん BMO である。空間くうかん BMO は非ひ有界ゆうかいな函数かんすうを含ふくむ（これは再ふたたび、H¹ が L¹ において閉でないことを意味いみする）。

p < 1 であるなら、ハーディ空間くうかん H^p は函数かんすうではない元もとを持もち、その双対そうついは次数じすう n(1/p − 1) の同どう次つぎリプシッツ空間くうかんである。p < 1 のとき、H^p-準じゅんノルムは劣れつ加法かほう的てきではないため、ノルムではない。p次つぎのベキ ||f ||_Hp^p は p < 1 のとき劣れつ加法かほう的てきであり、ハーディ空間くうかん H^p 上うえのある距離きょりを定義ていぎする。それは位相いそうを定義ていぎし、H^p を完備かんび距離きょり空間くうかんにする。

原子げんし分解ぶんかい

0 < p ≤ 1 のとき、コンパクトな台だいを持もつ有界ゆうかい可か測はか函数かんすう f がハーディ空間くうかん H^p に属ぞくするための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、その次数じすう i₁+ ... +i_n が高々たかだか n(1/p − 1) であるすべてのモーメント

$\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}\,\mathrm {d} x$

が消失しょうしつすることである。例たとえば、f ∈ H^p, 0 < p ≤ 1 であるためには f の積分せきぶんは消失しょうしつする必要ひつようがある。p > n / (n+1) であるなら、その消失しょうしつは十分じゅうぶん条件じょうけんとなる。

さらに f がある球たま B に台だいを持もち、|B|^−1/p によって有界ゆうかいであるなら、f は H^p-原子げんし と呼よばれる（ここで |B| は Rⁿ における B のユークリッド体積たいせきを表あらわす）。任意にんいの H^p-原子げんしの H^p-準じゅんノルムは、p およびシュワルツ函数かんすう Φふぁい にのみ依存いぞんする定数ていすうによって有界ゆうかいとなる。

0 < p ≤ 1 のとき、H^p の任意にんいの元もと f には、H^p-原子げんしの収束しゅうそく無限むげん結合けつごうである次つぎの原子げんし分解ぶんかいが存在そんざいする。

$f=\sum c_{j}a_{j},\ \ \ \sum |c_{j}|^{p}<\infty .$

ここで a_j は H^p-原子げんしであり、c_j はスカラーである。

例たとえば、ディラック超ちょう函数かんすうの差さ f = δでるた₁−δでるた₀ は、1/2 < p < 1 のとき H^p-準じゅんノルムにおいて収束しゅうそくであるようなハール函数かんすうの級数きゅうすうとして表現ひょうげんできる（単位たんい円上えんじょうで、対応たいおうする表現ひょうげんは 0 < p < 1 に対たいして有効ゆうこうとなるが、実数じっすう直線ちょくせん上じょうではハール函数かんすうは p ≤ 1/2 のときには H^p に属ぞくさない。これはなぜならば、それらの極大きょくだい函数かんすうは無限むげん大だいにおいて、ある a ≠ 0 に対たいする a x^–2 と同値どうちとなるからである）。

H^p に対たいするマルチンゲール

(M_n)_n≥0 をある確かく率りつ空間くうかん (Ωおめが, Σしぐま, P) 上じょうの、σしぐま-体からだの増加ぞうか列れつ (Σしぐま_n)_n≥0 に関かんするマルチンゲールとする。簡単かんたんのために、Σしぐま はその列れつ (Σしぐま_n)_n≥0 によって生成せいせいされる σしぐま-体からだと等ひとしいものと仮定かていする。そのマルチンゲールの極大きょくだい函数かんすうは、次つぎで定義ていぎされる。

$M^{*}=\sup _{n\geq 0}\,|M_{n}|.$

1 ≤ p < ∞ とする。マルチンゲール (M_n)_n≥0 は M* ∈ L^p のとき、マルチンゲール-H^p に属ぞくする。

M* ∈ L^p であるなら、マルチンゲール (M_n)_n≥0 は L^p 内うちで有界ゆうかいであり、したがってドゥーブのマルチンゲール収束しゅうそく定理ていりによってほとんど確実かくじつにある函数かんすう f に収束しゅうそくする。さらに優ゆう収束しゅうそく定理ていりによって、M_n は L^p-ノルムにおいて f に収束しゅうそくするため、M_n は Σしぐま_n 上うえでの f の条件じょうけん付つき期待きたい値ちとして表現ひょうげんされる。したがってマルチンゲール-H^p を、マルチンゲール

$M_{n}=E{\bigl (}f|\Sigma _{n}{\bigr )}$

がマルチンゲール-H^p に属ぞくするようなそれら f からなる L^p(Ωおめが, Σしぐま, P) の部分ぶぶん空間くうかんとして認識にんしきすることが出来できる。

ドゥーブの極大きょくだい不等式ふとうしきによると、マルチンゲール-H^p は 1 < p < ∞ のとき L^p(Ωおめが, Σしぐま, P) と一致いっちする。興味深きょうみぶかい空間くうかんとして、双対そうついがマルチンゲール-BMO であるようなマルチンゲール-H¹が挙あげられる (Garsia 1973)。

