ベクトル空間くうかん

数学すうがく、特とくに線型せんけい代数だいすう学がくにおけるベクトル空間くうかん（ベクトルくうかん、英えい: vector space）、または、線型せんけい空間くうかん（せんけいくうかん、英えい: linear space）は、ベクトル（英えい: vector）と呼よばれる元もとからなる集あつまりの成なす数学すうがく的てき構造こうぞうである。

ベクトルには和わが定義ていぎされ、またスカラーと呼よばれる数かずによる積せき（スカラー乗法じょうほう）を行おこなえる。スカラーは実数じっすうとすることも多おおいが、複素数ふくそすうや有理数ゆうりすうあるいは一般いっぱんの可か換かわ体からだの元もとによるスカラー乗法じょうほうを持もつベクトル空間くうかんもある。ベクトルの和わとスカラー乗法じょうほうの演算えんざんは、「ベクトル空間くうかんの公理こうり」と呼よばれる特定とくていの条件じょうけん（#定義ていぎ節ふしを参照さんしょう）を満足まんぞくするものでなければならない。ベクトル空間くうかんの一ひとつの例れいは、力ちからのような物理ぶつり量りょうを表現ひょうげんするのに用もちいられる空間くうかんベクトルの全体ぜんたいである（同おなじ種類しゅるいの任意にんいの二ふたつの力ちからは、加くわえ合あわせて力ちからの合成ごうせいと呼よばれる第だい三さんの力ちからのベクトルを与あたえる。また、力ちからのベクトルを実じつ数すう倍ばいしたものはまた別べつの力ちからのベクトルを表あらわす）。同おなじ調子ちょうしで、平面へいめんや空間くうかんでの変位へんいを表あらわすベクトルの全体ぜんたいもやはりベクトル空間くうかんを成なす。

ベクトル空間くうかんは線型せんけい代数だいすう学がくにおける主題しゅだいであり、ベクトル空間くうかんはその次元じげん（大雑把おおざっぱにいえばその空間くうかんの独立どくりつな方向ほうこうの数かずを決きめるもの）によって特徴とくちょうづけられる。ベクトル空間くうかんは、さらにノルムや内積ないせきなどの追加ついかの構造こうぞうを持もつこともあり、そのようなベクトル空間くうかんは解析かいせき学がくにおいて主おもに関数かんすうをベクトルとする無限むげん次元じげんの関数かんすう空間くうかんの形かたちで自然しぜんに生しょうじてくる。解析かいせき学がく的てきな問題もんだいでは、ベクトルの列れつが与あたえられたベクトルに収束しゅうそくするか否ひかを決定けっていすることもできなければならないが、これはベクトル空そら傍はた間あいだに追加ついかの構造こうぞうを考かんがえることで実現じつげんされる。そのような空間くうかんのほとんどは適当てきとうな位相いそう空間くうかんを備そなえており、それによって近傍きんぼうや連続れんぞくといったことを考かんがえることができる。こういた線型せんけい位相いそう空間くうかん、特とくにバナッハ空間くうかんやヒルベルト空間くうかんについては、豊ゆたかな理論りろんが存在そんざいする。

歴史れきし的てきな視点してんでは、ベクトル空間くうかんの概念がいねんの萌芽ほうがは17世紀せいきの解析かいせき幾何きか学がく、行列ぎょうれつ、線型せんけい方程式ほうていしき系けいの理論りろん、ベクトルの概念がいねんなどにまで遡さかのぼれる。現代げんだい的てきな、より抽象ちゅうしょう的てきな取扱とりあつかいが初はじめて定式ていしき化かされるのは、19世紀せいき後半こうはん、ペアノによるもので、それはユークリッド空間くうかんよりも一般いっぱんの対象たいしょうが範疇はんちゅうに含ふくまれるものであったが、理論りろんの大半たいはんは（直線ちょくせんや平面へいめんあるいはそれらの高こう次元じげんでの対応たいおう物ぶつといったような）古典こてん的てきな幾何きか学がく的てき概念がいねんを拡張かくちょうすることに割さかれていた。

今日きょうでは、ベクトル空間くうかんは数学すうがくのみならず科学かがくや工学こうがくにおいても広ひろく応用おうようされる。ベクトル空間くうかんは線型せんけい方程式ほうていしき系けいを扱あつかうための適当てきとうな概念がいねんであり、例たとえば画像がぞう圧縮あっしゅくルーチンで使つかわれるフーリエ級数きゅうすうのための枠組わくぐみを提示ていじしたり、あるいは偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの解法かいほうに用もちいることのできる環境かんきょうを提供ていきょうする。さらには、テンソルのような幾何きか学がく的てきおよび物理ぶつり学がく的てきな対象たいしょうを、抽象ちゅうしょう的てきに座標ざひょうに依よらない (英えい: coordinate-free) で扱あつかう方法ほうほうを与あたえてくれるので、そこからさらに線型せんけい化かの手法しゅほうを用もちいて、多様たよう体たいの局所きょくしょ的てき性質せいしつを説明せつめいすることもできるようになる。

ベクトル空間くうかんの概念がいねんは様々さまざまな方法ほうほうで一般いっぱん化かされ、幾何きか学がくや抽象ちゅうしょう代だい数学すうがくのより進すすんだ概念がいねんが導みちびかれる。

導入どうにゅう

ベクトル空間くうかんの概念がいねんについて、特定とくていの二ふたつの場合ばあいを例れいにとって簡単かんたんに内容ないようを説明せつめいする。

平面へいめん上じょうの有向ゆうこう線分せんぶん

ベクトル空間くうかんの簡単かんたんな例れいは、一ひとつの平面へいめん上うえの固定こていした点てんを始点してんとする矢印やじるし（有向ゆうこう線分せんぶん）全すべての成なす集合しゅうごうで与あたえられる。これは物理ぶつり学がくで力ちからや速度そくどなどを記述きじゅつするのにもつかわれる。そのような有向ゆうこう線分せんぶん v と w が与あたえられたとき、その二ふたつの有向ゆうこう線分せんぶんが張はる平行四辺形へいこうしへんけいにはその対角線たいかくせんにもう一ひとつ、原点げんてんを始点してんとする有向ゆうこう線分せんぶんが含ふくまれる。この新あたらしい有向ゆうこう線分せんぶんを、二ふたつの有向ゆうこう線分せんぶんの和わ v + w と呼よぶ。もう一ひとつの演算えんざんは有向ゆうこう線分せんぶんを伸のび縮ちぢみ（スケール因子いんし）させるもので、任意にんいの正せいの実数じっすう a が与あたえられたとき、v と向むきは同おなじで長ながさだけを a の分ぶんだけ拡大かくだい (英えい: dilate) または縮小しゅくしょう (英えい: shrink) した有向ゆうこう線分せんぶんを、v の a-倍ばい av と言いう。a が負まけのときは av を今度こんどは逆ぎゃく方向ほうこうに伸のび縮ちぢみさせることで同様どうように定さだめる。

いくつか実際じっさいに図示ずしすれば、例たとえば a = 2 のとき、得えられるベクトル aw は w と同どう方向ほうこうで長ながさが w の二に倍ばいのベクトル (下図したず、右みぎの赤あか) であり、この 2w は和わ w + w とも等ひとしい。さらに (−1)v = −v は v と同おなじ長ながさで向むきだけが v と逆ぎゃくになる (下図したず、右みぎの青あお)。

数かずの順序じゅんじょ対たい

もう一ひとつ重要じゅうような例れいは、実数じっすう x, y の対たいによって与あたえられる（x と y の対たいは並ならべる順番じゅんばんが重要じゅうようであり、そのような対たいを順序じゅんじょ対たいという）。この対たいを (x, y) と書かく。そのような対たいふたつの和わおよび実じつ数すう倍ばいは

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

および

a (x, y) = (ax, ay)

で定義ていぎされる。

定義ていぎ

集合しゅうごう V が、その上うえの二に項こう演算えんざん + と、体からだ F の V への作用さよう ◦ をもち、これらが任意にんいの u, v, w ∈ V; a, b ∈ Fに関かんして次つぎの公理系こうりけいを満みたすとき、三さん組くみ (V, +, ◦) は「体からだ F 上うえのベクトル空間くうかん」と定義ていぎされる。

公理こうり	条件じょうけん
加法かほうの結合けつごう律りつ	${\boldsymbol {u}}+({\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {w}})=({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})+{\boldsymbol {w}}$
加法かほうの可か換かわ律りつ	${\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {u}}$
加法かほう単位たんい元もとの存在そんざい	零れいベクトル ${\boldsymbol {0}}\in V$ が存在そんざいして、任意にんいの ${\boldsymbol {v}}\in V$ に対たいして ${\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {v}}$ を満みたす。
加法かほう逆ぎゃく元もとの存在そんざい	任意にんいのベクトル ${\boldsymbol {v}}\in V$ に対たいし、その加法かほう逆ぎゃく元もと $-{\boldsymbol {v}}\in V$ が存在そんざいして、${\boldsymbol {v}}+(-{\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {0}}$ となる。
加法かほうに対たいするスカラー乗法じょうほうの分配ぶんぱい律りつ	$a({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}})=a{\boldsymbol {u}}+a{\boldsymbol {v}}$
体からだの加法かほうに対たいするスカラー乗法じょうほうの分配ぶんぱい律りつ	$(a+b){\boldsymbol {v}}=a{\boldsymbol {v}}+b{\boldsymbol {v}}$
体からだの乗法じょうほうとスカラーの乗法じょうほうの両立りょうりつ条件じょうけん	$a(b{\boldsymbol {v}})=(ab){\boldsymbol {v}}$
スカラーの乗法じょうほうの単位たんい元もとの存在そんざい	$1{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}$ （左辺さへんの 1 は F の乗法じょうほう単位たんい元もと）

ベクトル空間くうかんの要素ようそはそれぞれ次じのように呼よばれる。

• 体からだ F: 係数けいすう体たい (英えい: coefficient field, scalar field)
• V の元もと: ベクトル (英えい: vector)
• F の元もと: スカラー (英えい: scalar) あるいは 係数けいすう (英えい: coefficient)
• 二に項こう演算えんざん +: V × V → V; (v, w) ↦ v + w: 加法かほう
• 作用さよう ◦: F × V → V; (a, v) ↦ av: スカラー乗法じょうほう
• 公理系こうりけい: ベクトル空間くうかんの公理こうり系けい

導入どうにゅう節ぶしでは始点してんを固定こていした有向ゆうこう平面へいめん線分せんぶんの全体ぜんたいや実数じっすうの順序じゅんじょ対たいの全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうをベクトル空間くうかんの例れいとして挙あげたが、これらはともに実数じっすう体たい（実数じっすう全体ぜんたいからなる体からだ）上じょうのベクトル空間くうかんである。公理系こうりけいはこのようなベクトルの性質せいしつを一般いっぱん化かしたものである。実際じっさい、二に番目ばんめの例れいで二ふたつの順序じゅんじょ対たいの和わは、和わをとる順番じゅんばんに依よらず

(x_v, y_v) + (x_w, y_w) = (x_w, y_w) + (x_v, y_v)

を満みたす。有向ゆうこう線分せんぶんの例れいでも v + w = w + v となることは、和わを定義ていぎする平行四辺形へいこうしへんけいが和わの順番じゅんばんに依存いぞんしないことから言いえる。他たの公理こうりも同様どうようの方法ほうほうで満みたすことがどちらの例れいについてもいえる。故ゆえに、特定とくていの種類しゅるいのベクトルが持もつ具体ぐたい的てきな特質とくしつというものは無視むしして、この定義ていぎによって、先さきの二ふたつあるいはもっとほかの例れいもひっくるめて、ベクトル空間くうかんという一ひとつの概念がいねんとして扱あつかうのである。

ベクトル空間くうかんは係数けいすう体たいの種類しゅるいに基もとづき次じのように呼よばれる：

• 実じつベクトル空間くうかん (英えい: real vector space)：実数じっすう体からだ R
• 複素ふくそベクトル空間くうかん (英えい: complex vector space)：複素数ふくそすう体からだ C
• F-ベクトル空間くうかん (英えい: F-vector space)、F上うえのベクトル空間くうかん (英えい: vector space over F)：任意にんいの体からだ F

