累乗るいじょう数すう

クイゼネールロッドを用もちいた累乗るいじょう数すう4、8、9のデモンストレーション

累乗るいじょう数すう（るいじょうすう、英えい: perfect power）とは、他たの自然しぜん数すうの累乗るいじょうになっている自然しぜん数すう、すなわち、m^k（m, k は自然しぜん数すうで k は 2 以上いじょう）の形かたちの数かずを指さす。

累乗るいじょう数すうを 1 から小ちいさい順じゅんに列記れっきすると

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, …（オンライン整数せいすう列れつ大だい辞典じてんの数列すうれつ A001597）

累乗るいじょう数すうの性質せいしつ

4 を法ほうとして 2 と合同ごうどうでない数かずは 2 つの累乗るいじょう数すうの差さとして表あらわされる。実際じっさい、(n + 1)² − n² = 2n + 1, (n + 2)² − n² = 4n + 4 が成立せいりつする。

また、2 = 3³ − 5², 10 = 13³ − 3⁷ など、4 を法ほうとして 2 と合同ごうどうな数かず（単たん偶数ぐうすう）に関かんしても累乗るいじょう数すうの差さとして表あらわせる場合ばあいがあることが知しられている。6, 14, 34 などがそのように表あらわせるかどうかは知しられていない。

差さが 1 となる累乗るいじょう数すうの組くみは (8, 9) のみであると、1844年ねんにカタラン (Eugène Charles Catalan) によって予想よそうされ（カタラン予想よそう）、2002年ねんにプレダ・ミハイレスクによって証明しょうめいされた。

一般いっぱんに、累乗るいじょう数すうを小ちいさいほうから a₁ = 1, a₂ = 4, … と並ならべるとき、a_{i + 1} − a_i は i と共ともに無限むげん大だいに発散はっさんすると予想よそうされている（Pillai）。この予想よそうは、任意にんいの自然しぜん数すう a に対たいして方程式ほうていしき xⁿ − y^m = a は有限ゆうげん個この自然しぜん数すう解かい（x > 0, y > 0, m ≥ 2, n ≥ 2）しかないことと同値どうちである。Chudnovsky はこれを証明しょうめいしたと主張しゅちょうしたが、本当ほんとうに証明しょうめいされたのかは不明ふめいである。エルデシュは a_{i + 1} − a_i > i^c となる正せいの定数ていすう c が存在そんざいすると予想よそうしている。

方程式ほうていしき xⁿ − y^m = a（a は与あたえられた自然しぜん数すう, x > 0, y > 0, m ≥ 2, n ≥ 2）は a のほかにもう一ひとつの変数へんすうを固定こていすれば、有限ゆうげん個この解かいしか存在そんざいしないことが知しられている。m, n のいずれかを固定こていした場合ばあいには、Schinzel と Tijdeman の一般いっぱん的てきな不定ふてい方程式ほうていしき y^m = P(x) に関かんする結果けっかから従したがい、x, y のいずれかを固定こていした場合ばあいには一般いっぱんの線形せんけい循環じゅんかん数列すうれつに関かんする Shorey と Tijdeman の結果けっかから従したがう。

3, 7, 8, 15, … など、1 を除のぞく累乗るいじょう数すうから 1 を引ひいた数かずの逆ぎゃく和わは、1 になる。すなわち、

$1=\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }{\left({\frac {1}{p-1}}\right)}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}}+\cdots$

である。これは、ゴールドバッハ・オイラーの定理ていりと呼よばれている。

累乗るいじょう数すうに関かんする性質せいしつ

数字すうじ和わ・数字すうじ根ね

• ある数かず m を 2 乗じょうした数かずの各位かくいの和わ（数字すうじ和わ）を求もとめ、それをさらに 1 桁けたになるまで繰くり返かえすと結果けっか（数字すうじ根ね）は 1, 4, 7, 9 の 4 通とおりにしかならない。（例れい：64² = 4096 → 4 + 0 + 9 + 6 = 19 → 1 + 9 = 10 → 1 + 0 = 1）

