様相ようそう論理ろんり

様相ようそう論理ろんり（ようそうろんり、英えい: modal logic）は、いわゆる古典こてん論理ろんりの対象たいしょうでない、様相ようそう（modal）と呼よばれる「〜は必然ひつぜん的てきに真しん」や「〜は可能かのうである」といった必然ひつぜん性せいや可能かのう性せいなどを扱あつかう論理ろんりである（様相ようそう論理ろんりは、部分ぶぶんの真理しんり値ちからは全体ぜんたいの真理しんり値ちが決定けっていされない内包ないほう論理ろんりの一種いっしゅと見みることができる）。

その歴史れきしは古ふるくアリストテレスまで遡さかのぼることができる^[1]^:138が、形式けいしき的てきな扱あつかいは数理すうり論ろん理学りがく以降いこう、非ひ古典こてん論理ろんりとしてである。

様相ようそう論理ろんりでは一般いっぱんに、標準ひょうじゅん的てきな論理ろんり体系たいけいに「～は必然ひつぜん的てきである」ことを意味いみする必然ひつぜん性せい演算えんざん子こ $\Box$ と、「～は可能かのうである」ことを意味いみする可能かのう性せい演算えんざん子こ $\Diamond$ のふたつの演算えんざん子こが追加ついかされる。

真理しんり論ろん的てき様相ようそうと認識にんしき論ろん的てき様相ようそう

様相ようそう論理ろんりは真理しんり論ろん的てき（形而上学けいじじょうがく的てき、論理ろんり的てき）様相ようそうの文脈ぶんみゃくで語かたられることが最もっとも多おおい。この様相ようそうにおいては「～は必然ひつぜん的てきである」、「～は可能かのうである」といった言明げんめいが扱あつかわれるが、これは認識にんしき論ろん的てき様相ようそうと混同こんどうされやすい。

例たとえば「雪男ゆきおとこは存在そんざいしているはずがない」という主張しゅちょうと、「雪男ゆきおとこが存在そんざいすることは可能かのうである」という主張しゅちょうは、矛盾むじゅん無むく行おこなうことが可能かのうである。この場合ばあい、前者ぜんしゃは認識にんしき論ろん的てき様相ようそうであり、「（これまでの情報じょうほうからして）雪男ゆきおとこが実際じっさいに存在そんざいするとは考かんがえられない」という主張しゅちょうとみなしうる。一方いっぽう、後者こうしゃは真理しんり論ろん的てき様相ようそうであり「（実際じっさいには存在そんざいしないのだが）雪男ゆきおとこが存在そんざいすることは可能かのうである」という主張しゅちょうであると解釈かいしゃくすることができる。

あるいは、「ゴールドバッハ予想よそうは正ただしいかもしれないし、正ただしくないかもしれない」という言明げんめいも認識にんしき論ろん的てきである。これは現時点げんじてんの知識ちしきでは正ただしいかどうか分わからないということであり、仮かりにゴールドバッハ予想よそうの証明しょうめいが存在そんざいし、その方法ほうほうに気付きづいていないだけだとすれば、真理しんり論ろん的てきには「正ただしくないかもしれない」という主張しゅちょうは誤あやまりであることになる。

これ以外いがいの様相ようそうとしては、時間じかん的てきなものがある。例たとえば、「明日あした雨あめが降ふるかどうかは決きまっていない」のに対たいし、「昨日きのう雨あめが降ふったかどうかは決きまっている」と考かんがえられる。このように素朴そぼくな時間じかん観かんには同意どういしない哲学てつがく者しゃも多おおいが、その構造こうぞうは様相ようそう論理ろんりによって把握はあくすることができる。

さらに「～べきではない」「～してもよい」といった義務ぎむに関かかわる命題めいだいも様相ようそう論理ろんりによって扱あつかうことができる。直感ちょっかん的てきにも、「～べきではない」と「～してもよい」の関係かんけいは「～は必然ひつぜん的てきである」と「～は可能かのうである」の関係かんけいと極きわめて類似るいじしている。義務ぎむ表現ひょうげんを扱あつかう様相ようそう論理ろんりは義務ぎむ論理ろんりと呼よばれる。

様相ようそう論理ろんりの公理系こうりけい

様相ようそう論理ろんりには様々さまざまな公理系こうりけいが考かんがえられており、どのような公理系こうりけいが妥当だとうなのかはそれ自体じたいが論争ろんそうの的てきである。二ふたつの様相ようそう演算えんざん子このあいだにド・モルガンの法則ほうそく的てきな関係かんけいが成立せいりつすることは、どの公理系こうりけいでも共通きょうつうしている。 $\Box$ は必然ひつぜん性せい演算えんざん子こ、 $\Diamond$ は可能かのう性せい演算えんざん子こである。