体からだというのは本質ほんしつ的てきに、四則しそく演算えんざんが自由じゆうにできる数かずの集合しゅうごうである。例たとえば有理数ゆうりすうの全体ぜんたい Q もまた体からだを成なす。

平面へいめんやより高次こうじの空間くうかんにおけるベクトルには、直観ちょっかん的てきに、近ちかさや角度かくどや距離きょりという概念がいねんが存在そんざいする。しかし、一般いっぱん的てきなベクトル空間くうかんにおいてはそれらの概念がいねんは不要ふようであり、実際じっさい、そういうものが存在そんざいしないベクトル空間くうかんもある。これらの概念がいねんは、一般いっぱん的てきなベクトル空間くうかんに追加ついか的てきに定義ていぎされる構造こうぞうである (#付加ふか構造こうぞうを備そなえたベクトル空間くうかん)。

別べつな定式ていしき化かと初等しょとう的てきな帰結きけつ

ベクトルの加法かほうやスカラー乗法じょうほうは（二に項こう演算えんざんの定義ていぎによって）閉性と呼よばれる性質せいしつを満みたすものとなる（つまり V の各かく元もと u, v および F の各かく元もと a に対たいして u + v および av が必かならず V に属ぞくする）。これをベクトル空間くうかんの公理こうりに独立どくりつした条件じょうけんとして加くわえている文献ぶんけんもある。

抽象ちゅうしょう代だい数学すうがくの言葉ことばで言いえば、先さきの公理系こうりけいの最初さいしょの四よっつは「ベクトルの全体ぜんたいが加法かほうに関かんしてアーベル群ぐんを成なす」という条件じょうけんにまとめられる。残のこりの条件じょうけんは「この群ぐんが F 上うえの加か群ぐんとなる」という条件じょうけんにまとめられる。あるいはこれを「体からだ F からベクトル全体ぜんたいの成なす群ぐんの自己じこ準じゅん同型どうけい環たまきへの環かん準じゅん同型どうけい f が存在そんざいすること」とい換いかえることもできる。この場合ばあいスカラー乗法じょうほうは av ≔ (f(a))(v) で定さだめられる。

ベクトル空間くうかんの公理系こうりけいから直接的ちょくせつてきに分わかることがいくつかある。それらのうちのいくつかは群論ぐんろんをベクトル全体ぜんたいの成なす加法かほう群ぐんに適用てきようすることで得えられる。例たとえば V の零れいベクトル 0 や各かく元もと v に加法かほう逆ぎゃく元もと −v が一意いちいに存在そんざいすることなどはそれである。その方法ほうほうで得えられない性質せいしつは分配ぶんぱい法則ほうそくから来くるもので、例たとえば av = 0 ⇔ a = 0 または v = 0 などがそうである。

歴史れきし

ベクトル空間くうかんは、平面へいめんや空間くうかんに座標ざひょう系けいを導入どうにゅうすることを通つうじて、アフィン空間くうかんから生しょうじる。1636年ねんごろ、ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーは、二に変数へんすうの方程式ほうていしきの解かいと平面へいめん曲線きょくせん上うえの点てんとを等化とうかして、解析かいせき幾何きか学がくを発見はっけんした。座標ざひょうを用もちいない幾何きか学がく的てきな解かいに到達とうたつするために、ベルナルト・ボルツァーノは1804年ねんに、点てん同士どうしおよび点てんと直線ちょくせんの間あいだの演算えんざんを導入どうにゅうした。これはベクトルの前身ぜんしんとなる概念がいねんである。ボルツァーノの研究けんきゅうはアウグスト・フェルディナント・メビウスが1827年ねんに提唱ていしょうした重心じゅうしん座標ざひょう系けい (英えい: barycentric coordinates) の概念がいねんを用もちいて構築こうちくされたものであった。ベクトルの定義ていぎの基礎きそとなったのは、ジュスト・ベラヴィティスの双そう点てん (英えい: bipoint) の概念がいねんで、これは一方いっぽうの端点たんてんを始点してん、他方たほうの端点たんてんを終点しゅうてんとする有向ゆうこう線分せんぶんである。ベクトルは、ジャン＝ロベール・アルガンとウィリアム・ローワン・ハミルトンにより複素数ふくそすうの表現ひょうげんとして見直みなおされ、後ごの四よん元げん数すうや双そう四よん元げん数すうの概念がいねんへと繋つながっていく。これらの数かずはそれぞれ R², R⁴, R⁸ の元もとであり、これらに対たいする線型せんけい結合けつごうを用もちいた取扱とりあつかいは、1867年ねんのエドモンド・ラゲール（彼かれは線型せんけい方程式ほうていしき系けいも定義ていぎした）まで遡さかのぼれる。

1857年ねんにアーサー・ケイリーは、線型せんけい写像しゃぞうとよく馴染なじみ記述きじゅつを簡素かんそ化かできる、行列ぎょうれつを導入どうにゅうした。同おなじ頃ごろ、ヘルマン・グラスマンはメビウスの「重心じゅうしん計算けいさん」 (英えい: the barycentric calculus) を研究けんきゅうしていて、算法さんぽうを伴ともなう抽象ちゅうしょう的てき対象たいしょうの成なす集合しゅうごうを構想こうそうしていた。グラスマンの研究けんきゅうには、線型せんけい独立どくりつや次元じげんあるいはドット積せきなどの概念がいねんが含ふくまれている。実際じっさい、グラスマンは1844年ねんに、考案こうあんした乗法じょうほうを以ってベクトル空間くうかんの枠組わくぐみを推おし進すすめ、今日きょうでは「体からだ上じょうの多元たげん環たまき」と呼よばれる概念がいねんに到達とうたつしている。ジュゼッペ・ペアノはベクトル空間くうかんと線型せんけい写像しゃぞうの現代げんだい的てきな定義ていぎを与あたえた最初さいしょの人ひとで、それは1888年ねんのことである。

ベクトル空間くうかんの重要じゅうような発展はってんがアンリ・ルベーグによる函数かんすう空間くうかんの構成こうせいによって起おこり、後ごの1920年ねんごろにステファン・バナフとダフィット・ヒルベルトによって定式ていしき化かされた。その当時とうじ、代数だいすう学がくと新あたらしい研究けんきゅう分野ぶんやであった関数かんすう解析かいせき学がくとが相互そうごに影響えいきょうし始はじめ、 p-乗の可か積分せきぶん函数かんすうの空間くうかん L^p やヒルベルト空間くうかんなどの重要じゅうような概念がいねんが生うみ出だされることとなる。そうして無限むげん次元じげんの場合ばあいをも含ふくむベクトル空間くうかんの概念がいねんは堅かたく確立かくりつされたものとなり、多おおくの数学すうがく分野ぶんやにおいて用もちいられ始はじめた。

例れい

数かずベクトル空間くうかん

体からだ F 上うえのベクトル空間くうかんのもっとも簡単かんたんな例れいは体からだ F 自身じしん（に、その標準ひょうじゅん的てきな加法かほうと乗法じょうほうを考かんがえたもの）である。これはふつう Fⁿ と書かかれる数かずベクトル空間くうかん (英えい: coordinate space ) の n = 1 の場合ばあいである。この数すうベクトル空間くうかんの元もとは n（長ながさ n の数列すうれつ）:

$(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})$

で、各かく a_i が F の元もとであるようなものである。F = R かつ n = 2 の場合ばあいが上記じょうきの#導入どうにゅう節ふしで論ろんじたものとなる。

体からだの拡大かくだい

複素数ふくそすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう C, つまり実数じっすう x, y を用もちいて x + iy の形かたちに表あらわすことができる数かず（ただし、${\textstyle i={\sqrt {-1}}}$ は虚数きょすう単位たんい）の全体ぜんたいは、x, y, a, b, c は何いずれも実数じっすうであるものとして、通常つうじょうの和わ (x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b) と実じつ数すう倍ばい c(x + iy) = (cx) + i(cy) によって、実数じっすう体たい上じょうのベクトル空間くうかんになる（ベクトル空間くうかんの公理こうりは複素数ふくそすうの算術さんじゅつが同おなじ規則きそくを満足まんぞくするという事実じじつから従したがう）。

実じつは、この複素数ふくそすう体たいの例れいは本質ほんしつ的てきには（つまり、同型どうけいの意味いみで）導入どうにゅう節ぶしに挙あげた実数じっすうの順序じゅんじょ対たいの成なすベクトル空間くうかんの例れいと同おなじものである。即すなわち、複素数ふくそすう x + iy を複素ふくそ平面へいめん において順序じゅんじょ対たい (x, y) を表あらわすものと考かんがえると、複素数ふくそすう体たいにおける和わとスカラーとの積せきの規則きそくが、先さきの例れいのそれらに対応たいおうすることが理解りかいされる。

より一般いっぱんに、代数だいすう学がくおよび代数だいすう的てき整数せいすう論ろんにおける体からだの拡大かくだいは、ベクトル空間くうかんの例れいの一類いちるいを与あたえる。即すなわち、体からだ F を部分ぶぶん体たいとして含ふくむ体からだ E は、E における加法かほうと F の元もとの E における乗法じょうほうとに関かんして F-ベクトル空間くうかんになる。例たとえば、複素数ふくそすう体たいは R 上うえのベクトル空間くうかんであり、拡大かくだい体たい ${\textstyle \mathbf {Q} ({\sqrt {5}})}$ は Q 上うえのベクトル空間くうかんである。特とくに数かず論ろん的てきに意味いみのある例れいは、有理数ゆうりすう体たい Q に一ひとつの代数だいすう的てき複素数ふくそすう αあるふぁ を添加てんかする拡大かくだい（代数だいすう体たい）Q(αあるふぁ) である（Q(αあるふぁ) は Q と αあるふぁ とを含ふくむ最小さいしょうの体からだになる）。

函数かんすう空間くうかん

任意にんいの一ひとつの集合しゅうごう Ωおめが から体からだ F への函数かんすう全体ぜんたいもまた、よくある点てんごとの和わとスカラー倍ばいによって、ベクトル空間くうかんを成なす。即すなわち、二ふたつの函数かんすう f, g の和わ (f + g) は

$(f+g)(w)=f(w)+g(w)$

で定義ていぎされる函数かんすうであり、スカラー倍ばいも同様どうようである。そのような函数かんすう空間くうかんは多おおくの幾何きか学がく的てき状況じょうきょうで生しょうじる。例たとえば Ωおめが が実数じっすう直線ちょくせん R やその区間くかんあるいは R の他ほかの部分ぶぶん集合しゅうごうなどのときである。位相いそう空間くうかん論ろんや解析かいせき学がくにおける多おおくの概念がいねん、例たとえば連続れんぞく性せい、可か積分せきぶん性せいや可か微分びぶん性せいなどは、線型せんけい性せいに関かんしてよく振ふる舞まう。即すなわち、そのような性質せいしつを満みたす函数かんすうの加算かさんやスカラー倍ばいもまた同おなじ性質せいしつを持もつ。従したがって、そのような函数かんすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうもまたそれぞれベクトル空間くうかんを成なす。これら函数かんすう空間くうかんは、函数かんすう解析かいせき学がくの方法ほうほうを用もちいてかなり詳くわしく調しらべられている（#付加ふか構造こうぞうを備そなえたベクトル空間くうかん節ふしを参照さんしょう）。代数だいすう学がく的てきな制約せいやくからもベクトル空間くうかんを得えることができる。ベクトル空間くうかん F[x] は多項式たこうしき函数かんすう

$f(x)=r_{0}+r_{1}x+\dotsb +r_{n-1}x^{n-1}+r_{n}x^{n}$

（ただし各かく係数けいすう r₀, ..., r_n は F の元もと）の全体ぜんたいによって与あたえられる。

線型せんけい方程式ほうていしきの解かい空間くうかん

詳細しょうさいは「線型せんけい方程式ほうていしき」、「線型せんけい微分びぶん方程式ほうていしき」、および「線型せんけい方程式ほうていしき系けい」を参照さんしょう

斉ひとし次じ線型せんけい方程式ほうていしき系けいはベクトル空間くうかんと近ちかしい関係かんけいにある。例たとえば方程式ほうていしき系けい

a	+	3b	+	c	= 0
4a	+	2b	+	2c	= 0

の解かいの全体ぜんたいは、任意にんいの a に対たいして a, b = a/2, c = −5a/2 の三みっつ組ぐみとして与あたえられる。これらの三みつ組ぐみの成分せいぶんごとの加算かさんとスカラー倍ばいはやはり同おなじ比ひを持もつ三みっつの変数へんすうの組くみであるから、これも解かいとなり、解かいの全体ぜんたいはベクトル空間くうかんを成なす。行列ぎょうれつを使つかえば上記じょうきの複数ふくすうの線型せんけい方程式ほうていしきを簡略かんりゃく化かして一ひとつのベクトル方程式ほうていしき、つまり

