数学 すうがく フビニの定理 ていり （フビニのていり、英 えい Fubini's theorem ）とは、Guido Fubini (1907 )導入 どうにゅう 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 二 に 重 じゅう 積分 せきぶん 計算 けいさん 可能 かのう 条件 じょうけん 関 かん 一 いち 結果 けっか 次 つぎ 計算 けいさん 可能 かのう
∫
X
(
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
=
∫
Y
(
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
x
)
d
y
=
∫
X
×
Y
f
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}
この結果 けっか 積分 せきぶん 順序 じゅんじょ （英語 えいご 版 ばん 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 変 か 可能 かのう 定理 ていり 二 に 変数 へんすう 函数 かんすう 可 か 積分 せきぶん 上記 じょうき 二 に 回 かい 繰 く 返 かえ 積分 せきぶん 等 ひと 意味 いみ Leonida Tonelli (1909 )導入 どうにゅう トネリの定理 ていり （Tonelli's theorem）も同様 どうよう 定理 ていり 適用 てきよう 函数 かんすう 可 か 積分 せきぶん 非負 ひふ
フビニの定理 ていり 特別 とくべつ 場合 ばあい 実 じつ 空間 くうかん 界 かい 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう 積 せき 上 じょう 連続 れんぞく 函数 かんすう 対 たい 定理 ていり 世紀 せいき 知 し Lebesgue (1904 ) はこの結果 けっか 区間 くかん 積 せき 上 じょう 有界 ゆうかい 可 か 測 はか 函数 かんすう 拡張 かくちょう 年 ねん 定理 ていり 有界 ゆうかい 可 か 積分 せきぶん 函数 かんすう 対 たい 拡張 かくちょう 予想 よそう 年 ねん 事実 じじつ 証明 しょうめい
X と Y が測度 そくど 伴 ともな 測度 そくど 空間 くうかん 積 せき 関 かん 積 せき 測度 そくど 定義 ていぎ 自然 しぜん 方法 ほうほう 存在 そんざい
測度 そくど 空間 くうかん 圏 けん 論 ろん 意味 いみ 積 せき X ×Y は、それらの可 か 測 はか 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう 積 せき A ×B によって生成 せいせい σ しぐま 代数 だいすう 可 か 測 はか 集合 しゅうごう 持 も X ×Y 上 うえ 測度 そくど μ みゅー 可 か 測 はか 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう A および B に対 たい μ みゅー A ×B )=μ みゅー A )μ みゅー B ) を満 み 積 せき 測度 そくど 呼 よ 一般 いっぱん X ×Y 上 うえ 多 おお 異 こと 積 せき 測度 そくど 存在 そんざい 定理 ていり 定理 ていり 問題 もんだい 解決 かいけつ 技術 ぎじゅつ 的 てき 条件 じょうけん 必要 ひつよう 最 もっと 一般 いっぱん 的 てき 方法 ほうほう 可 か 測 はか 空間 くうかん σ しぐま 有限 ゆうげん 仮定 かてい 方法 ほうほう 場合 ばあい X ×Y 上 うえ 積 せき 測度 そくど 唯 ただ 一 ひと 可 か 測 はか 集合 しゅうごう 測度 そくど 可 か 測 はか 集合 しゅうごう 積 せき 可算 かさん 個 こ 合併 がっぺい 集合 しゅうごう 測度 そくど 下限 かげん 与 あた 場合 ばあい X ×Y 上 うえ 常 つね 唯 ただ 一 ひと 極大 きょくだい 積 せき 測度 そくど 存在 そんざい 極大 きょくだい 積 せき 測度 そくど 可 か 測 はか 集合 しゅうごう 積 せき 生成 せいせい 集合 しゅうごう 環 たまき 上 じょう μ みゅー A ×B )=μ みゅー A )μ みゅー B ) を満 み 加法 かほう 的 てき 函数 かんすう μ みゅー 対 たい カラテオドリの拡張 かくちょう 定理 ていり を適用 てきよう 構成 こうせい