$\Box p\leftrightarrow \neg \Diamond \neg p$
$\Diamond p\leftrightarrow \neg \Box \neg p$

即すなわち、「必然ひつぜん的てきに真しん」は「偽にせである可能かのう性せいがない」と同等どうとうであり、「真しんである可能かのう性せいがある」は「必然ひつぜん的てきに偽にせであるわけではない」と同等どうとうである。様相ようそう論理ろんりとしての最低限さいていげんの定義ていぎ $\Diamond p=\neg \Box \neg p$ のみを満みたす最小さいしょうの公理系こうりけいとしては、E という公理系こうりけいが知しられている。これは古典こてん命題めいだい論理ろんりに以下いかの推論すいろん規則きそくを加くわえたものである。

推論すいろん規則きそく : $\varphi \leftrightarrow \psi$ が成なり立たつならば、 $\Box \varphi \leftrightarrow \Box \psi$ も成なり立たつ。

この公理系こうりけい E より「強つよい」すべての公理系こうりけいは、Classical な公理系こうりけいと呼よばれる。

しかしながら、真しんと認みとめるべきかどうか直感ちょっかん的てきに明あきらかでない論理ろんり式しきも多おおく作つくることができる。例たとえば「必然ひつぜん的てきに真しんならば必然ひつぜん的てきに「必然ひつぜん的てきに真しん」である」と言いえるのかどうか、即すなわち $\Box p\rightarrow \Box \Box p$ が成なり立たつのかどうかははっきりしない。こういった定理ていりを認みとめるか否ひかによって、様々さまざまな公理系こうりけいが生うまれる。

必然ひつぜん化か規則きそくを満みたす公理系こうりけい（Normal な公理系こうりけい）の中なかで、最もっとも「小ちいさな」公理系こうりけいとして知しられているのは、クリプキによる K という公理系こうりけいである。K の公理系こうりけいに更さらに公理こうりを付つけ加くわえることにより、様々さまざまな様相ようそう論理ろんりが得えられる^[2]。

K の公理系こうりけい

K の公理系こうりけいは古典こてん命題めいだい論理ろんりの公理系こうりけいに公理こうり図式ずしきK（太字ふとじになっていることに注意ちゅうい）と必然ひつぜん化か規則きそく（necessitation）を付つけ加くわえたものである。

公理こうりK : $\Box (A\rightarrow B)\rightarrow (\Box A\rightarrow \Box B)$
必然ひつぜん化か規則きそく : $A$ が無む仮定かていで証明しょうめい可能かのうならば、 $\Box A$ もまた無む仮定かていで成立せいりつする。

ここで可能かのう性せい演算えんざん子こは定義ていぎ $\Diamond p=\neg \Box \neg p$ によって導入どうにゅうされる。

T の公理系こうりけい

K の公理系こうりけいに以下いかの公理こうり図式ずしきT「必然ひつぜん的てきに真しんならば、真しんである」を加くわえた体系たいけいは T と呼よばれる。

公理こうりT : $\Box A\rightarrow A$

T においては、K では証明しょうめい可能かのうでなかった $p\rightarrow \Diamond p$ などが証明しょうめい可能かのうとなる。

S4, S5の公理系こうりけい

公理系こうりけいK,Tにおいては以下いかの1–4の同値どうち性せいを証明しょうめいできないために多重たじゅうの様相ようそう（ $\Diamond \Diamond$ , $\Box \Box$ , $\Diamond \Box$ , $\Box \Diamond$ , $\Box \Box \Box$ , ...）を減へらすことができない。従したがって無限むげんに多おおくの様相ようそうが区別くべつされることになる。

$\Diamond P\leftrightarrow \Box \Diamond P$
$\Box P\leftrightarrow \Diamond \Box P$
$\Diamond P\leftrightarrow \Diamond \Diamond P$
$\Box P\leftrightarrow \Box \Box P$

これらは還元かんげん法則ほうそくと呼よばれるが、右辺うへん→左辺さへんはTで証明しょうめい可能かのうなので、1–4の左辺さへん→右辺うへんの内うち、どれを公理系こうりけいT に付つけ加くわえるかで S4, S5 の違ちがいが生うまれる。