$A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}},\quad A={\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}$

にすることができる。ここで A は与あたえられた方程式ほうていしきの係数けいすうを含ふくむ行列ぎょうれつ、x はベクトル (a, b, c) であり、Ax は行列ぎょうれつの乗法じょうほうを、0 = (0, 0) は零れいベクトルをそれぞれ意味いみする。同様どうようの文脈ぶんみゃくで、斉ひとし次じの線型せんけい微分びぶん方程式ほうていしきの解かいの全体ぜんたいもまたベクトル空間くうかんを成なす。例たとえば、

$f''(x)+2f'(x)+f(x)=0$

(1)

を解とけば、a, b を任意にんいの定数ていすうとして f(x) = ae^−x + bxe^−x が得えられる。ただし e^x は指数しすう函数かんすうである。

クラス

ベクトル空間くうかんはいくつかのクラスに分類ぶんるいできる。

• 有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかん（有限ゆうげんベクトル空間くうかん）: 有限ゆうげん個このベクトルの組くみで生成せいせいされる、あるいは {0} である、ベクトル空間くうかん
• 無限むげん次元じげんベクトル空間くうかん: 有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかんの定義ていぎを満みたさないベクトル空間くうかん

基底きていと次元じげん

詳細しょうさいは「基底きてい」および「次元じげん」を参照さんしょう

R² のベクトル v (青あお) を異ことなる基底きていによって表あらわしたもの： R² の標準ひょうじゅん基底きていによる v = xe₁ + ye₂ (黒くろ) と別べつの斜はす交基底そこによる v = f₁ + f₂ (赤あか)

基底きていは簡明かんめいな方法ほうほうでベクトル空間くうかんの構造こうぞうを明あきらかにする。基底きていとは、適当てきとうな添字そえじ集合しゅうごうで添字そえじ付つけられたベクトルの（有限ゆうげんまたは無限むげん）集合しゅうごう B = {v_i}_{i ∈ I} であって、それが全体ぜんたい空間くうかんを張はるもののうちで極小きょくしょうとなるものを言いう。この条件じょうけんは、任意にんいのベクトル v が、基底きてい元もとの有限ゆうげん線型せんけい結合けつごう

$v=a_{1}{\boldsymbol {v}}_{i_{1}}+a_{2}{\boldsymbol {v}}_{i_{2}}+\dotsb +a_{n}{\boldsymbol {v}}_{i_{n}}$

（a_k がスカラーで v_ik が基底きてい B の元もと (k = 1, ..., n)）として表あらわされることを意味いみし、また極小きょくしょう性せいは B が線型せんけい独立どくりつ性せいを持もつようにするためのものである。ここでベクトルの集合しゅうごうが線型せんけい独立どくりつであるというのは、その何いずれの元もとも残のこりの元もとの線型せんけい結合けつごうとして表あらわされることがないときに言いい、これはまた方程式ほうていしき

$a_{1}{\boldsymbol {v}}_{i_{1}}+a_{2}{\boldsymbol {v}}_{i_{2}}+\dotsb +a_{n}{\boldsymbol {v}}_{i_{n}}={\boldsymbol {0}}$

が満みたされるのが、全すべてのスカラー a₁, ..., a_n が零れいに等ひとしい場合ばあいに限かぎると言いっても同おなじことである。基底きていの線型せんけい独立どくりつ性せいは、V の任意にんいのベクトルが基底きていベクトルによる表示ひょうじ（そのような表示ひょうじができることは基底きていが全体ぜんたい空間くうかん V を張はることから保証ほしょうされている）が一意いちいであることを保証ほしょうする。このことは、基底きていベクトルを R³ における基本きほんベクトル x, y, z や高こう次元じげんの場合ばあいの同様どうようの対象たいしょうを一般いっぱん化かするものと見みることによって、ベクトル空間くうかんの観点かんてんでの座標ざひょう付づけとして述のべることができる。

基本きほんベクトル e₁ = (1, 0, ..., 0), e₂ = (0, 1, 0, ..., 0), ..., e_n = (0, 0, ..., 0, 1) は Fⁿ の標準ひょうじゅん基底きていと呼よばれる基底きていを成なす。これは任意にんいのベクトル (x₁, x₂, ..., x_n) がこれらのベクトルの線型せんけい結合けつごうとして一意的いちいてきに

${\begin{aligned}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})&=x_{1}(1,0,\dotsc ,0)+x_{2}(0,1,0,\dotsc ,0)+\dotsb +x_{n}(0,\dotsc ,0,1)\\&=x_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+x_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+\dotsb +x_{n}{\boldsymbol {e}}_{n}\end{aligned}}$

と表あらわされることによる。

任意にんいのベクトル空間くうかんが基底きていを持もつことが、ツォルンの補題ほだいから従したがう。従したがって、ツェルメロ＝フレンケル集合しゅうごう論ろんの公理こうりが与あたえられていれば、任意にんいのベクトル空間くうかんにおける基底きていの存在そんざい性せいは選択せんたく公理こうりと同値どうちになる。また選択せんたく公理こうりよりも弱よわい超ちょうフィルター補題ほだいから、与あたえられた一ひとつのベクトル空間くうかん V において任意にんいの基底きていが同おなじ数すうの元もと（あるいは濃度のうど）を持もつことが示しめされ（ベクトル空間くうかんの次元じげん定理ていり）、その濃度のうどをベクトル空間くうかん V の次元じげん dim V と呼よぶ。有限ゆうげん個このベクトルで張はられる空間くうかんの場合ばあいであれば、上記じょうきの主張しゅちょうは集合しゅうごう論ろん的てきな基礎きそ付づけを抜ぬきにしても示しめせる。

数かずベクトル空間くうかん Fⁿ は、すでに示しめした基底きていによってその次元じげんが n であることがわかる。#函数かんすう空間くうかん節ふしで述のべた多項式たこうしき環たまき F[x] の次元じげんは可算かさん集合しゅうごう（基底きていの一ひとつは 1, x, x², … で与あたえられる）であり、ある（有界ゆうかいまたは非ひ有界ゆうかいな）区間くかん上じょうの函数かんすう全体ぜんたいの成なす空間くうかんなど、もっと一般いっぱんの函数かんすう空間くうかんの次元じげんは当然とうぜん無限むげん大だいになる。現あらわれる係数けいすうに対たいして適当てきとうな正則せいそく性せい条件じょうけんを課かすものとして、斉ひとし次つぎ常微分じょうびぶん方程式ほうていしきの解かい空間くうかんの次元じげんはその方程式ほうていしきの階数かいすうに等ひとしい。例たとえば、式しき(1)の解かい空間くうかんは e^−x と xe^−x で生成せいせいされ、これら二ふたつの函数かんすうは R 上うえ線型せんけい独立どくりつであるから、この空間くうかんの次元じげんは 2 で、方程式ほうていしきの階数かいすう 2 と一致いっちする。

有理数ゆうりすう体たい Q 上うえの拡大かくだい体たい Q(αあるふぁ) の次元じげんは αあるふぁ に依存いぞんして決きまる。αあるふぁ が有理数ゆうりすう係数けいすうの代数だいすう方程式ほうていしき

$q_{n}\alpha ^{n}+q_{n-1}\alpha ^{n-1}+\dotsb +q_{0}=0$

を満足まんぞくする、すなわち αあるふぁ が代数だいすう的てき数すうであるとき、次元じげんは有限ゆうげんである。より正確せいかくには、その次元じげんは αあるふぁ を根ねに持もつ最小さいしょう多項式たこうしきの次数じすうに等ひとしい。例たとえば、複素数ふくそすう体たい C は実じつ二に次元じげんのベクトル空間くうかんで、1 と虚数きょすう単位たんい i で生成せいせいされる。後者こうしゃは二に次じの方程式ほうていしき i² + 1 = 0 を満足まんぞくするから、このことからも C が二に次元じげん R-ベクトル空間くうかんであることが言いえる（また、任意にんいの体からだがそうだが、C 自身じしんの上うえのベクトル空間くうかんとして C は一いち次元じげんである）。 他方たほう、αあるふぁ が代数だいすう的てきでないならば、Q(αあるふぁ) の Q 上うえの次元じげんは無限むげん大だいである。例たとえば αあるふぁ = πぱい とすれば、πぱい を根ねとする代数だいすう方程式ほうていしきは存在そんざいしない（別べつない方いかたをすれば、πぱい は超越ちょうえつ数すうである）。

線型せんけい写像しゃぞうと行列ぎょうれつ

線型せんけい写像しゃぞう

詳細しょうさいは「線型せんけい写像しゃぞう」を参照さんしょう

二ふたつのベクトル空間くうかんの間あいだの関係かんけい性せいは線型せんけい写像しゃぞうあるいは線型せんけい変換へんかんによって表あらわすことができる。これは、ベクトル空間くうかんの構造こうぞうを反映はんえいした写像しゃぞう、即すなわち任意にんいの x, y ∈ V と任意にんいの a ∈ F に対たいして

$f({\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {y}})=f({\boldsymbol {x}})+f({\boldsymbol {y}}),\quad f(a{\boldsymbol {x}})=af({\boldsymbol {x}})$

を満みたすという意味いみで和わとスカラーとの積せきを保たもつものである。

同型どうけい写像しゃぞうとは、線型せんけい写像しゃぞう f: V → W で逆ぎゃく写像しゃぞう g: W → V, 即すなわち写像しゃぞうの合成ごうせい (f ◦ g): W → W および (g ◦ f): V → V がともに恒等こうとう写像しゃぞうとなるものが存在そんざいするものを言いう。同おなじことだが、f は一対一いちたいいち（単たん射い）かつ上うえへの（全ぜん射い）線型せんけい写像しゃぞうである。V と W の間あいだに同型どうけい写像しゃぞうが存在そんざいするとき、これらは互たがいに同型どうけいであるという。このとき、V において成なり立たつ任意にんいの関係かんけい式しきが f を通つうじて W における関係かんけい式しきに写うつされ、また逆ぎゃくも g を通つうじて行おこなえるという意味いみで、これら本質ほんしつ的てきに同おなじベクトル空間くうかんと見み做すことができる。

矢印やじるしベクトル v をその座標ざひょう x と y で記述きじゅつすることはベクトル空間くうかんの同型どうけいである

例たとえば、「平面へいめん上じょうの有向ゆうこう線分せんぶん（矢印やじるし）」の成なすベクトル空間くうかんと「数かずの順序じゅんじょ対たい」の成なすベクトル空間くうかんは同型どうけいである。つまり、ある（固定こていされた）座標ざひょうの原点げんてんを始点してんとする平面へいめん上じょうの有向ゆうこう線分せんぶんは、図ずに示しめすように、線分せんぶんの x-成分せいぶんと y-成分せいぶんを考かんがえることにより、順序じゅんじょ対たいとして表あらわすことができる。逆ぎゃくに順序じゅんじょ対たい (x, y) が与あたえられてとき、x だけ右みぎに（x が負まけのときは |x| だけ左ひだりに）行いって、かつ y だけ上うえに（y が負まけのときは |y| だけ下したに）行いく有向ゆうこう線分せんぶんとして v が得えられる。

固定こていされたベクトル空間くうかんの間あいだの線型せんけい写像しゃぞう V → W の全体ぜんたいは、それ自体じたいが線型せんけい空間くうかんを成なし、Hom_F(V, W) や L(V, W) などで表あらわされる。V から係数けいすう体たい F への線型せんけい写像しゃぞう全体ぜんたいの成なす空間くうかんは、V の双対そうついベクトル空間くうかん V^∗ と呼よばれる。自然しぜん変換へんかん V → V^∗∗ を通つうじて、任意にんいのベクトル空間くうかんはその二に重じゅう双対そうついへ埋うめ込こむことができる。この写像しゃぞうが同型どうけいとなるのは空間くうかんが有限ゆうげん次元じげんのときであり、かつその時ときに限かぎる。