二 ふた 完備 かんび 距離 きょり 空間 くうかん 積 せき 通常 つうじょう 完備 かんび 例 たと 単位 たんい 区間 くかん I 上 うえ ルベーグ測度 そくど の積 せき 平方 へいほう I ×I 上 うえ 測度 そくど 完備 かんび 測度 そくど 対 たい 定理 ていり 変化 へんか 版 ばん 存在 そんざい 不 ふ 完備 かんび 測度 そくど 積 せき 代 か 積 せき 完備 かんび 化 か 用 もち
可 か 積分 せきぶん 函数 かんすう 対 たい 定理 ていり [ 編集 へんしゅう ] X と Y を測度 そくど 空間 くうかん X × Y を与 あた 極大 きょくだい 積 せき 測度 そくど X と Y が σ しぐま 有限 ゆうげん 唯 ただ 一 ひと 積 せき 測度 そくど 定理 ていり f(x,y) が X × Y 可 か 積分 せきぶん 可 か 測 はか
∫
X
×
Y
|
f
(
x
,
y
)
|
d
(
x
,
y
)
<
∞
{\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty }
が有限 ゆうげん 次 つぎ 成立 せいりつ 述 の
∫
X
(
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
=
∫
Y
(
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
x
)
d
y
=
∫
X
×
Y
f
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,dy\right)dx=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,dx\right)dy=\int _{X\times Y}f(x,y)\,d(x,y).}
この式 しき 二 ふた 積分 せきぶん 二 ふた 測度 そくど 関 かん 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 三 みっ 目 め 積分 せきぶん 二 ふた 測度 そくど 極大 きょくだい 積 せき 関 かん 積分 せきぶん 上記 じょうき 現 あらわ 各 かく 偏 へん 積分 せきぶん
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
,
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
x
{\displaystyle \textstyle \int _{Y}f(x,y)\,dy,\int _{X}f(x,y)\,dx}
至 いた 所 ところ 定義 ていぎ 必要 ひつよう 実際 じっさい 定義 ていぎ 点 てん 測度 そくど 集合 しゅうごう 構成 こうせい 問題 もんだい
上述 じょうじゅつ 絶対 ぜったい 値 ち 関 かん 積分 せきぶん 有限 ゆうげん 上 うえ 式 しき 二 ふた 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 実際 じっさい 異 こと 値 ね 取 と 可能 かのう 性 せい 後述 こうじゅつ 内容 ないよう 参照 さんしょう