公理こうり4 : $\Box A\rightarrow \Box \Box A$ （還元かんげん法則ほうそくの4に対応たいおう）をTに付つけ加くわえたのがS4である。
公理こうり5 : $\Diamond A\rightarrow \Box \Diamond A$ （還元かんげん法則ほうそくの1に対応たいおう）をTに付つけ加くわえたのがS5である。

実じつは、還元かんげん法則ほうそくの1を仮定かていすれば、Tの下したで2–4は証明しょうめい可能かのうとなる。一方いっぽう3を仮定かていすれば4がTで証明しょうめい可能かのうだが、2は証明しょうめい可能かのうでない。従したがってS5はS4より真しんに強つよい（証明しょうめい力りょくの強つよい）公理系こうりけいである。還元かんげん法則ほうそくの導入どうにゅうにより本質ほんしつ的てきに区別くべつされる様相ようそうはS4で7種類しゅるい、S5で3種類しゅるいと実際じっさいに減少げんしょうする。

クリプキはこの S5 に非常ひじょうに単純たんじゅんな意味いみ論ろんが当あてはまることを示しめした（下したの#様相ようそう論理ろんりの意味いみ論ろん参照さんしょう）。しかし実際じっさいには、議論ぎろんの目的もくてきによって適切てきせつな公理系こうりけいは異ことなる。例たとえば、真理しんり論ろん的てき様相ようそうに関かんしては S5 が最もっとも適当てきとうだが、認識にんしき論ろん的てき様相ようそうでは S4 という公理系こうりけいが適切てきせつであると考かんがえられている。

様相ようそう論理ろんりの意味いみ論ろん

様相ようそう論理ろんりの意味いみ論ろんとしてはソール・クリプキによって与あたえられたクリプキ意味いみ論ろんと呼よばれる体系たいけいがあり、それと関係かんけいするよく知しられたアイディアとして可能かのう世界せかい論ろんがある。上うえで見みた公理系こうりけいのバリエーションは、可能かのう世界せかいのあいだの二に項こう関係かんけいとして定義ていぎされる到達とうたつ可能かのう性せいの概念がいねんによって捉とらえることができる。なお、可能かのう世界せかいという概念がいねんをどう解釈かいしゃくすべきかを巡めぐっては、哲学てつがく上じょうの議論ぎろんも盛さかんである。

命題めいだい様相ようそう論理ろんりの意味いみ論ろんの概要がいようは以下いかの通とおりである。

Wを空そらでない集合しゅうごうとする。これは個々ここの可能かのう世界せかい全体ぜんたいの集合しゅうごうを表あらわしていると考かんがえられる。次つぎにW上うえの二に項こう関係かんけいRを考かんがえる。つまり $R\subseteq W^{2}$ である。また $\langle w,w'\rangle \in R$ を $_{w}R_{w'}$ と表あらわす。RはW上うえの到達とうたつ関係かんけいと呼よばれ、様相ようそう演算えんざん子この付ついた論理ろんり式しきの真偽しんぎに影響えいきょうする。またPVを命題めいだい変数へんすう全体ぜんたいの集合しゅうごうとし、このPVと先さきに定義ていぎしたWに対たいし、関数かんすうVを

V:PV\rightarrow 2^{W}

として定義ていぎする（ $2^{W}$ はWの冪べき集合しゅうごう、すなわち部分ぶぶん集合しゅうごう全体ぜんたいの集合しゅうごうである）。これは、ある原子げんし命題めいだいについて、それが真しんである可能かのう世界せかいの集合しゅうごうを与あたえる解釈かいしゃくである。すなわち、可能かのう世界せかいwにおいて原子げんし命題めいだいpが真しんであることを $w\in V(p)$ として表あらわす。このように定義ていぎされた順序じゅんじょ三さん組くみ〈W, R, V〉を解釈かいしゃく（もしくはクリプキモデル）と呼よぶ。

さて、解釈かいしゃくVを以下いかのように論理ろんり式しき全体ぜんたいに再帰さいき的てきに拡張かくちょうする。A、Bを任意にんいの論理ろんり式しき、wをWの任意にんいの要素ようそとする。

$w\in V(\neg A)\Leftrightarrow w\notin V(A)$
$w\in V(A\land B)\Leftrightarrow w\in V(A)$ かつ $w\in V(B)$
$w\in V(A\lor B)\Leftrightarrow w\in V(A)$ または $w\in V(B)$
$w\in V(A\rightarrow B)\Leftrightarrow w\notin V(A)$ または $w\in V(B)$
$w\in V(\Box A)\Leftrightarrow$ 全すべての $_{w}R_{w'}$ である $w'\in W$ について $w'\in V(A)$
$w\in V(\Diamond A)\Leftrightarrow$ ある $_{w}R_{w'}$ である $w'\in W$ において $w'\in V(A)$