V の基底きていを一ひとつ選えらぶと、V の任意にんいの元もとは基底きていベクトルの線型せんけい結合けつごうとして一意的いちいてきに表あらわされるから、線型せんけい写像しゃぞう f: V → W は基底きていベクトルの行いき先さきを決きめることで完全かんぜんに決定けっていされる。 dim V = dim W ならば、V と W の基底きていを固定こていするとき、その間あいだの全ぜん単たん射しゃから V の各かく基底きてい元もとを W の対応たいおうする基底きてい元もとへ写うつすような線型せんけい写像しゃぞうが生しょうじるが、これは定義ていぎにより同型どうけい写像しゃぞうとなる。従したがって、二ふたつのベクトル空間くうかんが同型どうけいとなるのは、それらの次元じげんが一致いっちするときであり、逆ぎゃくもまた成なり立たつ。これは、別べつない方いかたをすれば、任意にんいのベクトル空間くうかんはその次元じげんにより（違ちがいを除のぞいて）「完全かんぜんに分類ぶんるいされている」ということである。特とくに任意にんいの n-次元じげん F-ベクトル空間くうかん V は Fⁿ に同型どうけいである。しかし、「標準ひょうじゅん的てき」あるいはあらかじめ用意よういされた同型どうけいというものは存在そんざいしない。実際じっさいの同型どうけい φふぁい: Fⁿ → V は、Fⁿ の標準ひょうじゅん基底きていを V に φふぁい で写うつすことにより、V を選えらぶことと等価とうかである。適当てきとうな基底きていを選えらぶ自由じゆう度どがあることは、無限むげん次元じげんの場合ばあいの文脈ぶんみゃくで特とくに有効ゆうこうである（後述こうじゅつ）。

行列ぎょうれつ

典型てんけい的てきな行列ぎょうれつ

詳細しょうさいは「行列ぎょうれつ」および「行列ぎょうれつ式しき」を参照さんしょう

行列ぎょうれつ (英えい: matrix ) は線型せんけい写像しゃぞうの情報じょうほうを記述きじゅつするのに有効ゆうこうな概念がいねんである。行列ぎょうれつは、図ずのように、スカラーの矩形くけい配列はいれつとして書かかれる。任意にんいの m × n 行列ぎょうれつ A は Fⁿ から F^m への線型せんけい写像しゃぞうを

${\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})\mapsto {\biggl (}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\dotsc ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}{\biggr )}$

として生しょうじる（∑ は総和そうわを表あらわす）。これはまた行列ぎょうれつ A と座標ざひょうベクトル x との行列ぎょうれつの乗法じょうほうを用もちいて

x ↦ Ax

と書かくこともできる。さらに言いえば、V と W の基底きていを選えらぶことで、任意にんいの線型せんけい写像しゃぞう f: V → W は同様どうようの方法ほうほうで行列ぎょうれつによって一意的いちいてきに表あらわされる。

この平行へいこう六面体ろくめんたいの体積たいせきはベクトル r₁, r₂, r₃ の成なす 3 × 3 行列ぎょうれつの行列ぎょうれつ式しきの絶対ぜったい値ちに一致いっちする。

正方まさかた行列ぎょうれつ A の行列ぎょうれつ式しき det (A) は、A に対応たいおうする線型せんけい写像しゃぞうが同型どうけいか否ひかを測はかるスカラーである（同型どうけいとなるには、行列ぎょうれつ式しきの値ねが 0 でないことが必要ひつようかつ十分じゅうぶんである）。n × n 実じつ行列ぎょうれつに対応たいおうする Rⁿ の線型せんけい変換へんかんが向むきを保たもつには、その行列ぎょうれつ式しきが正せいとなることが必要ひつよう十分じゅうぶんである。

固有値こゆうち・固有こゆうベクトル

詳細しょうさいは「固有値こゆうちと固有こゆうベクトル」を参照さんしょう

自己じこ準じゅん同型どうけい、即すなわち線型せんけい写像しゃぞう f: V → V は、この場合ばあいベクトル v とその f による像ぞう f(v) とを比較ひかくすることができるから、特とくに重要じゅうようである。

任意にんいの零れいでないベクトル v が、スカラー λらむだ に対たいして λらむだv = f(v) を満足まんぞくするとき、これを f の固有値こゆうち (英えい: eigenvalue ) λらむだ に属ぞくする固有こゆうベクトル (英えい: eigenvector ) という。同おなじことだが、固有こゆうベクトル v は差さ f − λらむだ · Id の核かくの元もとである（ここで Id は恒等こうとう写像しゃぞう V → V）。V が有限ゆうげん次元じげんならば、これは行列ぎょうれつ式しきを使つかってい換いかえることができる。つまり、f が固有値こゆうち λらむだ を持もつことは

$\det(f-\lambda \cdot \operatorname {Id} )=0$

となることと同値どうちである。行列ぎょうれつ式しきの定義ていぎを書かき下くだすことにより、この式しきの左辺さへんは λらむだ を変数へんすうとする多項式たこうしきと見みることができて、これを f の固有こゆう多項式たこうしきと呼よぶ。係数けいすう体たい F がこの多項式たこうしきの根ねを含ふくむ程度ていどに大おおきい（F = C のように、F が代数だいすう的てき閉体ならばこの条件じょうけんは自動的じどうてきに満みたされる）ならば任意にんいの線型せんけい写像しゃぞうは少すくなくとも一ひとつの固有こゆうベクトルを持もつ。

ベクトル空間くうかん V は固有こゆう基底きてい（固有こゆうベクトルからなる基底きてい）を持もつかもしれないし持もたないかもしれないが、それがどちらであるかは写像しゃぞうのジョルダン標準ひょうじゅん形がたによって制御せいぎょされる。f の特定とくていの固有値こゆうち λらむだ に属ぞくする固有こゆうベクトル全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうは、固有値こゆうち λらむだ（と f）に対応たいおうする固有こゆう空間くうかんと呼よばれるベクトル空間くうかんを成なす。無限むげん次元じげんの場合ばあいの対応たいおうする主張しゅちょうであるスペクトル定理ていりに達たっするには、函数かんすう解析かいせき学がくの道具立どうぐだてが必要ひつようである。

基本きほん的てきな構成こうせい法ほう

上記じょうき具体ぐたい例れいに加くわえて、与あたえられたベクトル空間くうかんから別べつのベクトル空間くうかんを得える標準ひょうじゅん的てきな線型せんけい代数だいすう学がく的てき構成こうせいがいくつか存在そんざいする。それらは以下いかに述のべる定義ていぎに加くわえて普遍ふへん性せいと呼よばれる、線型せんけい空間くうかん X を X から他たの任意にんいの線型せんけい空間くうかんへの線型せんけい写像しゃぞうによって特定とくていすることができるという性質せいしつによっても特徴とくちょうづけられる。

部分ぶぶん空間くうかんと商しょう空間くうかん

詳細しょうさいは「部分ぶぶん線型せんけい空間くうかん」および「商しょう線型せんけい空間くうかん」を参照さんしょう

R³ の原点げんてんを通とおる直線ちょくせん (青あお細ほそ) は線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんである。これは二ふたつの平面へいめん (緑みどり、黄き) の交まじわりである。

ベクトル空間くうかん V の空そらでない部分ぶぶん集合しゅうごう W が加法かほうとスカラー乗法じょうほうの下したで閉とじている（従したがってまた、V の零れいベクトルを含ふくむ）ならば、V の部分ぶぶん空間くうかんであるという。V の部分ぶぶん空間くうかんは、それ自体じたいが（同おなじ体たい上じょうの）ベクトル空間くうかんを成なす。ベクトルからなる集合しゅうごう S に対たいして、それを含ふくむ部分ぶぶん空間くうかんすべての交まじわりは S の線型せんけい包つつみ合ごう S を含ふくむ最小さいしょうの V の部分ぶぶん空間くうかんを成なす。属ぞくする元もとの言葉ことばで言いえば、S の張はる空間くうかんは S の元もとの線型せんけい結合けつごう全体ぜんたいの成なす部分ぶぶん空間くうかんである。

部分ぶぶん空間くうかんに相対そうたいする概念がいねんとして、商しょう空間くうかんがある。任意にんいの部分ぶぶん空間くうかん W ⊂ V に対たいして、（「V を W で割わった」）商しょう空間くうかん V/W は以下いかのように定義ていぎされる。 まず集合しゅうごうとして V/W は、v を V の任意にんいのベクトルとして v + W = {v + w  |  w ∈ W} なる形かたちの集合しゅうごう全すべてからなる。その二ふたつの元もと v₁ + W および v₂ + W の和わは (v₁ + v₂) + W で、またスカラー倍ばいの積せきは a(v + W) = (av) + W で与あたえられる。この定義ていぎの鍵かぎは v₁ + W = v₂ + W となる同値どうちが v₁ と v₂ との差さが W に入はいることである。この方法ほうほうで商しょう空間くうかんは、部分ぶぶん空間くうかん W に含ふくまれる情報じょうほうを「忘却ぼうきゃく」したものとなる。

線型せんけい写像しゃぞう f: V → W の核かく ker(f) は W の零れいベクトル 0 へ写うつされるベクトル v からなる。核かくおよび像ぞう im(f) = {f(v)  |  v ∈ V} はともにそれぞれ V および W の部分ぶぶん空間くうかんである。核かくと像ぞうの存在そんざいは（固定こていした体からだ F）上じょうの加か群ぐんの圏けんがアーベル圏けん（つまり、数学すうがく的てき対象たいしょうとそれらの間あいだの構造こうぞうを保たもつ写像しゃぞうの集あつまり、即すなわち圏けん、であってアーベル群ぐんの圏けんと非常ひじょうによく似にた振ふる舞まいをするもの）を成なすことの要件ようけんの一部いちぶである。これにより、同型どうけい定理ていり（線型せんけい代数だいすう学がく的てきない方いかたをすれば階数かいすう・退化たいか次数じすうの定理ていり）

$V/{\ker(f)}\cong \operatorname {im} (f)$

や第だい二に、第だい三さんの同型どうけい定理ていりが群論ぐんろんにおける相当そうとうの定理ていりと同様どうような仕方しかたできちんと定式ていしき化かと証明しょうめいをすることができる。

重要じゅうような例れいは、適当てきとうに固定こていした行列ぎょうれつ A に対たいする線型せんけい写像しゃぞう x ↦ Ax の核かくである。この写像しゃぞうの核かくは Ax = 0 を満みたすベクトル x 全体ぜんたいの成なす部分ぶぶん空間くうかんであり、これは A に属ぞくする斉ひとし次じ線型せんけい方程式ほうていしき系けいの解かい空間くうかんに他たならない。この考かんがえ方かたは線型せんけい微分びぶん方程式ほうていしき

$a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0$

（各かく係数けいすう a_i も x の函数かんすう）に対たいしても拡張かくちょうできる。対応たいおうする線型せんけい写像しゃぞう

$f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}$

は函数かんすう f の導しるべ函数かんすうが（例たとえば f′′(x)² のような項こうが現あらわれないという意味いみで）線型せんけいに現あらわれている。微分びぶんは線型せんけいである（即すなわち (f + g)′ = f′ + g′ および定数ていすう c について (cf)′ = cf′ が成なり立たつ）から、上記じょうき作用素さようその値ねも線型せんけいである（線型せんけい微分びぶん作用素さようそと言いう）。特とくに、この微分びぶん方程式ほうていしき D(f) = 0 の解かいの全体ぜんたいは（R または C 上うえの）ベクトル空間くうかんとなる。

直積ちょくせきと直和なおかず

詳細しょうさいは「直積ちょくせき線型せんけい空間くうかん」および「加か群ぐんの直和なおかず」を参照さんしょう

${\textstyle I}$ で添字そえじ付つけられたベクトル空間くうかんの族ぞく ${\textstyle V_{i}}$ の直積ちょくせき ${\textstyle \prod _{i\in I}V_{i}}$とは、順序じゅんじょ組ぐみ ${\textstyle ({\boldsymbol {v}}_{i})_{i\in I}=({\boldsymbol {v}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{2},\dotsc )\quad ({\boldsymbol {v}}_{i}\in V_{i})}$ 全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうに、加法かほうとスカラー乗法じょうほうを成分せいぶんごとの演算えんざんによって定さだめたものである。この構成こうせいの変種へんしゅとして、直和なおかず ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$（あるいは余よ積せき ${\textstyle \coprod _{i\in I}V_{i}}$）は先さきの順序じゅんじょ組ぐみにおいて有限ゆうげん個この例外れいがいを除のぞく全すべての成分せいぶんが零れいベクトルであるようなものだけを許ゆるして得えられるものである。添字そえじ集合しゅうごう ${\textstyle I}$ が有限ゆうげんならばこの二ふたつの構成こうせいは一致いっちするが、そうでないならば違ちがうものを与あたえる。