フビニの定理 ていり X と Y は σ しぐま 有限 ゆうげん 仮定 かてい 初 はじ 置 お 場合 ばあい 積 せき 測度 そくど 極大 きょくだい 仮定 かてい 必要 ひつよう 実際 じっさい 極 ごく 大積 おおつみ 測度 そくど 唯 ただ 一 ひと 積 せき 測度 そくど 空間 くうかん σ しぐま 有限 ゆうげん 定理 ていり 成立 せいりつ 異 こと 積 せき 測度 そくど 存在 そんざい 可能 かのう 性 せい 例 たと 積 せき 測度 そくど 非負 ひふ 可 か 測 はか 函数 かんすう f に対 たい f | の二 に 重 じゅう 積分 せきぶん 二 ふた 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 異 こと 値 ね 起 お 得 え 後述 こうじゅつ 反例 はんれい 関 かん 節 ふし 参照 さんしょう 非 ひ 極大 きょくだい 積 せき 測度 そくど 対 たい 定理 ていり 技巧 ぎこう 的 てき 一般 いっぱん 化 か 存在 そんざい Fremlin 2003 ) を参照 さんしょう 定理 ていり 定理 ていり 非 ひ σ しぐま 有限 ゆうげん 空間 くうかん 上 じょう 極 ごく 大積 おおつみ 測度 そくど 対 たい 成立 せいりつ 実際 じっさい 場合 ばあい 定理 ていり 使 つか 対象 たいしょう 全 すべ 測度 そくど 空間 くうかん σ しぐま 有限 ゆうげん
非負 ひふ 函数 かんすう 対 たい 定理 ていり [ 編集 へんしゅう ] （レオニダス・トネリ （英語 えいご 版 ばん 名 な トネリの定理 ていり （Tonelli's theorem）は、フビニの定理 ていり 後継 こうけい 定理 ていり 定理 ていり 結論 けつろん 定理 ていり 同一 どういつ 定理 ていり |f| の積分 せきぶん 有限 ゆうげん 仮定 かてい f が非負 ひふ 仮定 かてい 置 お 換 か
トネリの定理 ていり X , A , μ みゅー Y , B , ν にゅー σ しぐま 有限 ゆうげん 測度 そくど 空間 くうかん （英語 えいご 版 ばん X×Y から [0,∞] への函数 かんすう f が非負 ひふ 可 か 測 はか 次 つぎ 成立 せいりつ 述 の
∫
X
(
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
=
∫
Y
(
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
x
)
d
y
=
∫
X
×
Y
f
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}
トネリの定理 ていり 特別 とくべつ 場合 ばあい
∑
x
∑
y
a
x
y
=
∑
y
∑
x
a
x
y
{\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}a_{xy}=\sum _{y}\sum _{x}a_{xy}}
和 わ 順序 じゅんじょ 交換 こうかん 挙 あ
a
x
y
{\displaystyle a_{xy}}
全 すべ x および y に対 たい 非負 ひふ 定理 ていり 要点 ようてん 和 わ 順序 じゅんじょ 交換 こうかん 級数 きゅうすう 発散 はっさん 場合 ばあい 成立 せいりつ 実際 じっさい 和 わ 順序 じゅんじょ 交換 こうかん 値 ね 変 か 例 れい
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
発散 はっさん 部分 ぶぶん 列 れつ 存在 そんざい 場合 ばあい 起 お 得 え 今回 こんかい 全 すべ 元 もと 非負 ひふ 可能 かのう 性 せい 除 のぞ