命題めいだい論理ろんりの結合けつごう子こについては古典こてん命題めいだい論理ろんりと全まったく同おなじであるが、様相ようそう演算えんざん子こについては、可能かのう世界せかいと到達とうたつ関係かんけいを持もつ別べつの可能かのう世界せかいを考かんがえる必要ひつようがある。任意にんいのクリプキモデル〈W, R, V〉の全すべての $w\in W$ で $w\in V(A)$ の時とき、AはK（クリプキに因ちなむ）で恒つね真しんであると言いう。ルイスの公理系こうりけいの一部いちぶの意味いみ論ろんは到達とうたつ関係かんけいRに制限せいげん（二に項こう関係かんけいの制限せいげんについて詳くわしくは集合しゅうごう上じょうの関係かんけいを参照さんしょう）を加くわえることにより作つくることが出来できる。例たとえばS5でAが証明しょうめい可能かのうなのは、反射はんしゃ的てきかつ対称たいしょう的てきかつ推移すいい的てきであるという制限せいげんをRに加くわえた全すべてのクリプキモデルの全すべての世界せかいでAが真しんである時ときであり、その時ときのみである。同様どうようにS4は反射はんしゃ的てきかつ推移すいい的てきという制限せいげんを加くわえる^[3]。

次つぎに「非ひ正規せいき世界せかい」（non-normal worlds）を導入どうにゅうする。Wを空そらでない集合しゅうごう、NをWの部分ぶぶん集合しゅうごう、他たR及およびvは上うえと同様どうように定義ていぎする。この時とき、順序じゅんじょ四よん組くみ〈W, N, R, V〉が非ひ正規せいき様相ようそう論理ろんりにおける解釈かいしゃくである。vは、命題めいだい論理ろんりの結合けつごう子こについては、全すべての $w\in W$ で上記じょうきと同様どうように拡張かくちょうされる。様相ようそう演算えんざん子こについては、正規せいき世界せかいNにおいては上記じょうきと全まったく同おなじだが、非ひ正規せいき世界せかいW - N（WのうちでNに含ふくまれない世界せかい全すべての集合しゅうごう）においては異ことなる。

全すべての

w\in W-N

で

w\in V(\Diamond A)

且かつ

w\notin V(\Box A)

である。

いわば、非ひ正規せいき世界せかいでは定義ていぎ的てきに（到達とうたつ関係かんけいと関係かんけいなく）全すべての可能かのう命題めいだいが真しんであり、全すべての必然ひつぜん命題めいだいが偽にせである。Aが恒つね真しんであるとは全すべての解釈かいしゃく〈W, N, R, V〉の下したで全すべての $w\in N$ に対たいし $w\in V(A)$ であることを言いう。非ひ正規せいき様相ようそう論理ろんりの解釈かいしゃくの到達とうたつ関係かんけいRに反射はんしゃ的てきであるという制限せいげんを加くわえるとS2、反射はんしゃ的てきかつ推移すいい的てきという制限せいげんを加くわえるとS3の意味いみ論ろんとなる^[4]。

公理系こうりけいS4の位相いそう的てき意味いみ論ろんでは、原子げんし命題めいだい達たちを位相いそう空間くうかんの中なかの図形ずけいと解釈かいしゃくする。ここでは様相ようそう演算えんざん子こ $\Box$ と $\Diamond$ は、それぞれ開ひらき核かく作用素さようそと閉包へいほう作用素さようそに解釈かいしゃくされる。代数だいすう的てき意味いみ論ろんでは、原子げんし命題めいだい達たちを位相いそうブール代数だいすうの元もとと解釈かいしゃくする。

様相ようそう論理ろんりの歴史れきし

アリストテレスの論理ろんり学がくは大だい部分ぶぶんがいわゆる三段論法さんだんろんぽうに関かかわるものであり、古典こてん論理ろんりの枠わく内ないで扱あつかえるものであるが、有名ゆうめいな De Interpretatione （『命題めいだい論ろん』）の海戦かいせん問題もんだいのように、時間じかんと可能かのう性せいに関かかわる発展はってん的てきな議論ぎろんも行おこなっている。スコラ哲学すこらてつがくでは主おもに本質ほんしつ（essence）と付随ふずい的てきな性質せいしつ（accident）の区別くべつについて、厳密げんみつな論理ろんりが展開てんかいされた。中世ちゅうせいの思想家しそうかの中なかで、様相ようそう論理ろんりに関かかわる重要じゅうような仕事しごとをした人物じんぶつとしてはオッカムのウィリアム、ヨハネス・ドゥンス・スコトゥスが挙あげられる。

