フリードリヒの不等式ふとうしき

数学すうがくにおけるフリードリヒの不等式ふとうしき（フリードリヒのふとうしき、英えい: Friedrichs' inequality）とは、カート・フリードリヒによる函数かんすう解析かいせき学がくの一いち定理ていりである。函数かんすうの弱じゃく微分びぶんに対たいする L^p 評価ひょうかと、その定義ていぎ域いきの形状けいじょうを利用りようすることで、その函数かんすうのL^p ノルムに対たいする評価ひょうかを与あたえるものである。ソボレフ空間くうかん上うえのいくつかのノルムが同値どうちであることを示しめすために利用りようすることが出来できる。

不等式ふとうしきの内容ないよう

Ωおめが はユークリッド空間くうかん Rⁿ の有界ゆうかい部分ぶぶん集合しゅうごうで、その径みちは d とする。u : Ωおめが → R はソボレフ空間くうかん $W_{0}^{k,p}(\Omega )$ に属ぞくするものとする（すなわち、u は W^k,p(Ωおめが) に属ぞくし、そのトレースはゼロ）。このとき、次つぎが成なり立たつ。

$\|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}.$

この評価ひょうか式しきにおいて

• $\|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}$ はL^p ノルムを表あらわす；
• αあるふぁ = (αあるふぁ₁, ..., αあるふぁ_n) は多重たじゅう指数しすうで、そのノルムは |αあるふぁ| = αあるふぁ₁ + ... + αあるふぁ_n である；
• D^{αあるふぁ}u は次つぎの混合こんごう偏へん導しるべ函数かんすうである。

$\mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}.$

関連かんれん項目こうもく

• ポアンカレ不等式ふとうしき