測度 そくど 空間 くうかん σ しぐま 有限 ゆうげん 条件 じょうけん 無 な 場合 ばあい 上述 じょうじゅつ 三 みっ 積分 せきぶん 異 こと 値 ね 取 と 起 お 得 え 何人 なんにん 研究 けんきゅう 者 しゃ σ しぐま 有限 ゆうげん 測度 そくど 空間 くうかん 対 たい 定理 ていり 一般 いっぱん 化 か 与 あた 一般 いっぱん 化 か 問題 もんだい σ しぐま 有限 ゆうげん 場合 ばあい 直 ただ 帰着 きちゃく 追加 ついか 条件 じょうけん 与 あた 例 たと A ×B 上 うえ σ しぐま 代数 だいすう 可 か 測 はか 集合 しゅうごう 積 せき 有限 ゆうげん 測度 そくど 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう 積 せき 生成 せいせい 設定 せってい 積 せき 各 かく 要素 ようそ A および B への射影 しゃえい 可 か 測 はか 望 のぞ 結果 けっか 他 た 例 れい f の台 だい 有限 ゆうげん 測度 そくど 積 せき 可算 かさん 個 こ 合併 がっぺい 含 ふく 条件 じょうけん 加 くわ Fremlin (2003) は、トネリの定理 ていり 非 ひ σ しぐま 有限 ゆうげん 空間 くうかん 拡張 かくちょう 与 あた 幾分 いくぶん 技術 ぎじゅつ 的 てき 一般 いっぱん 化 か 抽象 ちゅうしょう 的 てき 測度 そくど 論 ろん 範疇 はんちゅう 超 こ 点 てん 意義 いぎ 深 ふか 応 おう 用例 ようれい 見 み 実際 じっさい 興味 きょうみ 全 すべ 測度 そくど 空間 くうかん σ しぐま 有限 ゆうげん
フビニ＝トネリの定理 ていり [ 編集 へんしゅう ] フビニの定理 ていり 定理 ていり 組 く 合 あ 定理 ていり 定理 ていり 省略 しょうりゃく 呼 よ 得 え 定理 ていり X と Y が σ しぐま 有限 ゆうげん 測度 そくど （英語 えいご 版 ばん f は以下 いか 三 みっ 積分 せきぶん
∫
X
(
∫
Y
|
f
(
x
,
y
)
|
d
y
)
d
x
{\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x}
∫
Y
(
∫
X
|
f
(
x
,
y
)
|
d
x
)
d
y
{\displaystyle \int _{Y}\left(\int _{X}|f(x,y)|\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y}
∫
X
×
Y
|
f
(
x
,
y
)
|
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)}
のいずれかが有界 ゆうかい 可 か 測 はか 函数 かんすう 次 つぎ 等式 とうしき 成立 せいりつ 述 の
∫
X
(
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
=
∫
Y
(
∫
X
f
(
x
,
y
)
d
x
)
d
y
=
∫
X
×
Y
f
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}
上述 じょうじゅつ 条件 じょうけん 式 しき f の絶対 ぜったい 値 ち f の正 せい 負 まけ 部分 ぶぶん 置 お 換 か 出来 でき 非負 ひふ 函数 かんすう 負 まけ 部分 ぶぶん 積分 せきぶん 有限 ゆうげん 置 お 換 か 定理 ていり 含 ふく 分 わ 非公式 ひこうしき 的 てき 条件 じょうけん 満 み f の二 に 重 じゅう 積分 せきぶん 無限 むげん 呼 よ
フビニの定理 ていり 対 たい 定理 ていり 用 もち 利点 りてん 絶対 ぜったい 値 ち f | の逐次 ちくじ 積分 せきぶん 二 に 重 じゅう 積分 せきぶん 容易 ようい 研究 けんきゅう 定理 ていり 単一 たんいつ 積分 せきぶん 測度 そくど 集合 しゅうごう 上 じょう 定義 ていぎ
