次数じすう付つきベクトル空間くうかん

数学すうがくにおける次数じすう付つきベクトル空間くうかん（じすうつき­ベクトル­くうかん、英えい: graded vector space; 次数じすうベクトル空間くうかん、次数じすう付つき線型せんけい空間くうかん、次数じすう線型せんけい空間くうかん）は、次数じすう付づけ (grading) と呼よばれる追加ついかの構造こうぞうを持もつベクトル空間くうかんであり、次数じすう付づけにより適当てきとうな線型せんけい部分ぶぶん空間くうかんの直和なおかずとして記述きじゅつされる。

導入どうにゅう

非負ひふ整数せいすう全体ぜんたいの成なす集合しゅうごう ℕ に対たいし、ℕ で次数じすう付つけられたベクトル空間くうかんはしばしば単たんに次数じすう線型せんけい空間くうかんのように ℕ を落おとして呼よばれる。次数じすう付つきベクトル空間くうかん V は、各かく V_n がベクトル空間くうかんとなるような形かたちの直和なおかず分解ぶんかい

$$V=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }V_{n}$$

を持もつベクトル空間くうかんを言いう。また各かく n に対たいし V_n を次数じすう n の斉ひとし次じ成分せいぶん、その各かく元もとを次数じすう n の斉ひとし次元じげんと呼よぶ。

次数じすう付つき線型せんけい空間くうかんは一般いっぱん的てきによく用もちいられる概念がいねんである。例たとえば、

$$\mathbb {C} [z]=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {C} z^{n}$$

のように一変いっぺん数すう（あるいは多た変数へんすう）の多項式たこうしき全体ぜんたいの成なす集合しゅうごうは次数じすう付つき線型せんけい空間くうかんを成なし、その次数じすう n の斉ひとし次元じげんはちょうど斉ひとし次次つぎつぎ数すう n の斉ひとし次じ多項式たこうしき——次数じすう n の単項式たんこうしきからなる線型せんけい結合けつごう——によって与あたえられる。他ほかにもベクトル空間くうかん V に対たいして、そのテンソル代数だいすう T(V) や対称たいしょう代数だいすう S(V) あるいは外積がいせき代数だいすう $\textstyle \bigwedge (V)$ などにも自然しぜんに次数じすうを定義ていぎすることができる。

一般いっぱんの定義ていぎ

次数じすう付つきベクトル空間くうかんの各かく斉ひとし次じ成分せいぶんは、自然しぜん数すうの集合しゅうごう ℕ に限かぎらず、任意にんいの添字そえじ集合しゅうごう I で添字そえじ付つけることができる。すなわち、I-次数じすう付つき線型せんけい空間くうかん V は集合しゅうごう I の各かく元もと i で添字そえじ付つけられた部分ぶぶん線型せんけい空間くうかんの直和なおかず

$$V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}$$

に書かけるベクトル空間くうかんを言いう。

特とくに、添字そえじ集合しゅうごう I が整数せいすうの剰余じょうよ類るい環たまき Z/2Z の場合ばあいは物理ぶつり学がくにおいて重要じゅうようで、Z/2Z-次数じすう付つき線型せんけい空間くうかんは超ちょうベクトル空間くうかんとも呼よばれる。

次数じすう付つき準じゅん同型どうけい

一般いっぱんの添字そえじ集合しゅうごう I に対たいする I-次数じすう線型せんけい空間くうかんの間あいだの線型せんけい写像しゃぞう f: V → W が次数じすう付つき線型せんけい写像しゃぞうであるとは、それが斉ひとし次元じげんの次数じすう付づけを保たもつとき、すなわち

$$f(V_{i})\subseteq W_{i}\quad (\forall i\in I)$$

を満みたすときに言いう。次数じすう線型せんけい写像しゃぞうのことを、次数じすう線型せんけい空間くうかんの間あいだの準じゅん同型どうけいまたは射いとも、あるいは斉ひとし次じ線型せんけい写像しゃぞうとも呼よぶ。