今日きょうの様相ようそう論理ろんりは、1918年ねんの著書ちょしょ A Survey of Symbolic Logic のなかで S1–S5 の公理系こうりけいを導入どうにゅうした C・I・ルイスに始はじまる^[5]。1933年ねんにはクルト・ゲーデルにより、必然ひつぜん性せい演算えんざん子こ $\Box$ を基準きじゅんとした方法ほうほうで S4 が定義ていぎされた。J・C・C・マッキンゼーは1941年ねんに代数だいすう的てき方法ほうほうを用もちいてルイスの S2 と S4 の体系たいけいの決定けってい可能かのう性せいを証明しょうめいした。

様相ようそう論理ろんりに対たいしての意味いみ論ろんは様々さまざまな形かたちで考かんがえられてきたが、1963年ねんにソール・クリプキにより提唱ていしょうされたクリプキ意味いみ論ろん（可能かのう世界せかい意味いみ論ろんとも）は、様々さまざまな様相ようそう論理ろんりの体系たいけいに対たいして完全かんぜん性せい定理ていりが成なり立たつことが示しめされ、様相ようそう論理ろんりを飛躍ひやく的てきに前進ぜんしんさせた。

様相ようそう論理ろんりから派生はせいした論理ろんり体系たいけいとしては、従来じゅうらいの演算えんざん子こに代かわり、それぞれ過去かこ・未来みらいの到達とうたつ可能かのう性せいを示しめす様相ようそう演算えんざん子こP・Fを導入どうにゅうする時どき相しょう論理ろんりや、従来じゅうらいの様相ようそう演算えんざん子こ $\Box$ 、 $\Diamond$ にラベル付らべるつけを施ほどこした動的どうてき論理ろんりなどがある。これらは認知にんち現象げんしょうの解析かいせきや計算けいさん機き科学かがくへの応用おうようなど、目的もくてきに応おうじて様々さまざまに考案こうあんされ、適用てきようされている。

脚注きゃくちゅう

^ 序説じょせつ(2010).
^ 以下いかの K, T, S4, S5 の公理系こうりけいについては戸田とだ山さん (2000), pp. 306–310に拠よった。
^ Priest 2008, pp. 35–36.
^ Priest 2008, pp. 64–65.
^ Blackburn, Rijke & Venema 2002.

参考さんこう文献ぶんけん

古こ森もり雄一ゆういち, 小野おの寛ひろし晰『現代げんだい数すう理論りろん理学りがく序説じょせつ』日本にっぽん評論ひょうろん社しゃ、2010年ねん。ISBN 9784535785564。 NCID BB02425588。全国ぜんこく書誌しょし番号ばんごう:21790737。
戸田とだ山さん和久わぐ『論理ろんり学がくをつくる』名古屋大学出版会なごやだいがくしゅっぱんかい、2000年ねん。ISBN 4815803900。 NCID BA48630806。全国ぜんこく書誌しょし番号ばんごう:20118854。
Moshe Y. Vardi (2002-12-14) (PDF), Branching vs. Linear Time: Final Showdown
Priest, Graham (2008). An Introduction to Non-Classical Logic (2 ed.). Cambridge University Press
Blackburn, Patrick; Rijke, Maarten de; Venema, Yde (2002) [2001]. Modal Logic (eBook ed.). Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/cbo9781107050884. ISBN 978-0-521-52714-9
昭宏あきひろ, 吉よし満みつる「C.i.ルイスと様相ようそう論理ろんりの起源きげん」『科学かがく哲学てつがく』第だい37巻かん第だい1号ごう、2004年ねん、1–14頁ぺーじ、doi:10.4216/jpssj.37.1。

外部がいぶリンク

Modal Logic （英語えいご） - スタンフォード哲学てつがく百科ひゃっか事典じてん「様相ようそう論理ろんり」の項目こうもく。

[FOOTNOTE序説(2010)-1] 序説じょせつ(2010).

[2] 以下いかの K, T, S4, S5 の公理系こうりけいについては戸田とだ山さん (2000), pp. 306–310に拠よった。

[FOOTNOTEPriest200835–36-3] Priest 2008, pp. 35–36.

[FOOTNOTEPriest200864–65-4] Priest 2008, pp. 64–65.

[FOOTNOTEBlackburnRijkeVenema2002-5] Blackburn, Rijke & Venema 2002.

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[4]

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