完備 かんび 測度 そくど 対 たい 定理 ていり [ 編集 へんしゅう ] 上述 じょうじゅつ 定理 ていり 測度 そくど 伴 ともな 実数 じっすう 直線 ちょくせん R 同士 どうし 積 せき 上 うえ 積分 せきぶん 対 たい 適用 てきよう 厄介 やっかい 問題 もんだい R ×R 上 うえ 測度 そくど R 上 うえ 測度 そくど 同士 どうし 積 せき 異 こと 完備 かんび 化 か 点 てん 生 しょう 問題 もんだい 一般 いっぱん 二 ふた 完備 かんび 測度 そくど 空間 くうかん X と Y の積 せき 完備 かんび 理由 りゆう 完備 かんび 測度 そくど 対 たい 定理 ていり 変形 へんけい 版 ばん 用 もち 大雑把 おおざっぱ 言 い 測度 そくど 完備 かんび 化 か 置 お 換 か 上述 じょうじゅつ 似 に 定理 ていり 変形 へんけい 版 ばん 多 おお 存在 そんざい 以下 いか 小 ちい 差異 さい 見 み
二 ふた 測度 そくど 空間 くうかん 積 せき X ×Y を取 と 代 か 測度 そくど 完備 かんび 化 か 取 と X ×Y の完備 かんび 化 か 上 うえ f が可 か 測 はか 垂直 すいちょく 水平 すいへい 直線 ちょくせん 制限 せいげん 直線 ちょくせん 内 ない 測度 そくど 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう 対 たい 非 ひ 可 か 測 はか 垂直 すいちょく 水平 すいへい 対 たい 積分 せきぶん 非 ひ 可 か 測 はか 函数 かんすう 積分 せきぶん 含 ふく 測度 そくど 集合 しゅうごう 上 じょう 定義 ていぎ 可能 かのう 性 せい 許 ゆる 必要 ひつよう 可 か 積分 せきぶん 函数 かんすう 定義 ていぎ 差異 さい 生 しょう 一般 いっぱん X と Y 上 うえ 測度 そくど 完備 かんび 仮定 かてい 垂直 すいちょく 水平 すいへい 直線 ちょくせん 沿 そ 二 ふた 部分 ぶぶん 積分 せきぶん 可 か 測 はか 場合 ばあい 起 お 得 え 例 たと f を、測度 そくど 集合 しゅうごう 含 ふく 可 か 測 はか 集合 しゅうごう 非 ひ 可 か 測 はか 集合 しゅうごう 積 せき 関 かん 特性 とくせい 函数 かんすう 積分 せきぶん 至 いた 所 ところ 非 ひ 可 か 測 はか フビニおよびトネリの定理 ていり 証明 しょうめい σ しぐま 有限 ゆうげん 性 せい 関連 かんれん 仮定 かてい 用 もち 必然 ひつぜん 的 てき 幾分 いくぶん 技巧 ぎこう 的 てき 証明 しょうめい 以下 いか 述 の 徐々 じょじょ 複雑 ふくざつ 函数 かんすう 対 たい 定理 ていり 成立 せいりつ 示 しめ 最終 さいしゅう 的 てき 示 しめ 方針 ほうしん 採 と
手順 てじゅん 積 せき 上 じょう 測度 そくど 積 せき 測度 そくど 事実 じじつ 使 つか 長方形 ちょうほうけい 区間 くかん 上 じょう 特性 とくせい 函数 かんすう 対 たい 定理 ていり 証明 しょうめい 手順 てじゅん 空間 くうかん σ しぐま 有限 ゆうげん 条件 じょうけん 関連 かんれん 条件 じょうけん 使 つか 可 か 測 はか 集合 しゅうごう 上 じょう 特性 とくせい 函数 かんすう 対 たい 定理 ていり 証明 しょうめい 手順 てじゅん 函数 かんすう 可 か 測 はか 条件 じょうけん 使 つか 単 たん 函数 かんすう 有限 ゆうげん 個 こ 値 ね 取 と 函数 かんすう 手順 てじゅん 函数 かんすう 有限 ゆうげん 線型 せんけい 結合 けつごう 近似 きんじ 正 せい 可 か 測 はか 函数 かんすう 対 たい 定理 ていり 証明 しょうめい 定理 ていり 証明 しょうめい 手順 てじゅん 函数 かんすう 可 か 積分 せきぶん 条件 じょうけん 使 つか 函数 かんすう 二 ふた 正 せい 可 か 積分 せきぶん 函数 かんすう 差 さ 表 あらわ 対 たい 定理 ていり 用 もち 定理 ていり 証明 しょうめい 次 つぎ 例 れい 定理 ていり 定理 ていり 仮定 かてい 満 み 定理 ていり 成立 せいりつ 示 しめ