係数けいすう体たいおよび添字そえじ集合しゅうごうを固定こていして考かんがえるとき、次数じすう付つき線型せんけい空間くうかんの全体ぜんたいは次数じすう線型せんけい写像しゃぞうを射いとして圏けんを成なす。

I が可か換かわモノイドであるときには（たとえば自然しぜん数すうの集合しゅうごう ℕ のときはそう）、より一般いっぱんに任意にんいの i ∈ I に対たいする斉ひとし次つぎ性せいを

$$f(V_{j})\subseteq W_{i+j}\quad (\forall j\in I)$$

なる条件じょうけんによって定義ていぎすることができる。ここで "+" はモノイドの演算えんざんとする。さらに I が消けし約やく性せいを満足まんぞくし、したがって適当てきとうな可か換かわ群ぐんに埋うめ込こめるときは（たとえば自然しぜん数すうの集合しゅうごう ℕ のときはそう）、I の生成せいせいする可か換かわ群ぐん A の任意にんいの元もと i を次数じすうとして斉ひとし次じ線型せんけい写像しゃぞうを同おなじ式しき（ただし "+" を A の群ぐん演算えんざんとして）で定義ていぎできる。とくに、任意にんいの i ∈ I に対たいし、(−i)-次つぎの斉ひとし次じ準じゅん同型どうけいは

$$f(V_{i+j})\subseteq W_{j}\quad (\forall j\in I)$$

で定義ていぎされる。ただし、j − i が I に入はいらないときには f(V_j) ≔ 0 とする。

線型せんけい空間くうかんからそれ自身じしんへの線型せんけい写像しゃぞう全体ぜんたいが自己じこ準じゅん同型どうけい環たまきと呼よばれる結合けつごう多元たげん環たまきを成なすのとまったく同様どうようにして、次数じすう線型せんけい空間くうかん上じょうの斉ひとし次じ自己じこ準じゅん同型どうけい全体ぜんたいは（次数じすうをモノイド I に制限せいげんしても、群ぐん A の元もととなることを許ゆるしても、それぞれで次数じすう付つけられる）結合けつごう的てきな次数じすう付つき多元たげん環たまきを成なす。

次数じすう線型せんけい空間くうかんの演算えんざん

「ベクトル空間くうかん#基本きほん的てきな構成こうせい法ほう」も参照さんしょう

ベクトル空間くうかんの場合ばあいと同様どうように次数じすう線型せんけい空間くうかんに対たいしても、既知きちの次数じすう線型せんけい空間くうかんから新あらたな次数じすう線型せんけい空間くうかんを与あたえる操作そうさ（次数じすうベクトル空間くうかん同士どうしの演算えんざん）をいくつか定義ていぎすることができる。

同おなじ I で次数じすう付つけられた二ふたつの I-次数じすう線型せんけい空間くうかん V, W に対たいし、それらの直和なおかずは

$$V\oplus W:=\bigoplus _{i}X_{i};\quad X_{i}:=V_{i}\oplus W_{i}\qquad (\forall i\in I)$$

として次数じすう付つけられる I-次数じすう線型せんけい空間くうかんを言いう。

I が半はん群ぐんであるとき、ふたつの I-次数じすう線型せんけい空間くうかん V, W のテンソル積せき ${\textstyle V\otimes W=\bigoplus _{i}X_{i}}$ は

$$X_{i}:=\bigoplus _{j+k=i}V_{j}\otimes W_{k}$$

なる I-次数じすう線型せんけい空間くうかんを言いう。

関連かんれん項目こうもく

• ヒルベルト–ポワンカレ級数きゅうすう
• 余よ加か群ぐん
• 次数じすう付つき
• 次数じすう付つき加か群ぐん
• フィルター付つき代数だいすう

参考さんこう文献ぶんけん

• Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 2, Section 11; Chapter 3.

外部がいぶリンク

• graded vector space in nLab