移動いどう現象げんしょう論ろん

移動いどう現象げんしょう論ろん（いどうげんしょうろん、英えい: transport phenomena）は、輸送ゆそう現象げんしょう論ろん、移動いどう速度そくど論ろんとも呼よばれ、物質ぶっしつ（成分せいぶん）、熱ねつ、運動うんどう量りょうなどの物理ぶつり量りょうが移動いどうする現象げんしょうを扱あつかう工学こうがくの一いち分野ぶんやである。

歴史れきし

流体りゅうたい中ちゅうにおける運動うんどう量りょう、熱ねつおよび物質ぶっしつの移動いどう現象げんしょうについては、それぞれの分野ぶんやでデータの蓄積ちくせきを中心ちゅうしんに個別こべつ的てきかつ経験けいけん的てきに発展はってんしてきたが、それらがいずれも類似るいじの基本きほん法則ほうそくに支配しはいされることに着目ちゃくもくし、共通きょうつうの視点してんから取とり扱あつかう新あたらしい工学こうがく体系たいけいとして提案ていあんしたのはBird (1960)であった。

移動いどう現象げんしょうを表あらわす方程式ほうていしき

移動いどう現象げんしょうは物理ぶつり学がくや化学かがくのさまざまな分野ぶんやで現あらわれ、その法則ほうそくも類似るいじしている。一般いっぱんに、物理ぶつり量りょうの空間くうかん勾配こうばいを駆動くどう力りょくにして、それに比例ひれいした大おおきさの流ながれ束たば（単位たんい時間じかん、単位たんい面積めんせき当あたりに移動いどうする物理ぶつり量りょう）が生しょうじるという形かたちになっている。このときの比例ひれい係数けいすうを一般いっぱんに輸送ゆそう係数けいすうとよぶ。

各かく現象げんしょうの名称めいしょうについては、熱ねつ交換こうかん、物質ぶっしつ交換こうかんなどのように、「移動いどう」を「交換こうかん」と呼よび換かえることがある。

運動うんどう量りょう移動いどう

流体りゅうたい力学りきがくの分野ぶんやのニュートンの粘性ねんせいの法則ほうそくによると、せん断だん応力おうりょく（運動うんどう量りょう流りゅう束たば）τたう_xy はせん断だん速度そくど（速度そくどv_x の勾配こうばい）に比例ひれいする：

$\tau _{xy}=-\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}.$

比例ひれい係数けいすうμみゅーは粘性ねんせい係数けいすうと呼よばれる。

熱ねつ移動いどう

伝つて熱ねつ工学こうがくの分野ぶんやのフーリエの法則ほうそくによると、熱ねつ流りゅう束たばq は温度おんどT の勾配こうばいに比例ひれいする：

$q=-\lambda {\frac {\partial T}{\partial y}}.$

比例ひれい係数けいすうλらむだ は熱ねつ伝導でんどう率りつと呼よばれる。

物質ぶっしつ移動いどう

拡散かくさんに関かんするフィックの拡散かくさんの（第だい一いち）法則ほうそくによると、質量しつりょう流りゅう束たばj は濃度のうどc の勾配こうばいに比例ひれいする：

$j=-D{\frac {\partial c}{\partial y}}.$

比例ひれい係数けいすうD は拡散かくさん係数けいすうと呼よばれる。

電荷でんか移動いどう

電磁気でんじき学がくにおける電気でんき伝導でんどうによると、電流でんりゅう密度みつど（電荷でんかの流りゅう束たば）J は電界でんかいE （電位でんいV の勾配こうばい）に比例ひれいする：

$J=\sigma E=-\sigma {\frac {\partial V}{\partial x}}.$

比例ひれい係数けいすうσしぐま は電気でんき伝導でんどう率りつと呼よばれる。

拡散かくさん現象げんしょうを表あらわす方程式ほうていしき

それぞれの物理ぶつり量りょうに対応たいおうする保存ほぞん則そくから、物理ぶつり量りょうの時間じかん変化へんかは流ながれ束たばの発散はっさんで表あらわされる。上記じょうきの各かく例れいについてこのことを定式ていしき化かすると、以下いかの拡散かくさん方程式ほうていしきで表あらわされる。

運動うんどう量りょうの拡散かくさん

$\rho {\frac {\partial v_{x}}{\partial t}}=\mu \left({\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial y^{2}}}\right)$