σ しぐま 有限 ゆうげん 空間 くうかん 場合 ばあい 定理 ていり 成立 せいりつ [ 編集 へんしゅう ] X はルベーグ可 か 測 はか 集合 しゅうごう 測度 そくど 伴 ともな 単位 たんい 区間 くかん Y は数 かぞ 上 あ 測度 そくど 伴 ともな 単位 たんい 区間 くかん 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう 可 か 測 はか Y は σ しぐま 有限 ゆうげん f が X ×Y の対 たい 角 かく 特性 とくせい 函数 かんすう f の X に沿 そ 積分 せきぶん Y 上 うえ 函数 かんすう Y に沿 そ 積分 せきぶん X 上 うえ 函数 かんすう 二 ふた 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 値 ね 異 こと 積 せき 測度 そくど 選 えら σ しぐま 有限 ゆうげん 空間 くうかん 対 たい 定理 ていり 成立 せいりつ 意味 いみ 測度 そくど 分解 ぶんかい 可能 かのう 定理 ていり σ しぐま 有限 ゆうげん 測度 そくど 一般 いっぱん 的 てき 分解 ぶんかい 可能 かのう 測度 そくど 対 たい 成立 せいりつ 示 しめ
非 ひ 極大 きょくだい 積 せき 測度 そくど 対 たい 定理 ていり 成立 せいりつ [ 編集 へんしゅう ] たとえ σ しぐま 有限 ゆうげん 空間 くうかん 極 ごく 大積 おおつみ 測度 そくど 用 もち 定理 ていり 成立 せいりつ 実際 じっさい 上記 じょうき 例 れい 極大 きょくだい 積 せき 測度 そくど 考 かんが 対 たい 角 かく 無限 むげん 測度 そくど 持 も f | の二 に 重 じゅう 積分 せきぶん 無限 むげん 大 だい 空虚 くうきょ 意味 いみ 定理 ていり 成立 せいりつ X ×Y を、測度 そくど 集合 しゅうごう 水平 すいへい 区分 くぶん 測度 そくど 和 やわ 積 せき 測度 そくど f | の二 に 重 じゅう 積分 せきぶん 二 ふた 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 値 ね 依然 いぜん 異 こと 得 え 定理 ていり 成立 せいりつ 積 せき 測度 そくど 例 れい
このことにより、二 ふた 測度 そくど 空間 くうかん 同一 どういつ 積 せき 上 じょう 異 こと 二 ふた 積 せき 測度 そくど 例 れい 得 え 二 ふた σ しぐま 有限 ゆうげん 測度 そくど 空間 くうかん 積 せき 唯 ただ 一 ひと 積 せき 測度 そくど 存在 そんざい
非 ひ 可 か 測 はか 函数 かんすう 対 たい 定理 ていり 成立 せいりつ [ 編集 へんしゅう ] X は第 だい 一 いち 非 ひ 可算 かさん 順序 じゅんじょ 数 すう 可 か 測 はか 集合 しゅうごう 測度 そくど 可算 かさん 可算 かさん 個 こ 測度 そくど 補 ほ 集合 しゅうごう 有限 ゆうげん 測度 そくど 伴 ともな X ×X の（非 ひ 可 か 測 はか 部分 ぶぶん 集合 しゅうごう E を x <y を満 み x ,y ) で与 あた 水平 すいへい 直線 ちょくせん 上 じょう 可算 かさん 垂直 すいちょく 直線 ちょくせん 上 じょう 可算 かさん 個 こ 補 ほ 集合 しゅうごう 持 も f を E の特性 とくせい 函数 かんすう f の二 に 種類 しゅるい 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 定義 ていぎ 異 こと 値 ね 取 と 函数 かんすう f は非 ひ 可 か 測 はか 定理 ていり 非 ひ 可 か 測 はか 函数 かんすう 対 たい 成立 せいりつ 例 れい