• ある数かず m を n 乗じょうした数かずの各位かくいの和わが元もとの数かず m に等ひとしい数かずが存在そんざいする。（例れい：7⁴ = 2401 → 2 + 4 + 0 + 1 = 7）

n	m	OEIS
2	1, 9
3	1, 8, 17, 18, 26, 27	A046459
4	1, 7, 22, 25, 28, 36	A055575
5	1, 28, 35, 36, 46	A055576
6	1, 18, 45, 54, 64	A055577
7	1, 18, 27, 31, 34, 43, 53, 58, 68	A226971
8	1, 46, 54, 63
9	1, 54, 71, 81
10	1, 82, 85, 94, 97, 106, 117
11	1, 98, 107, 108
12	1, 108
13	1, 20, 40, 86, 103, 104, 106, 107, 126, 134, 135, 146
14	1, 91, 118, 127, 135, 154
15	1, 107, 134, 136, 152, 154, 172, 199
16	1, 133, 142, 163, 169, 181, 187
17	1, 80, 143, 171, 216
18	1, 172, 181
19	1, 80, 90, 155, 157, 171, 173, 181, 189, 207
20	1, 90, 181, 207

累乗るいじょう和わ

• 自然しぜん数すうの累乗るいじょう和わ $\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+3^{m}+\dotsb +n^{m}$

m	数かず	OEIS
1	三角さんかく数すうを参照さんしょう	A000217
2	四よん角錐かくすい数すうを参照さんしょう	A000330
3	立方りっぽう数すうを参照さんしょう	A000537
4	1, 17, 98, 354, 979, 2275, 4676, 8772, 15333, …	A000538
5	1, 33, 276, 1300, 4425, 12201, 29008, 61776, …	A000539
6	1, 65, 794, 4890, 20515, 67171, 184820, 446964, …	A000540
7	1, 129, 2316, 18700, 96825, 376761, 1200304, 3297456, …	A000541
8	1, 257, 6818, 72354, 462979, 2142595, 7907396, 24684612, …	A000542

形かたち	数かず	OEIS
1n + 2n + 3n	3, 6, 14, 36, 98, 276, 794, 2316, 6818, …	A001550
1n + 2n + 3n + 4n	4, 10, 30, 100, 354, 1300, 4890, 18700, …	A001551
1n + 2n + 3n + 4n + 5n	5, 15, 55, 225, 979, 4425, 20515, 96825, …	A001552
1n + 2n + 3n + ⋯ + 6n	6, 21, 91, 441, 2275, 12201, 67171, 376761, …	A001553
1n + 2n + 3n + ⋯ + 7n	7, 28, 140, 784, 4676, 29008, 184820, 1200304, …	A001554
1n + 2n + 3n + ⋯ + 8n	8, 36, 204, 1296, 8772, 61776, 446964, 3297456, …	A001555
1n + 2n + 3n + ⋯ + 9n	9, 45, 285, 2025, 15333, 120825, 978405, 8080425, …	A001556
1n + 2n + 3n + ⋯ + 10n	10, 55, 385, 3025, 25333, 220825, 1978405, …	A001557

上記じょうきの表ひょうにおいて最初さいしょの数かずは自然しぜん数すう、2 番目ばんめは三角さんかく数すう、3 番目ばんめは四よん角錐かくすい数すう、4 番目ばんめは三角さんかく数すうの 2 乗じょうである。

• 自然しぜん数すうの自然しぜん数すう乗じょう (k^k) の累乗るいじょう和わは 1, 5, 32, 288, 3413, 50069, 873612, 17650828, …である。（A001923）

(例れい. 288 = 1¹ + 2² + 3³ + 4⁴)

• 負まけの数かずを除のぞいた 3 連続れんぞく整数せいすうの 4 乗じょう和わは 17, 98, 353, 962, 2177, 4322, 7793, 13058, … である。（A160827）