熱ねつ拡散かくさん（熱ねつ伝導でんどう方程式ほうていしき）

$\rho c_{\mathrm {p} }{\frac {\partial T}{\partial t}}=\lambda {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}$

物質ぶっしつ拡散かくさん（フィックの拡散かくさんの第だい二に法則ほうそく）

${\frac {\partial c}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}$

電荷でんかの拡散かくさん

電荷でんか保存ほぞん則そくから電荷でんか（または電位でんい）の拡散かくさん方程式ほうていしきが導みちびかれる可能かのう性せいがあるが、そのような方程式ほうていしきは未いまだ知しられていない。

磁場じばの拡散かくさん

磁気じき流体りゅうたい力学りきがくにおいては、拡散かくさん方程式ほうていしきに類似るいじする次つぎの方程式ほうていしきがある。これは誘導ゆうどう方程式ほうていしきと呼よばれる。

${\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}={\frac {1}{\mu \sigma }}\nabla ^{2}{\boldsymbol {B}}+\operatorname {rot} ({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})$

ここでB は磁束じそく密度みつど、μみゅーは透とおる磁率、σしぐまは導しるべ電でん率りつ、1/(μみゅーσしぐま)は磁気じき拡散かくさん係数けいすう、v は速度そくどである。

無む次元じげん数すうによる比較ひかく

上記じょうきの各かく移動いどう現象げんしょうは同時どうじに起おこることも多おおく、各かく流りゅう束たばの大おおきさの比較ひかくが重要じゅうようになることがある。粘性ねんせい係数けいすうは動どう粘性ねんせい係数けいすうνにゅーで、熱ねつ伝導でんどう率りつは熱ねつ拡散かくさん率りつαあるふぁ で考かんがえると（拡散かくさん係数けいすうはそのままでよい）全すべて単位たんいがm²/sとなる。そのため、それぞれの値ねの比ひをとった無む次元じげん数すうを調しらべることにより、大おおきさの比較ひかくをすることができる。

• 動どう粘性ねんせいと熱ねつ拡散かくさん率りつの比ひをプラントル数すうという。
• 動どう粘性ねんせいと物質ぶっしつ拡散かくさんの比ひをシュミット数すうという。
• 熱ねつ拡散かくさんと物質ぶっしつ拡散かくさんの比ひをルイス数すうという。

アナロジー

• 運動うんどう量りょう移動いどうについて、移動いどう方向ほうこうに流ながれがある場合ばあいの運動うんどう量りょう流りゅう束たばτたう_f は抵抗ていこう係数けいすうf を用もちいてτたう_f = -fρろーv_x²/2 で表あらわすことができる。これと流ながれがない場合ばあいの流りゅう束たばとの比ひは次つぎ式しきのように抵抗ていこう係数けいすうとレイノルズ数すうで表あらわされる。

  ${\frac {-f\rho v_{x}^{2}/2}{-\mu v_{x}/y}}={\frac {fRe_{y}}{2}}$

• 熱ねつ移動いどうについて、流ながれがある場合ばあいの熱ねつ流りゅう束たばq_f は熱ねつ伝達でんたつ率りつh を用もちいてq_f = -hΔでるたT であるから、流ながれがない場合ばあいの熱ねつ流りゅう束たばとの比ひはヌセルト数すうNu またはスタントン数すうSt で表あらわされる。

  ${\frac {-h\Delta T}{-\lambda \Delta T/\Delta y}}=Nu=St\,Re\,Pr$

• 物質ぶっしつ移動いどうについても同様どうようにして、流ながれがある場合ばあいとない場合ばあいの質量しつりょう流りゅう束たばの比ひはシャーウッド数すうSh で表あらわされる。

上記じょうきにおける運動うんどう量りょう流りゅう束たばの比ひと熱ねつ流りゅう束たばの比ひは同おなじ流ながれでは等ひとしいとすることで各種かくしゅの相関そうかん式しきが提案ていあんされている。熱ねつ流りゅう束たばを質量しつりょう流りゅう束たばに置おき換かえて作つくった相関そうかん式しきも成なり立たつ。