非 ひ 可 か 測 はか 函数 かんすう 対 たい 定理 ていり 成立 せいりつ [ 編集 へんしゅう ] 上 うえ 例 れい 変形 へんけい 版 ばん f | が可 か 積分 せきぶん 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 非 ひ 可 か 測 はか 定理 ていり 成立 せいりつ 例 れい 以下 いか 挙 あ f は E 上 うえ E の補 ほ 集合 しゅうごう 上 じょう f | はその直積 ちょくせき 空間 くうかん 上 じょう 積分 せきぶん 可 か 積分 せきぶん 各 かく 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 値 ね 異 こと
連続 れんぞく 体 たい 仮説 かせつ 考 かんが X を単位 たんい 区間 くかん I と見 み 出来 でき 二 ふた 測度 そくど 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 定義 ていぎ 等 ひと I ×I 上 うえ 有界 ゆうかい 非負 ひふ 函数 かんすう 存在 そんざい 分 わ 例 れい Sierpiński (1920 ) によって発見 はっけん 測度 そくど 伴 ともな 二 ふた 単位 たんい 区間 くかん 積 せき 上 じょう 対 たい 定理 ていり 強 つよ 結果 けっか 函数 かんすう 可 か 測 はか 必要 ひつよう 二 ふた 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 存在 そんざい 結果 けっか 標準 ひょうじゅん 的 てき 集合 しゅうごう 論 ろん ツェルメロ＝フレンケルの公理 こうり とは独立 どくりつ 連続 れんぞく 体 たい 仮説 かせつ マーティンの公理 こうり はいずれも、逐次 ちくじ 積分 せきぶん 値 ね 異 こと 単位 たんい 正方形 せいほうけい 上 じょう 函数 かんすう 存在 そんざい 意味 いみ Friedman (1980 ) は、それはZFC と一致 いっち 対 たい 強 つよ 型 がた 定理 ていり 成立 せいりつ 二 ふた 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 存在 そんざい 等 ひと 示 しめ ZFCから独立 どくりつ 命題 めいだい 一覧 いちらん を参照 さんしょう
非 ひ 可 か 積分 せきぶん 函数 かんすう 対 たい 定理 ていり 成立 せいりつ [ 編集 へんしゅう ] フビニの定理 ていり σ しぐま 有限 ゆうげん 測度 そくど 空間 くうかん 積 せき 上 じょう 可 か 測 はか 函数 かんすう 対 たい 絶対 ぜったい 値 ち 積分 せきぶん 有限 ゆうげん 積分 せきぶん 順序 じゅんじょ 問題 もんだい x について積分 せきぶん 続 つづ y について積分 せきぶん y 、続 つづ x について積分 せきぶん 同 おな 結果 けっか 得 え 絶対 ぜったい 値 ち 積分 せきぶん 有限 ゆうげん 仮定 かてい ルベーグ可 か 積分 せきぶん 性 せい であり、この仮定 かてい 無 な 二 ふた 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 異 こと 値 ね 取 と 得 え
逐次 ちくじ 積分 せきぶん 一般 いっぱん 異 こと 値 ね 取 と 簡単 かんたん 例 れい 二 ふた 測度 そくど 空間 くうかん 正 せい 整数 せいすう 定 さだ 函数 かんすう f (x ,y ) は x =y なら 1、x =y +1 なら -1、それ以外 いがい 挙 あ 二 ふた 逐次 ちくじ 積分 せきぶん 異 こと 値 ね 取 と
他 た 例 れい 次 つぎ 函数 かんすう 考 かんが
x
2
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
=
−
∂
2
∂
x
∂
y
arctan
(
y
/
x
)
.