テンソル積せき

詳細しょうさいは「テンソル積せき」を参照さんしょう

同おなじ体たい F 上うえの二ふたつのベクトル空間くうかん V と W のテンソル積せき (英えい: tensor product ) V ⊗_F W あるいは単たんに V ⊗ W は、線型せんけい写像しゃぞうを多た変数へんすうにするような概念がいねんの拡張かくちょうを扱あつかう多重たじゅう線型せんけい代数だいすうにおける中心ちゅうしん的てきな概念がいねんのひとつである。写像しゃぞう g: V × W → X; (v, w) ↦ g(v, w) が双そう線型せんけい写像しゃぞうであるとは、g が両りょう変数へんすう v, w の何いずれについても線型せんけいであることを言いう。これはつまり、w を固定こていしたとき写像しゃぞう v ↦ g(v, w) が線型せんけいであり、かつ v を固定こていした時ときも同様どうようであることを意味いみする。

テンソル積せきは以下いかのような意味いみで、双そう線型せんけい写像しゃぞうを普遍ふへん的てきに受うけ入いれる特別とくべつのベクトル空間くうかんである。それはテンソルと呼よばれる記号きごうの（形式けいしき的てきな）有限ゆうげん和わ

${\boldsymbol {v}}_{1}\otimes {\boldsymbol {w}}_{1}+{\boldsymbol {v}}_{2}\otimes {\boldsymbol {w}}_{2}+\dotsb +{\boldsymbol {v}}_{n}\otimes {\boldsymbol {w}}_{n}$

の全体ぜんたいからなる線型せんけい空間くうかんで、これらの元もとは a をスカラーとして

$a({\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}})=(a{\boldsymbol {v}})\otimes {\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {v}}\otimes (a{\boldsymbol {w}})$

${\boldsymbol {v}}_{1}+{\boldsymbol {v}}_{2}\otimes {\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {v}}_{1}\otimes {\boldsymbol {w}}+{\boldsymbol {v}}_{2}\otimes {\boldsymbol {w}}$

${\boldsymbol {v}}\otimes ({\boldsymbol {w}}_{1}+{\boldsymbol {w}}_{2})={\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}_{1}+{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}_{2}$

なる規則きそくで縛しばられている。

テンソル積せきの普遍ふへん性せいを表あらわす可か換かわ図式ずしき

これらの規則きそくは、写像しゃぞう f: V × W → V ⊗ W; (v, w) ↦ v ⊗ w が双そう線型せんけいとなることを保証ほしょうするものである。テンソル積せきの普遍ふへん性せいとは

任意にんいのベクトル空間くうかん X と任意にんいの双そう線型せんけい写像しゃぞう g: V × W → X が与あたえられたとき、写像しゃぞう u: V ⊗ W → X が一意的いちいてきに存在そんざいして、上記じょうきの写像しゃぞう f との合成ごうせい u ◦ f が g に等ひとしくなるようにすることができる ( u(v ⊗ w) = g(v, w) )

というものである。テンソル積せきの普遍ふへん性せいは対象たいしょうを、その対象たいしょうからの、あるいはその対象たいしょうへの写像しゃぞうによって間接かんせつ的てきに定義ていぎするという（進すすんだ抽象ちゅうしょう代数だいすう学がくではよく用もちいられる）手法しゅほうの一いち例れいである。

付加ふか構造こうぞうを備そなえたベクトル空間くうかん

線型せんけい代数だいすう学がくの観点かんてんからは、任意にんいのベクトル空間くうかんが（同型どうけいを除のぞいて）その次元じげんによって特徴とくちょうづけられるという意味いみで、ベクトル空間くうかんについては完全かんぜんに分わかっている。しかしベクトル空間くうかんというものは「本質ほんしつ的てきに」、函はこ数列すうれつが別べつの函数かんすうに収束しゅうそくするか否ひかという（解析かいせき学がくでは重要じゅうような）問題もんだいについて取とり扱あつかう枠組わくぐみを提供ていきょうしていないし、同様どうように加法かほう演算えんざんが有限ゆうげん項こうの和わのみを許ゆるす線型せんけい代数だいすう学がくでは無限むげん級数きゅうすうを扱あつかうのには適当てきとうでない。従したがって、函数かんすう解析かいせき学がくではベクトル空間くうかんに更さらなる構造こうぞうを考かんがえる必要ひつようが求もとめられる。ほとんど同様どうように、付加ふか的てきな情報じょうほうを持もつベクトル空間くうかんが有効ゆうこうに働はたらく部分ぶぶんを抽象ちゅうしょう的てきに見みつけだすことで、公理こうり的てき取扱とりあつかいからベクトル空間くうかんの持もつ代数だいすう学がく的てきに本質ほんしつ的てきな特徴とくちょうを浮うき彫ぼりにすることができる。

付加ふか構造こうぞうの一ひとつの例れいは、順序じゅんじょ集合しゅうごう ≤ で、これによりベクトルの比較ひかくが行おこなえるようになる。例たとえば、実みのる n-次元じげん空間くうかん Rⁿ は、ベクトルを成分せいぶんごとに比較ひかくすることで順序じゅんじょづけることができる。また、ルベーグ積分せきぶんは函数かんすうを二ふたつの正せい値ね函数かんすうの差さ

$f=f^{+}-f^{-}$

として（f⁺ は f の正せい部分ぶぶんで f⁻ は負ふ部分ぶぶん）表あらわすことができることに依拠いきょしているから、順序じゅんじょ線型せんけい空間くうかん（例たとえばリース空間くうかん）はルベーグ積分せきぶんにおいて基本きほん的てきである。

ノルム空間くうかんおよび内積ないせき空間くうかん

詳細しょうさいは「ノルム線型せんけい空間くうかん」および「計量けいりょうベクトル空間くうかん」を参照さんしょう

ベクトルの「測度そくど」は、ベクトルの長ながさを測はかるノルムや、ベクトルの間あいだの角かくを測はかる内積ないせきを決きめることによって与あたえられる。ノルムが定義ていぎされたベクトル空間くうかんをノルム空間くうかんとよび、ノルムを |v| のように表あらわす。内積ないせきが定義ていぎされたベクトル空間くうかんを内積ないせき空間くうかんと呼よび、 内積ないせきは⟨v, w⟩ のように表あらわす。内積ないせき空間くうかんは付随ふずいするノルム

$|{\boldsymbol {v}}|:={\sqrt {\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}}\rangle }}$

を持もつ。

数かずベクトル空間くうかん Fⁿ は標準ひょうじゅん内積ないせき

${\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {y}}=x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n}$

を備そなえている。これは R² においてよくある二ふたつのベクトル x, y の成なす角かく θしーた の概念がいねんを余弦よげん定理ていり

${\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {y}}={\mathopen {|}}{\boldsymbol {x}}{\mathclose {|}}{\mathopen {|}}{\boldsymbol {y}}{\mathclose {|}}\cos(\theta )$

によって反映はんえいするものである。これにより、x · y = 0 を満みたす二ふたつのベクトル x, y は互たがいに直交ちょっこうすると言いわれる。この標準ひょうじゅん内積ないせきの重要じゅうような変形へんけい版ばんとして、ミンコフスキー空間くうかん R⁴ = R^3,1 はローレンツ積つもる

$\langle {\boldsymbol {x}}\mid {\boldsymbol {y}}\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}$

を備そなえる。標準ひょうじゅん内積ないせきとの大おおきな違ちがいは、ローレンツ積つもるが正せい定値ていちでないこと、つまり ⟨x|x⟩ は負まけの値ねを取とり得える（例たとえば x = (0,0,0,1) のとき）ことである。（三みっつの空間くうかん的てきな座標ざひょうとは異ことなり、時間じかんに対応たいおうする）第だい四よんの座標ざひょうを考かんがえることは特殊とくしゅ相対性理論そうたいせいりろんの数学すうがく的てき取扱とりあつかいにおいて有効ゆうこうである。

線型せんけい位相いそう空間くうかん

詳細しょうさいは「線型せんけい位相いそう空間くうかん」を参照さんしょう

収束しゅうそく性せいの問題もんだいは、ベクトル空間くうかん V に両立りょうりつする位相いそう（近ちかさを記述きじゅつすることを可能かのうにする構造こうぞう）を入いれることによって扱あつかわれる。。 ここでいう「両立りょうりつ」とは、加法かほうとスカラー乗法じょうほうがともに連続れんぞく写像しゃぞうとなるという意味いみで、大雑把おおざっぱに言いえば、x, y ∈ V と a ∈ F が限かぎられた範囲はんいの中なかにあれば、x + y と ax も限かぎられた範囲はんいに留とまるということである。スカラーについてこの議論ぎろんがきちんと意味いみを持もつようにするためには、この文脈ぶんみゃくにおいて体からだ F にも位相いそうが定さだめられていなければならない。よく用もちいられるのが実数じっすう体たいや複素数ふくそすう体たいである。

このような線型せんけい位相いそう空間くうかんではベクトル項こう級数きゅうすうを考かんがえることができて、V の元もとからなる列れつ (f_i)_{i ∈ N} の無限むげん和わ

$\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}$

とは、対応たいおうする有限ゆうげん部分ぶぶん和わの極限きょくげんを表あらわすものである。例たとえば f_i が、ある（実じつまたは複素ふくそ）函数かんすう空間くうかんに属ぞくする函数かんすうであるとすると、この場合ばあいの級数きゅうすうは函数かんすう項こう級数きゅうすうと呼よばれる。函数かんすう項こう級数きゅうすうの収束しゅうそくの様態ようたいは、函数かんすう空間くうかんに課かされた位相いそうに依存いぞんする。そのような様態ようたいの中なかでも各かく点てん収束しゅうそくと一様いちよう収束しゅうそくの二ふたつは特とくに際立きわだった例れいである。

R² の「単位たんい球面きゅうめん」はノルム 1 の平面へいめんベクトルからなる。図ずは、異ことなる p-ノルムに関かんする単位たんい球面きゅうめんを p = 1, 2, ∞ の場合ばあいに描えがいたもの。また大おおきな菱形ひしがたは 1-ノルムが √2 に等ひとしいような点てんを描えがいたものである。

ある種しゅの無限むげん級数きゅうすうの極限きょくげんの存在そんざいを保証ほしょうする方法ほうほうの一ひとつは、考かんがえる空間くうかんを任意にんいのコーシー列れつが収束しゅうそくするようなものに限かぎって考かんがえることである。そのようなベクトル空間くうかんは完備かんび距離きょり空間くうかんであるという。大おおまかに言いえば、ベクトル空間くうかんが完備かんびというのは必要ひつような極限きょくげんをすべて含ふくむということである。例たとえば単位たんい区間くかん [0, 1] 上うえの多項式たこうしき函数かんすう全体ぜんたいの成なすベクトル空間くうかんに一様いちよう収束しゅうそく位相いそうを入いれたものは完備かんびでない。これは [0, 1] 上うえの任意にんいの連続れんぞく函数かんすうが、多項式たこうしき函はこ数列すうれつで一様いちように近似きんじすることができるというストーン＝ワイエルシュトラスの定理ていりによる。対照たいしょう的てきに、区間くかん [0, 1] 上うえの連続れんぞく函数かんすう全体ぜんたいの成なす空間くうかんに同おなじ位相いそうを入いれたものは完備かんびになる。ノルムからは、ベクトル列れつ v_n が v に収束しゅうそくする必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけんを

$\lim _{n\to \infty }|{\boldsymbol {v}}_{n}-{\boldsymbol {v}}|=0$

で定さだめることによって、空間くうかんに位相いそうが入はいる。バナッハ空間くうかんおよびヒルベルト空間くうかんは、それぞれノルムおよび内積ないせきから定さだまる位相いそうに関かんして完備かんびな位相いそう空間くうかんである。函数かんすう解析かいせき学がくで重要じゅうようになるそれらの研究けんきゅうは、有限ゆうげん次元じげん位相いそう線型せんけい空間くうかん上じょうのノルムはどれも同おなじ収束しゅうそく性せいの概念がいねんを定さだめるから、無限むげん次元じげんベクトル空間くうかんに焦点しょうてんがあてられる。図ずは R² 上うえの 1 ノルムと ∞ ノルムとの同値どうち性せいを示しめすものである。単位たんい「球体きゅうたい」は互たがいに他たに囲かこまれているから、列れつが 1 ノルムに関かんして 0 に収束しゅうそくすることと、その列れつが ∞ ノルムに関かんして収束しゅうそくすることとが同値どうちになる。しかし無限むげん次元じげん空間くうかんの場合ばあいには、一般いっぱんには互たがいに同値どうちでないような位相いそうが存在そんざいしおり、そのことが位相いそう線型せんけい空間くうかんの研究けんきゅうを、付加ふか構造こうぞうを持もたない純じゅん代数だいすう的てきなベクトル空間くうかんの理論りろんよりも豊ゆたかなものとしているのである。

概念的がいねんてきな観点かんてんでは、位相いそう線型せんけい空間くうかんに関かんする全すべての概念がいねんは位相いそうとうまく合あうものでなければならない。例たとえば、位相いそう線型せんけい空間くうかんの間あいだの線型せんけい写像しゃぞう（あるいは線型せんけい汎ひろし函数かんすう）V → W は連続れんぞくであるものと仮定かていされる。特とくに、（位相いそう的てき）双対そうつい空間くうかん V^∗ は連続れんぞく汎ひろし函数かんすう V → R (or C) からなるものとする。基礎きそを成なすハーン-バナッハの定理ていりは、適当てきとうな位相いそう線型せんけい空間くうかんを連続れんぞく汎ひろし函数かんすうによって部分ぶぶん空間くうかんに分わけることに関係かんけいするものである。

バナッハ空間くうかん

詳細しょうさいは「バナッハ空間くうかん」を参照さんしょう

ステファン・バナフの導入どうにゅうしたバナッハ空間くうかんとは、完備かんびノルム空間くうかんのことである。一ひとつの例れいとして、$\ell ^{p}$ (1 ≤ p ≤ ∞) は、実数じっすうを成分せいぶんとする無限むげん次元じげんベクトル x = (x₁, x₂, ...) であって、p < ∞ に対たいして

$|{\boldsymbol {x}}|_{p}:={\biggl (}\sum _{i}|x_{i}|^{p}{\biggr )}^{1/p}$

または p = ∞ に対たいして

$|{\boldsymbol {x}}|_{\infty }:=\sup _{i}|x_{i}|$

で定義ていぎされる p-ノルムが有限ゆうげんとなるようなもの全体ぜんたいの成なすベクトル空間くうかんである。無限むげん次元じげん空間くうかん $\ell ^{p}$ の位相いそうは、異ことなる p に対たいしては同値どうちでない。例たとえばベクトルの列れつ x_n = (2⁻ⁿ, 2⁻ⁿ, ..., 2⁻ⁿ, 0, 0, ...), つまり各項かくこうが最初さいしょの 2ⁿ-個この成分せいぶんが 2⁻ⁿ で残のこりはすべて 0 となるような無限むげん次元じげんベクトルとなるようなベクトル列れつは p = ∞ のときは零れいベクトルに収束しゅうそくするが、p = 1 のときはそうならない。式しきにすれば

$|x_{n}|_{\infty }=\sup(2^{-n},0)=2^{-n}\to 0$

だが

$|x_{n}|_{1}=\sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^{n}\cdot 2^{-n}=1$

である。

実じつ数列すうれつよりも一般いっぱんの函数かんすう f : Ωおめが → R は、上記じょうきの和わのところをルベーグ積分せきぶんに置おき換かえた

$|f|_{p}:=\left(\int _{\Omega }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{p}\,dx\right)^{1/p}$

をノルムとして備そなえている。与あたえられた領域りょういき Ωおめが（例たとえば区間くかん）上じょうの |f|^p < ∞ を満足まんぞくする可か積分せきぶん函数かんすうの空間くうかんに、このノルムを入いれたものはルベーグ空間くうかん L^p(Ωおめが) と呼よばれる。ルベーグ空間くうかんは何いずれも完備かんびになる（が、もし上記じょうきの積分せきぶんをリーマン積分せきぶんとしたならば、空間くうかんは完備かんびにならない。これがルベーグ積分せきぶん論ろんを考かんがえることの正当せいとう性せいの一ひとつとして挙あげられる理由りゆうの一ひとつである）。具体ぐたい的てきに書かけば、任意にんいの可か積分せきぶん函はこ数列すうれつ f₁, f₂, ... で |f_n|_p < ∞ となるものが、条件じょうけん

$\lim _{k,\ n\to \infty }\int _{\Omega }{\bigl |}f_{k}(x)-f_{n}(x){\bigr |}^{p}\,dx=0$

を満足まんぞくするならば、適当てきとうな函数かんすう f(x) でベクトル空間くうかん L^p(Ωおめが) に属ぞくするものが存在そんざいして

$\lim _{k\to \infty }\int _{\Omega }{\bigl |}f(x)-f_{k}(x){\bigr |}^{p}\,dx=0$

を満みたすようにすることができる。

函数かんすう自体じたいだけでなくその導しるべ函数かんすうにも有界ゆうかい性せい条件じょうけんを課かすことでソボレフ空間くうかんの概念がいねんが導みちびかれる。

ヒルベルト空間くうかん

詳細しょうさいは「ヒルベルト空間くうかん」を参照さんしょう

正弦せいげん函数かんすう (赤あか) の有限ゆうげん和わによって、周期しゅうき函数かんすう (青あお) を近似きんじする様子ようすを、初はつ項こうから 5-項こうまでの和わを順じゅんに示しめすことによって示しめしたもの。

完備かんびな内積ないせき空間くうかんはダフィット・ヒルベルトに因ちなんでヒルベルト空間くうかん (英えい: Hilbert space) と呼よばれる。自乗じじょう可か積分せきぶん函数かんすうの空間くうかん L²(Ωおめが) に

$\langle f,g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx$

で定義ていぎされる内積ないせき（ただし g(x) は g(x) の複素ふくそ共役きょうやくとする）を入いれたものは主要しゅようなヒルベルト空間くうかんの例れいである。

定義ていぎによりヒルベルト空間くうかんにおける任意にんいのコーシー列れつは極限きょくげんを持もつから、逆ぎゃくに与あたえられた極限きょくげん函数かんすうを近似きんじするという適当てきとうな性質せいしつを持もつ函はこ数列すうれつ f_n を求もとめることが重要じゅうようになる。初期しょきの解析かいせき学がくでは、テイラー近似きんじの形かたちで可か微分びぶん函数かんすう f の多項式たこうしき列れつによる近似きんじが確立かくりつされた。ストーン＝ヴァイアシュトラスの定理ていりにより、[a, b] 上うえの任意にんいの連続れんぞく函数かんすうは適当てきとうな多項式たこうしき列れつによりいくらでも近ちかく近似きんじできる。三角さんかく関数かんすうを用もちいた同様どうようの近似きんじ法ほうは一般いっぱんにフーリエ展開てんかいと呼よばれ、工学こうがくにおいて広ひろく応用おうようされる（#フーリエ変換へんかん節ふしを参照さんしょう）。より一般いっぱんに、またより概念的がいねんてきに言いえば、これらの定理ていりは「基本きほん函数かんすう族ぞく」とは何なにであるかということを端的たんてきに記述きじゅつするものになっている。あるいは抽象ちゅうしょうヒルベルト空間くうかんにおいてどのような基本きほんベクトル族ぞくが、ヒルベルト空間くうかん H を位相いそう的てきに生成せいせいするに十分じゅうぶんであるかをいうものである。ここで、位相いそう的てきに生成せいせいする（あるいは単たんに生成せいせいする）とは、それらの位相いそう的てき線型せんけい包つつみと呼よばれる、線型せんけい包つつみの閉包へいほう（即すなわち、有限ゆうげん線型せんけい結合けつごうおよびその極限きょくげん）が、全体ぜんたい空間くうかんに一致いっちすることである。そのような函数かんすうの集合しゅうごうは H の基底きてい（あるいはヒルベルト基底きてい）と呼よばれ、基底きていの濃度のうどはヒルベルト空間くうかん H のヒルベルト次元じげんと呼よばれる。これらの定理ていりは適当てきとうな基底きてい函数かんすう族ぞくが近似きんじの目的もくてきで十分じゅうぶん性せいを示しめすことのみならず、グラム・シュミットの正規せいき直交ちょっこう化か法ほうを用もちいて正規せいき直交ちょっこう基底きていが得えられることも意味いみしている。そのような直交ちょっこう基底きていは、有限ゆうげん次元じげんユークリッド空間くうかんにおける座標軸ざひょうじくをヒルベルト空間くうかんに対たいして一般いっぱん化かしたものと考かんがえることができる。

様々さまざまな微分びぶん方程式ほうていしきに対たいして、その解かいをヒルベルト空間くうかんの言葉ことばで解釈かいしゃくすることができる。例たとえば物理ぶつり学がくや工学こうがくにおけるかなり多おおくの分野ぶんやでそのような方程式ほうていしきが導みちびかれ、特定とくていの物理ぶつり的てき性質せいしつを持もつ解かいが（しばしば直交ちょっこうする）基底きてい函数かんすう族ぞくとしてよく扱あつかわれる。物理ぶつり学がくからの例れいとして、量子力学りょうしりきがくにおける時間じかん依存いぞんシュレーディンガー方程式ほうていしきは、その解かいが波動はどう関数かんすうと呼よばれる偏へん微分びぶん方程式ほうていしきとして、物理ぶつり的てき性質せいしつの時間じかん的てきな変化へんかを記述きじゅつする。。エネルギーやモーメントのような物理ぶつり的てき性質せいしつに対たいする明確めいかくな値ねは、ある種しゅの線型せんけい微分びぶん作用素さようその固有値こゆうちとそれに属ぞくする固有こゆう状態じょうたいと呼よばれる波動はどう函数かんすうに対応たいおうする。スペクトル定理ていりは、函数かんすうに作用さようする線型せんけいコンパクト作用素さようそを、それらの固有値こゆうちと固有こゆう函数かんすうを用もちいて分解ぶんかいすることを述のべるものである。

体からだ上じょうの多元たげん環たまき

詳細しょうさいは「体からだ上じょうの多元たげん環たまき」および「リー環たまき」を参照さんしょう

方程式ほうていしき xy = 1 で与あたえられる双曲線そうきょくせん。この双曲線そうきょくせん上じょうの函数かんすうの座標ざひょう環たまきは R[x, y] / (xy − 1) で与あたえられ、R 上うえ無限むげん次元じげんのベクトル空間くうかんになる。

一般いっぱんのベクトル空間くうかんは、ベクトルの間あいだの乗法じょうほうを持もたない。二ふたつのベクトルの乗法じょうほうを定さだめる双そう線型せんけい写像しゃぞうを付加ふか的てきに備そなえたベクトル空間くうかんは、体からだ上じょうの多元たげん環たまきと言いう。主おもな多元たげん環たまきは、何なんらかの幾何きか学がく的てきな対象たいしょうの上うえの函数かんすうの空間くうかんから生しょうじる。体からだに値ねをとる函数かんすうは、点てんごとの乗法じょうほうを持もち、それら函数かんすうの全体ぜんたいが多元たげん環たまきを成なすのである。例たとえば、ストーン＝ヴァイアシュトラスの定理ていりは、バナッハ空間くうかんにも多元たげん環たまきにもなっているバナッハ環たまきにおいて成立せいりつする。

可か換かわ多元たげん環たまきは一いち変数へんすうまたは多た変数へんすうの多項式たこうしき環たまきを使つかってたくさん作つくれる。可か換かわ多元たげん環たまきの乗法じょうほうは可か換かわかつ結合けつごう的てきである。これらの環たまきおよびその剰余じょうよ環たまきは、それが代数だいすう幾何きか的てき対象たいしょう上じょうの函数かんすうの環たまきとなることから、代数だいすう幾何きか学がくの基礎きそを成なしている。