（p > 1 のときの）バークホルダー＝ガンディ不等式ふとうしきや、（p = 1 のときの）バージェス＝デービス不等式ふとうしきは、極大きょくだい函数かんすうの L^p-ノルムを、マルチンゲールの自乗じじょう函数かんすう

$S(f)=\left(|M_{0}|^{2}+\sum _{n=0}^{\infty }|M_{n+1}-M_{n}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$

と関連付かんれんづける。マルチンゲール-H^p は、S(f)∈ L^p とすることで定義ていぎすることが出来できる (Garsia 1973)。

連続れんぞく時間じかんパラメータを伴ともなうマルチンゲールもまた考慮こうりょすることが出来できる。古典こてん的てき理論りろんとの直接的ちょくせつてきな関連かんれんは、複素ふくそ平面へいめん内ないの複素ふくそブラウン運動うんどう (B_t) で、点てん z = 0 を時間じかん t = 0 に出発しゅっぱつするものを通つうじて得えることが出来できる。τたう を単位たんい円えんへの到達とうたつ時刻じこくとする。単位たんい円えん板いた内ないの任意にんいの正則せいそく函数かんすう F に対たいして、

$M_{t}=F(B_{t\wedge \tau })$

がマルチンゲール-H^p に属ぞくするマルチンゲールであるための必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんは、F ∈ H^p である(Burkholder, Gundy & Silverstein 1971)。

例れい：二に次項じこうマルチンゲール-H¹

ここでは例れいとして、Ωおめが = [0, 1] とし、任意にんいの n ≥ 0 に対たいして長ながさ 2⁻ⁿ の 2ⁿ 個この区間くかんへの [0, 1] の二に次項じこう分割ぶんかつによって生成せいせいされる有限ゆうげん体たいを Σしぐま_n とする。[0, 1] 上じょうの函数かんすう f が、ハールシステム (h_k) 上じょうの展開てんかい

$f=\sum c_{k}h_{k},$

によって表あらわされるなら、f のマルチンゲール-H¹ ノルムは自乗じじょう函数かんすうの L¹ ノルム

$\int _{0}^{1}{\Bigl (}\sum |c_{k}h_{k}(x)|^{2}{\Bigr )}^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} x$

によって与あたえられる。この空間くうかんはしばしば H¹(δでるた) と表記ひょうきされ、単位たんい円上えんじょうで古典こてん的てき実み H¹ 空間くうかんと同型どうけいとなる(Müller 2005)。ハールシステムは、H¹(δでるた) に対たいする無条件むじょうけん基底きていである。

関連かんれん項目こうもく

• 空間くうかん (数学すうがく)
• 複素ふくそ解析かいせき

参考さんこう文献ぶんけん

• Burkholder, Donald L.; Gundy, Richard F.; Silverstein, Martin L. (1971), “A maximal function characterization of the class H^p”, Transactions of the American Mathematical Society 157: 137–153, doi:10.2307/1995838, JSTOR 1995838, MR0274767, https://jstor.org/stable/1995838. 
• Cima, Joseph A.; Ross, William T. (2000), The Backward Shift on the Hardy Space, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2083-4 
• Colwell, Peter (1985), Blaschke Products - Bounded Analytic Functions, Ann Arbor: University of Michigan Press, ISBN 0-472-10065-3 
• Duren, P. (1970), Theory of H^p-Spaces, New York: Academic Press 
• Fefferman, Charles; Stein, Elias M. (1972), “H^p spaces of several variables”, Acta Math. 129 (3–4): 137–193, doi:10.1007/BF02392215, MR0447953. 
• Folland, G.B. (2001), “Hardy spaces”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Hardy_spaces 
• Garsia, Adriano M. (1973), Martingale inequalities: Seminar notes on recent progress, Mathematics Lecture Notes Series, Reading, Mass.-London-Amsterdam: W. A. Benjamin, Inc., pp. viii+184  MR0448538
• Hardy, G. H. (1915), “On the mean value of the modulus of an analytic function”, Proceedings of the London Mathematical Society 14: 269–277, JFM 45.1331.03 
• Hoffman, Kenneth (1988), Banach spaces of analytic functions, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-65785-X 
• Katznelson, Yitzhak (1976), An introduction to Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-63331-4 
• Müller, Paul F. X. (2005), Isomorphisms between H¹ spaces, Basel: Mathematics Institute of the Polish Academy of Sciences. Mathematical Monographs (New Series), Birkhäuser Verlag, pp. xiv+453, ISBN 978-3-7643-2431-5, MR2157745 
• Riesz, F. (1923), “Über die Randwerte einer analytischen Funktion”, Math. Z. 18: 87–95, doi:10.1007/BF01192397 
• Mashreghi, J. (2009), Representation Theorems in Hardy Spaces, Cambridge University Press 
• Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-100276-6 
• Shvedenko, S.V. (2001), “Hardy classes”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Hardy_classes