{\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}\arctan(y/x).}
このとき逐次 ちくじ 積分 せきぶん
∫
x
=
0
1
(
∫
y
=
0
1
x
2
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
d
y
)
d
x
=
π ぱい 4
{\displaystyle \int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x={\frac {\pi }{4}}}
および
∫
y
=
0
1
(
∫
x
=
0
1
x
2
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
d
x
)
d
y
=
−
π ぱい 4
{\displaystyle \int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {\pi }{4}}}
となり、異 こと 値 ね 対応 たいおう 二 に 重 じゅう 積分 せきぶん 絶対 ぜったい 収束 しゅうそく 換 いか 絶対 ぜったい 値 ち 取 と 積分 せきぶん 有限 ゆうげん
∫
0
1
∫
0
1
|
x
2
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
|
d
y
d
x
=
∞
{\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right|\,{\text{d}}y\,{\text{d}}x=\infty }
となる。
クラトフスキ＝ウラムの定理 ていり [ 編集 へんしゅう ] ポーランドの数学 すうがく 者 しゃ カジミェシュ・クラトフスキ とスタニスワフ・ウラム の名 な 定理 ていり 任意 にんい 第 だい 二 に 可算 かさん 的 てき ベール空間 くうかん に対 たい 同様 どうよう 結果 けっか 対 たい 定理 ていり 呼 よ X と Y を第 だい 二 に 可算 かさん 的 てき 空間 くうかん 特 とく ポーランド空間 くうかん ）とし、
A
⊂
X
×
Y
{\displaystyle A\subset X\times Y}
A がベールの性質 せいしつ を持 も 以下 いか 二 ふた 条件 じょうけん 同値 どうち
A は痩 やせ 集合 しゅうごう 集合 しゅうごう
{
x
∈
X
:
A
x
is meager in Y
}
{\displaystyle \{x\in X:A_{x}{\text{ is meager in Y}}\}}
内 ない 補 ほ 痩 やせ 集合 しゅうごう
A
x
=
π ぱい
Y
[
A
∩
{
x
}
×
Y
]
{\displaystyle A_{x}=\pi _{Y}[A\cap \lbrace x\rbrace \times Y]}
π ぱい
Y
{\displaystyle \pi _{Y}}
上 うえ 射影 しゃえい 各 かく 条件 じょうけん 痩 やせ 集合 しゅうごう 補 ほ 痩 やせ 集合 しゅうごう 代 か 成立 せいりつ 仮 かり 性質 せいしつ 持 も 条件 じょうけん 条件 じょうけん 従 したが [1] 定理 ていり 任意 にんい 空間 くうかん 可算 かさん 基 もと 持 も 空間 くうかん 対 たい 空虚 くうきょ 意味 いみ 成立 せいりつ
この定理 ていり 考 かんが 函数 かんすう 積 せき 空間 くうかん 集合 しゅうごう 特性 とくせい 函数 かんすう 場合 ばあい 通常 つうじょう 定理 ていり 類似 るいじ 場合 ばあい 痩 やせ 集合 しゅうごう 測度 そくど 集合 しゅうごう 補 ほ 痩 やせ 集合 しゅうごう 全 ぜん 測度 そくど 集合 しゅうごう 性質 せいしつ 持 も 集合 しゅうごう 可 か 測 はか 集合 しゅうごう 対応 たいおう
^ S. Srivastava A course on Borel sets . Springer, 1998, p. 112.
DiBenedetto, Emmanuele (2002), Real analysis , Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN 0-8176-4231-5 , MR 1897317 Fremlin, D. H. (2003), Measure theory , 2 , Colchester: Torres Fremlin, ISBN 0-9538129-2-8 , MR 2462280 Sierpiński, Wacław (1920), “Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement” , Fundamenta Mathematicae 1 (1): 112–115, https://eudml.org/doc/212592 Friedman, Harvey (1980), “A Consistent Fubini-Tonelli Theorem for Nonmeasurable Functions” , Illinois J. Math. 24 (3): 390–395, MR 573474 , http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256047607 Fubini, G. (1907), “Sugli integrali multipli”, Rom. Acc. L. Rend. (5) 16 (1): 608-614 Fubini, G. (1958), Opere scelte , 2 , Cremonese, pp. 243–249 Lebesgue (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives , https://archive.org/details/leconegrarecher00leberich Tonelli, L. (1909), “Sull'integrazione per parti”, Atti della Accademia Nazionale dei Lincei (5) 18 (2): 246-253 Kudryavtsev, L.D. (2001), “Fubini theorem” , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics ISBN 978-1-55608-010-4 , https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Fubini_theorem Teschl, Gerald , Topics in Real and Functional Analysis , http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/index.html 
![{\displaystyle A_{x}=\pi _{Y}[A\cap \lbrace x\rbrace \times Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078a78f4df5ddab6a60a933da44a60353bfd7a57)