別べつの重要じゅうような例れいはリー環たまきである。リー環たまきの乗法じょうほう（x, y の積せきを [x, y] と書かく）は可か換かわでも結合けつごう的てきでもないが、そうなることは制約せいやく条件じょうけん

• 反対称はんたいしょう性せい: [x, y] = −[y, x]
• ヤコビの等式とうしき: [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0

によって制限せいげんされている。リー環たまきの例れいには、n-次じ正方せいほう行列ぎょうれつ全体ぜんたいの成なすベクトル空間くうかんに、行列ぎょうれつの交換こうかん子こ [x, y] = xy − yx を積せきとしたものや、R³ にクロス積せきを入いれたものなどが含ふくまれる。

テンソル代数だいすう T(V) は任意にんいのベクトル空間くうかんに積せきを導入どうにゅうして多元たげん環たまきを得えるための形式けいしき的てきな方法ほうほうである。T(V) はベクトル空間くうかんとしては、単純たんじゅんテンソルあるいは分解ぶんかい可能かのう型がたテンソルと呼よばれる記号きごう

${\boldsymbol {v}}_{1}\otimes {\boldsymbol {v}}_{2}\otimes \dotsb \otimes {\boldsymbol {v}}_{n}$

によって生成せいせいされる（ただし、テンソルの階数かいすう n は任意にんいに動うごかすものとする）。乗法じょうほうは二ふたつのベクトル空間くうかんに対たいしてテンソル積せきを定義ていぎするときとほとんど同おなじで、基底きてい元もとについてはそれらの記号きごうをテンソル積せき ⊗ で結合けつごうすることで与あたえ、一般いっぱんには加法かほうに対たいする分配ぶんぱい法則ほうそくを以って基底きてい元もとに対たいする積せきを延長えんちょうする。スカラー倍ばいの積せきは ⊗ と可か換かわであるものとする。こうして得えられる T(V) においては、一般いっぱんに v₁ ⊗ v₂ と v₂ ⊗ v₁ との間あいだには何なんの関係かんけいも成立せいりつしない。この二ふたつの元もとを強制きょうせい的てきに等ひとしいものと定さだめると対称たいしょう代数だいすう S(V) が、あるいは強制きょうせい的てきに v₁ ⊗ v₂ = − v₂ ⊗ v₁ と置おけば外積がいせき代数だいすう ${\textstyle \bigwedge (V)}$ がそれぞれ得えられる。

基礎きそとする体からだ F を明示めいじしたい場合ばあいには、F-多元たげん環たまきあるいは F-代数だいすうという言葉ことばがよく用もちいられる。

応用おうよう

ベクトル空間くうかんの多様たよう体たいに対たいする応用おうようは様々さまざまな状況じょうきょうで生しょうじてくる。つまり多様たよう体たい上じょうで定義ていぎされ、ある体からだに値ねをとる函数かんすうを考かんがえれば、そこにはベクトル空間くうかんが生しょうじるのである。そのようなベクトル空間くうかんを考かんがえれば、解析かいせき学がくや幾何きか学がくにおける問題もんだいを取とり扱あつかう枠組わくぐみが提供ていきょうされる。またそういったベクトル空間くうかんはフーリエ変換へんかんなどにおいても利用りようされる。ここで挙あげた例れいは網羅もうら的てきなものではなく、例たとえば数理すうり最適さいてき化かなど、ほかにももっと多おおくの応用おうようが存在そんざいする。ゲーム理論りろんのミニマックス法ほうは全すべてのプレイヤーが最適さいてきな試行しこうを行おこなうことができるならば一意的いちいてきなペイが得えられることを述のべるもので、これはベクトル空間くうかん法ほうを用もちいて証明しょうめいできる。表現ひょうげん論ろんは、よく分わかっている線型せんけい代数だいすう学がくおよびベクトル空間くうかんに関かんする内容ないようを、群論ぐんろんなど他たの領域りょういきに実みのり豊ゆたかに引ひき写うつすものである。

シュワァルツ超ちょう函数かんすう

詳細しょうさいは「シュワルツ超ちょう函数かんすう」を参照さんしょう

シュヴァルツ超ちょう函数かんすう (英えい: distribution) は、各かく「試験しけん」函数かんすう（典型てんけい的てきには、関数かんすうの台だいを持もつ滑なめらかな関数かんすう）に数かずを連続れんぞく的てきな仕方しかたで割わり当あてる線型せんけい写像しゃぞうをいう。即すなわち、シュヴァルツ超ちょう函数かんすうの空間くうかんは、試験しけん函数かんすうの空間くうかんの（連続れんぞく的てき）双対そうついである。後者こうしゃの空間くうかんには、試験しけん函数かんすう f それ自体じたいのみならずその高階たかしな導しるべ函数かんすうまでを考慮こうりょするような位相いそうが入はいっている。シュヴァルツ超ちょう函数かんすうの典型てんけい的てきな例れいはある領域りょういき Ωおめが 上うえで試験しけん函数かんすう f を積分せきぶんする作用素さようそ

$I(f)=\int _{\Omega }f(x)\,dx$

である。Ωおめが が一いち点てん集合しゅうごう{p}のとき、これは試験しけん函数かんすう f に点てん p における値ねを割わり当あてるディラックのデルタ関数かんすう δでるた を定さだめる（δでるた(f) = f(p)）。

シュヴァルツ超ちょう函数かんすうは微分びぶん方程式ほうていしきを解とくための強力きょうりょくな道具どうぐである。微分びぶんは線型せんけいであるといったような、解析かいせき学がくの標準ひょうじゅん的てきな概念がいねんは、自然しぜんにシュヴァルツ超ちょう函数かんすうの空間くうかんへ延長えんちょうすることができるから、従したがって問題もんだいの方程式ほうていしきをシュヴァルツ超ちょう函数かんすうの空間くうかんへ引ひき写うつすことができて、しかもシュヴァルツ超ちょう函数かんすうの空間くうかんはもとの函数かんすう空間くうかんよりも大おおきいから、方程式ほうていしきを解とくためにより柔軟じゅうなんな方法ほうほうが利用りようできる（例たとえば、グリーン関数かんすう法ほう）。

また、基本きほん解かいは真しんの函数かんすうでなくシュヴァルツ超ちょう函数かんすう解かい（弱じゃく解かい）となるのがふつうであり、弱じゃく解かいから所期しょきの境界きょうかい条件じょうけんを満みたす方程式ほうていしきの真しんの解かいを求もとめるには、見みつかった弱じゃく解かいが実際じっさいに真しんの函数かんすうとなることを確たしかめればよく、証明しょうめいできた場合ばあいにはそれがもとの方程式ほうていしきの真しんの解かいである（例たとえばリースの表現ひょうげん定理ていりの帰結きけつである弱じゃく形式けいしきが利用りようできる）。

フーリエ変換へんかん

詳細しょうさいは「フーリエ変換へんかん」を参照さんしょう

熱ねつ方程式ほうていしきは、冷つめたい環境かんきょうにおかれた熱源ねつげんの温度おんどの低下ていかのような、時間じかんとともに散逸さんいつする物理ぶつり的てき性質せいしつを記述きじゅつしたものである。（黄色おうしょくは赤あかよりも冷つめたい領域りょういきを表あらわす）

周期しゅうき関数かんすうをフーリエ級数きゅうすうを成なす三角さんかく関数かんすうの和わに分解ぶんかいすることは物理ぶつり学がくや工学こうがくにおいてよく用もちいられる手法しゅほうである。台だいとなるベクトル空間くうかんは、ふつうはヒルベルト空間くうかん L²(0, 2πぱい) であり、函数かんすう族ぞく sin mx および cos mx (m は整数せいすう) が正規せいき直交ちょっこう基底きていを与あたえる。L²-函数かんすう f のフーリエ展開てんかいは

${\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{m=1}^{\infty }{\bigl [}a_{m}\cos(mx)+b_{m}\sin(mx){\bigr ]}$

である。係数けいすう a_m, b_m は f のフーリエ係数けいすうと呼よばれ、公式こうしき

$a_{m}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\cos(mt)dt,\quad b_{m}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\sin(mt)dt$

で求もとめられる。

物理ぶつり学がくの言葉ことばで言いえば、函数かんすうは正弦せいげん波はの重かさね合あわせとして表あらわされ、その係数けいすうは函数かんすうの周波数しゅうはすうスペクトルについての情報じょうほうを与あたえるということになる。複素ふくそ型がたのフーリエ級数きゅうすうも広ひろく用もちいられる。 上記じょうきの具体ぐたい的てきな公式こうしきは、より一般いっぱんのポントリャーギン双対そうついと呼よばれる双対そうついからの帰結きけつである。加法かほう群ぐん R にこの双対そうつい性せいを適用てきようすれば古典こてん的てきなフーリエ変換へんかんが得えられる。また物理ぶつり学がくでは逆ぎゃく格子こうしに応用おうようされる。これは有限ゆうげん次元じげん実線じっせん型がた空間くうかんに付加ふか的てきなデータとして原子げんしや結晶けっしょうの位置いちを符号ふごう化かした束たばを与あたえたものを基礎きその群ぐんとして双対そうつい性せいを適用てきようしたものである。

フーリエ級数きゅうすうは偏へん微分びぶん方程式ほうていしきの境界きょうかい値ち問題もんだいを解とくのにも利用りようされる。1822年ねんにジョゼフ・フーリエが初はじめてこの方法ほうほうを熱ねつ方程式ほうていしきを解とくために用もちいた。フーリエ級数きゅうすうの離散りさん版ばんは標本ひょうほん化かにおいて、函数かんすう値ちが等間隔とうかんかくに並ならんだ有限ゆうげん個この点てんでしかわかっていないところで用もちいられる。この場合ばあい、フーリエ級数きゅうすうは有限ゆうげん項こうで、その値ねは全すべての点てんで標本ひょうほん値ちに等ひとしい。また、係数けいすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうは、与あたえられた標本ひょうほん列れつの離散りさんフーリエ変換へんかん (英えい: DFT : Discrete Fourier Transformation) と呼よばれる。この DFT は（レーダーや音声おんせい符号ふごう化かや画像がぞう圧縮あっしゅくなどに応用おうようを持もつ）デジタル信号しんごう処理しょりの重要じゅうような道具どうぐの一ひとつである。画像がぞうフォーマットJPEGは、近ちかしい関係かんけいにある離散りさんコサイン変換へんかんの応用おうようである。

高速こうそくフーリエ変換へんかんは離散りさんフーリエ変換へんかんを高速こうそくに計算けいさんするアルゴリズムである。これはフーリエ係数けいすうの計算けいさんだけでなく、畳たたみ込こみを用もちいて、二ふたつの有限ゆうげん列れつの畳たたみ込こみを計算けいさんするのにも利用りようできる。また、ディジタルフィルタや、巨大きょだいな整数せいすうや多項式たこうしきの高速こうそくな掛かけ算ざんアルゴリズム（ショーンハーゲ・ストラッセン法ほう）にも応用おうようできる。

微分びぶん幾何きか学がく

詳細しょうさいは「接せっベクトル空間くうかん」を参照さんしょう

二に次元じげん球面きゅうめんのある点てんにおける接せっ空間くうかんとは、この点てんで球面きゅうめんに接せっする無限むげん平面へいめんである。

曲面きょくめんのある点てんにおける接せっ平面へいめんは、自然しぜんに接点せってんを原点げんてんと同一どういつ視ししたベクトル空間くうかんになる。接せっ平面へいめんは接点せってんにおける曲面きょくめんの最適さいてき線型せんけい近似きんじあるいは線型せんけい性せいである。三さん次元じげんユークリッド空間くうかんの場合ばあいでさえ、接せっ平面へいめんの基底きていを指定していする自然しぜんな方法ほうほうは点綴てんてい的てきには存在そんざいせず、またそれゆえに接せっ平面へいめんは、実数じっすうベクトル空間くうかんというよりはむしろ抽象ちゅうしょうベクトル空間くうかんとして考かんがえられる。接せっ空間くうかんはより高こう次元じげんの可か微分びぶん多様たよう体たいへの一般いっぱん化かである。