レイノルズのアナロジー（en:Reynolds analogy）

レイノルズは、さらにヌセルト数すうがプラントル数すうにも比例ひれいすると考かんがえ次じ式しきを導みちびいた。この式しきはプラントル数すうが1の場合ばあい、実験じっけん的てきに成なり立たつ。

$Nu={\frac {f}{2}}Re_{y}Pr$ または $St={\frac {f}{2}}$

プラントル・テイラーのアナロジー

レイノルズのアナロジーに対たいしてプラントル数すうが1から外はずれた場合ばあいに、粘性ねんせい底そこ層そうを考慮こうりょしてプラントルが提案ていあんした。粘性ねんせい底そこ層そうを実際じっさいより厚あつく見積みつもるため熱ねつ伝達でんたつは過小かしょう評価ひょうかされている。

• 平板へいばんに沿そった流ながれについて $St_{x}={\frac {f_{x}}{2}}{\frac {1}{1+2.11Re_{x}^{-0.1}(Pr-1)}}$
• 管内かんない流りゅうについて $St={\frac {f}{2}}{\frac {f}{1+1.99Re^{-0.125}(Pr-1)}},\quad f={\frac {T_{\mathrm {w} }-T_{\mathrm {c} }}{T_{\mathrm {w} }-T_{\mathrm {m} }}}{\frac {u_{\mathrm {m} }}{u_{\mathrm {c} }}}$

ここでT は温度おんど、u は流速りゅうそく、添そえ字じのwは壁面へきめん、mは平均へいきん値ち、cは管かん軸じく上じょうを表あらわす。

カルマンのアナロジー

プラントル・テイラーのアナロジーからさらに、粘性ねんせい底そこ層そうと乱らん流りゅう層そうの間あいだの遷移せんい層そうを考慮こうりょしたアナロジー式しき。Pr = 0.5～10で実験じっけん値ちとよく一致いっちする。ベルタら、マルチネリによって拡張かくちょうされ、カルマン・ベルタ・マルチネリのアナロジーとも呼よばれる。

コルバーンのアナロジー

等温とうおん円えん管内かんないの発達はったつした乱らん流りゅう熱ねつ伝達でんたつの実験じっけん結果けっかに基もとづいた経験けいけん式しき。j_H はコルバーンのj因子いんしと呼よばれる。平板へいばんの乱らん流りゅう熱ねつ伝達でんたつについても成なり立たつ。

$j_{\mathrm {H} }\equiv StPr^{2/3}={\frac {f}{2}}$

マルチネリのアナロジー

低ていプラントル数すうPr = 0.004～0.06 の液体えきたい金属きんぞくについて、熱ねつ流りゅう束たば一いち様ようの円えん管かんで用もちいられる。

リョンの式しき

マルチネリのアナロジーは数式すうしきが複雑ふくざつなため提案ていあんされた簡便かんべんな式しき。

$Nu_{d}=7+0.025(PrRe_{d})^{0.8},\quad Pr<0.1,\quad 10^{2}<PrRe_{d}<10^{6}$

Subbotinの式しき

リョンの式しきと同様どうよう、マルチネリのアナロジーの簡便かんべん化かされた式しきだが、清浄せいじょうな液体えきたい金属きんぞくの実験じっけん値ちによく合あうと言いわれる。

$Nu_{d}=5+0.025(PrRe_{d})^{0.8}$

チルトン・コルバーンのアナロジー（en:Chilton and Colburn J-factor analogy）

熱ねつ移動いどうと物質ぶっしつ移動いどうのアナロジーを表あらわす相関そうかん式しき。hは熱ねつ伝達でんたつ率りつ、kは物質ぶっしつ移動いどう係数けいすう、Scはシュミット数すう。たとえば空気くうき-水蒸気すいじょうき系けいでは$Sc/Pr\simeq 0.62/0.7\simeq 1$であるためルイスの関係かんけいが成なり立たつ。

${\frac {h}{k}}=c_{p}\left({\frac {Sc}{Pr}}\right)^{\frac {2}{3}}$

参考さんこう文献ぶんけん

• 相原あいはら利雄としお『エスプレッソ伝でん熱ねつ工学こうがく』裳も華はな房ぼう、2009年ねん、80頁ぺーじ。ISBN 978-4-7853-6023-8。 

関連かんれん項目こうもく

• 物質ぶっしつ移動いどう
• 気体きたい分子ぶんし運動うんどう論ろん