リーマン多様たよう体たいはその接せっ空間くうかんが適当てきとうな内積ないせきを備そなえた多様たよう体たいである。そこから得えられるリーマン曲きょく率りつテンソルは、それ一ひとつでその多様たよう体たいの全すべての曲きょく率りつを表あらわすことができるもので、一般いっぱん相対性理論そうたいせいりろんでは例たとえば時空じくうの質量しつりょうとエネルギー定数ていすうを記述きじゅつするアインシュタインテンソルなどに応用おうようがある。リー群ぐんの接せっ空間くうかんは自然しぜんにリー環たまきの構造こうぞうを持もち、コンパクト群ぐんの分類ぶんるいに用もちいることができる。

一般いっぱん化か

ベクトル束たば

詳細しょうさいは「ベクトル束たば」および「接せっ束たば」を参照さんしょう

メビウスの帯おび。これは局所きょくしょ的てきには U × R に同相どうしょうである。

ベクトル束たばは位相いそう空間くうかん X によって連続れんぞく的てきに径みち数すう付つけられたベクトル空間くうかんの族ぞくである。より明確めいかくに言いえば、X 上うえのベクトル束たばとは、位相いそう空間くうかん E であって、連続れんぞく写像しゃぞう

$\pi \colon E\to X$

を持もち、X の各かく点てん x においてファイバー V = πぱい⁻¹(x) がベクトル空間くうかんを成なすようなものを言いう。dim V = 1 ならば直線ちょくせん束たばという。任意にんいのベクトル空間くうかん V に対たいし、射影しゃえい X × V → X は直積ちょくせき X × V をファイバー束たばにする。X 上うえのベクトル束たばは、局所きょくしょ性せいのある（固定こていされた）ベクトル空間くうかん V と X との直積ちょくせきでなければならない。つまり、X の各かく点てん x に対たいして x の適当てきとうな近傍きんぼう U を選えらんで、πぱい の πぱい⁻¹(U) への制限せいげんが自明じめい束たば U × V → U に同型どうけいとなるようにすることができる。これらの局所きょくしょ自明じめい性せいにもかかわらず、ベクトル束たばは巨視的きょしてきには（台だいとなる位相いそう空間くうかん X の形かたちに依存いぞんして）「捻ねじれ」ているのである。つまり、ベクトル束たばは自明じめい束たば X × V （と大域たいいき的てきに同型どうけい）である必要ひつようはない。例たとえば、メビウスの帯おびは（円周えんしゅうを実数じっすう直線ちょくせん上じょうの半開はんかい区間くかんと同一どういつ視しすることによって）円周えんしゅう S¹ 上うえの線せん束たばと見み做すことができるが、しかしこれは円筒えんとう S¹ × R とは異ことなる。後者こうしゃは向むき付づけ可能かのう性せいだが、前者ぜんしゃはそうではない。

ある種しゅのベクトル束たばの性質せいしつは、台たいとなる位相いそう空間くうかんについての情報じょうほうを提供ていきょうする。例たとえば、接せっ空間くうかんの集あつまりからなる接せっ束たばは可か微分びぶん多様たよう体たいの点てんによって径みち数すう付つけられる。円周えんしゅう S¹ の接せっ束たばは、S¹ 上うえに大域たいいき的てきな非ひ零れいベクトル場じょうが存在そんざいするから、大域たいいき的てきに S¹ × R に同型どうけいである。対照たいしょう的てきに、毛もう玉たまの定理ていりにより、二に次元じげん球面きゅうめん S² 上うえの接せっベクトル場じょうで至いたる所ところ消きえていない者ものは存在そんざいしない。K-理論りろんは同おなじ位相いそう空間くうかん上じょうの全すべてのベクトル束たばの同型どうけい類るいについて研究けんきゅうするものである。深ふかい位相いそう的てきかつ幾何きか学がく的てきな観察かんさつに加くわえて、この理論りろんには実じつ有限ゆうげん次元じげん多元たげん体たいの分類ぶんるい（そのようなものは R, C のほかは四よん元げん数すう体からだ H と八はち元げん数すう体からだ O しかない）というような純じゅん代数だいすう学がく的てきな帰結きけつも存在そんざいする（フルヴィッツの定理ていりを参照さんしょう）。

可か微分びぶん多様たよう多たの余よ接せっ束たばは、多様たよう体たいの各かく点てんにおいて接せっ空間くうかんの双対そうついである余よ接せっ空間くうかんが対応たいおうするベクトル束たばである。余よ接せっ束たばの切断せつだんは1-形式けいしき (1-form) と呼よばれる。

加か群ぐん

詳細しょうさいは「環たまき上じょうの加か群ぐん」を参照さんしょう

ベクトル空間くうかんが体からだに対たいするものであるように、加か群ぐん (英えい: modules) の概念がいねんは環たまきに対たいするものである。これはベクトル空間くうかんの公理こうりにおいて体からだ F とするところを環たまき R で置おき換かえることで得えられる。加か群ぐんの理論りろんはベクトル空間くうかんのそれと比くらべて（環たまきの元もとに必かならずしも逆ぎゃく元もとが存在そんざいしないことで）より複雑ふくざつなものになっている。例たとえば加か群ぐんは、Z-加か群ぐん（つまりアーベル群ぐん）としての Z/2Z のように、必かならずしも基底きていを持もたない。基底きていを持もつような加か群ぐん（ベクトル空間くうかんもそう）は自由じゆう加か群ぐんと呼よばれる。にも拘かかわらずベクトル空間くうかんは、係数けいすう環たまきが体からだであるような加か群ぐんとして簡単かんたんに定義ていぎすることができて、その元もとをベクトルと呼よぶ。可か換かわ環たまきの代数だいすう幾何きか学がく的てき解釈かいしゃくは、それらの環たまきのスペクトルを通つうじて、ベクトル束たばの代数だいすう的てきな対応たいおう物ぶつである局所きょくしょ自由じゆう加か群ぐんの概念がいねんなどを展開てんかいすることを可能かのうにする。

アフィン空間くうかんおよび射影しゃえい空間くうかん

詳細しょうさいは「アフィン空間くうかん」および「射影しゃえい空間くうかん」を参照さんしょう

R³ 内うちのアフィン平面へいめん (水色みずいろ): これは二に次元じげんの線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんをベクトル x (赤あか) でずらしたものである。

大雑把おおざっぱに言いうと、アフィン空間くうかん (英えい: affine space ) というのはベクトル空間くうかんからその原点げんてんをわからなくしたものである。より正確せいかくには、アフィン空間くうかんとは自由じゆうかつ推移すいい的てきなベクトル空間くうかんの群ぐん作用さようを備そなえた集合しゅうごうを言いう。特とくにベクトル空間くうかんは、写像しゃぞう

$V\times V\to V;({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {a}})\mapsto {\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {v}}$

を考かんがえることによって、自身じしんの上うえのアフィン空間くうかんとなる。W をベクトル空間くうかんとするとき、W のアフィン部分ぶぶん空間くうかんとは、固定こていしたベクトル x ∈ W によって線型せんけい部分ぶぶん空間くうかん V を平行へいこう移動いどうすることによって得えられるものを言いう。この空間くうかんは x + V（V による W の剰余じょうよ類るい）であり、v ∈ V に対たいする x + v の形かたちのベクトル全すべてからなる。重要じゅうような例れいは、非ひ斉ひとし次じの線型せんけい方程式ほうていしき系けい

$A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}$

の解かい空間くうかんである。これは斉ひとし次つぎの場合ばあい、つまり b = 0 の場合ばあいを一般いっぱん化かするものである。この解かい空間くうかんは、方程式ほうていしきの特殊とくしゅ解かい x と、付随ふずいする斉ひとし次じ方程式ほうていしきの解かい空間くうかん（つまり A の核かく空間くうかん）V に対たいするアフィン部分ぶぶん空間くうかん x + V である。

固定こていされた有限ゆうげん次元じげんベクトル空間くうかん V の一いち次元じげん線型せんけい部分ぶぶん空間くうかん全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうは射影しゃえい空間くうかんと呼よばれる。これは平行へいこう線せんが無限むげん遠とおにおいて交まじわるという概念がいねんの定式ていしき化かに用もちいられる。グラスマン多様たよう体たいおよび旗はた多様たよう体たいはそれぞれ、決きまった次元じげん k の線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんおよび旗はたと呼よばれる線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんの包含ほうがん列れつを径みち数すう付つけることによる、射影しゃえい空間くうかんの概念がいねんの一般いっぱん化かである。

凸とつ解析かいせき

詳細しょうさいは「凸とつ解析かいせき」を参照さんしょう

n-次元じげん単体たんたいは標準ひょうじゅん凸とつ集合しゅうごうで、任意にんいの多面体ためんたいへ写うつり、また、標準ひょうじゅん (n + 1)-次元じげんアフィン超ちょう平面へいめん（標準ひょうじゅんアフィン空間くうかん）と標準ひょうじゅん (n + 1)-次元じげん象限しょうげん（標準ひょうじゅん錐きり体たい）との交まじわりになっている。

順序じゅんじょ体たい（特とくに実数じっすう体たい）上じょうで、凸とつ解析かいせきの概念がいねんを考かんがえることができる。最もっとも基本きほん的てきなものは、非負ひふ線型せんけい結合けつごう全体ぜんたいからなる錐きり、および和わが 1 となる非負ひふ線型せんけい結合けつごう全体ぜんたいからなる凸とつ集合しゅうごうである。凸とつ集合しゅうごうはアフィン空間くうかんの公理こうりと錐きり体たいの公理こうりを組くみ合あわせたものとして見みることができ、これは凸とつ集合しゅうごうの標準ひょうじゅん空間くうかんである n-単体たんたいが超ちょう平面へいめんと象限しょうげんとの交まじわりであることを反映はんえいしたものになっている。このような空間くうかんは特とくに線型せんけい計画けいかく問題もんだいにおいて用もちいられる。

普遍ふへん代数だいすう学がくの言葉ことばで言いえば、ベクトル空間くうかんはベクトルの有限ゆうげん和わに対応たいおうする係数けいすうの有限ゆうげん列れつ全体ぜんたいの成なす普遍ふへんベクトル空間くうかん K^∞ 上うえの代数だいすうであるが、一方いっぽうアフィン空間くうかんはここでいう（和わが 1 の有限ゆうげん列れつ全体ぜんたいの成なす）普遍ふへんアフィン超ちょう平面へいめん上じょうの代数だいすうであり、また錐きり体たいは普遍ふへん象限しょうげん上じょうの代数だいすう、凸とつ集合しゅうごうは普遍ふへん単体たんたい上じょうの代数だいすうである。これは、「座標ざひょうに対たいする（可能かのうな）制限せいげん和わ」を用もちいて公理こうりを幾何きか化かしたものである。

線型せんけい代数だいすう学がくにおける多おおくの概念がいねんは凸とつ解析かいせきにおける対応たいおうする概念がいねんがあって、基本きほん的てきなものとしては基底きていや（凸とつ包つつみのような形かたちでの）生成せいせい概念がいねんなど、また重要じゅうようなものとしては（双対そうつい多角たかく形がた、双対そうつい錐きりと極ごく錐きり、双対そうつい問題もんだいのような）双対そうつい性せいなどが含ふくまれる。しかし線型せんけい代数だいすう学がくにおいて任意にんいのベクトル空間くうかんやアフィン空間くうかんが標準ひょうじゅん空間くうかんに同型どうけいとなるのとは異ことなり、任意にんいの凸とつ集合しゅうごうや錐きり体たいが単体たんたいや象限しょうげんに同型どうけいとなるわけではない。むしろ単体たんたいから多面体ためんたいの上うえへの写像しゃぞうが一般いっぱん化かされた重心じゅうしん座標ざひょう系けいによって常つねに存在そんざいし、またその双対そうつい写像しゃぞうとして多面体ためんたいから（面めんの数かずと等ひとしい次元じげんの）象限しょうげんの中なかへの写像しゃぞうがスラック変数へんすうによって存在そんざいするが、これらが同型どうけいとなることは稀まれである（ほとんどの多面体ためんたいは単体たんたいでも象限しょうげんでもない）。

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関連かんれん項目こうもく

• 線型せんけい代数だいすう学がく
• 直交ちょっこう座標ざひょう系けい
• 空間くうかんベクトル - 物理ぶつり学がくにおけるベクトル
• 次数じすう付つきベクトル空間くうかん
• 距離きょり空間くうかん
• p-ベクトル（外積がいせき代数だいすうの元もと）
• リース＝フィッシャーの定理ていり
• 空間くうかん (数学すうがく)

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