• 同おなじ数すうの累乗るいじょう和わ（整数せいすう乗じょう） $\sum _{k=0}^{n}a^{k}=a^{0}+a^{1}+a^{2}+\dotsb +a^{n}={\dfrac {a^{n+1}-1}{a-1}}$

a	数かず	OEIS
2	1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, …	A000225
3	1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280, 9841, 29524, …	A003462
4	1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, 21845, 87381, 349525, 1398101, …	A002450
5	1, 6, 31, 156, 781, 3906, 19531, 97656, 488281, 2441406, …	A003463
6	1, 7, 43, 259, 1555, 9331, 55987, 335923, 2015539, 12093235, …	A003464
7	1, 8, 57, 400, 2801, 19608, 137257, 960800, 6725601, …	A023000
8	1, 9, 73, 585, 4681, 37449, 299593, 2396745, 19173961, …	A023001
9	1, 10, 91, 820, 7381, 66430, 597871, 5380840, 48427561, …	A002452
10	1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111, 111111111, …	A002275
11	1, 12, 133, 1464, 16105, 177156, 1948717, 21435888, 235794769, …	A016123
12	1, 13, 157, 1885, 22621, 271453, 3257437, 39089245, 469070941, …	A016125
13	1, 14, 183, 2380, 30941, 402234, 5229043, 67977560, 883708281, …	A091030
14	1, 15, 211, 2955, 41371, 579195, 8108731, 113522235, 1589311291, …	A135519
15	1, 16, 241, 3616, 54241, 813616, 12204241, 183063616, 2745954241, …	A135518
16	1, 17, 273, 4369, 69905, 1118481, 17895697, 286331153, 4581298449, …	A131865
17	1, 18, 307, 5220, 88741, 1508598, 25646167, 435984840, 7411742281, …	A091045
18	1, 19, 343, 6175, 111151, 2000719, 36012943, 648232975, 11668193551, …	A218721
19	1, 20, 381, 7240, 137561, 2613660, 49659541, 943531280, 17927094321, …	A218722
20	1, 21, 421, 8421, 168421, 3368421, 67368421, 1347368421, …	A064108
21	1, 22, 463, 9724, 204205, 4288306, 90054427, 1891142968, …	A218724
22	1, 23, 507, 11155, 245411, 5399043, 118778947, 2613136835, …	A218725
23	1, 24, 553, 12720, 292561, 6728904, 154764793, 3559590240, …	A218726
24	1, 25, 601, 14425, 346201, 8308825, 199411801, 4785883225, …	A218727
25	1, 26, 651, 16276, 406901, 10172526, 254313151, 6357828776, …	A218728
26	1, 27, 703, 18279, 475255, 12356631, 321272407, 8353082583, …	A218729
27	1, 28, 757, 20440, 551881, 14900788, 402321277, 10862674480, …	A218730
28	1, 29, 813, 22765, 637421, 17847789, 499738093, 13992666605, …	A218731
29	1, 30, 871, 25260, 732541, 21243690, 616067011, 17865943320, …	A218732
30	1, 31, 931, 27931, 837931, 25137931, 754137931, 22624137931, …	A218733

上記じょうきの表ひょうにおいて3番目ばんめの数かず (a⁰ + a¹ + a²) は A002061、4番目ばんめ (a⁰ + a¹ + a² + a³) は A053698を参照さんしょう。

• 同おなじ数すうの累乗るいじょう和わ（自然しぜん数すう乗じょう） $\sum _{k=1}^{n}a^{k}=a^{1}+a^{2}+\dotsb +a^{n}={\dfrac {a^{n+1}-a}{a-1}}={\dfrac {a(a^{n}-1)}{a-1}}$

a	数かず	OEIS
2	2, 6, 14, 30, 62, 126, 254, 510, 1022, 2046, 4094, 8190, …	A000918
3	3, 12, 39, 120, 363, 1092, 3279, 9840, 29523, …	A029858
4	4, 20, 84, 340, 1364, 5460, 21844, 87380, 349524, 1398100, …	A080674
5	5, 30, 155, 780, 3905, 19530, 97655, 488280, 2441405, …	A104891
6	6, 42, 258, 1554, 9330, 55986, 335922, 2015538, 12093234, …	A105281
7	7, 56, 399, 2800, 19607, 137256, 960799, 6725600, …	A104896
8	8, 72, 584, 4680, 37448, 299592, 2396744, 19173960, …	A052379
9	9, 90, 819, 7380, 66429, 597870, 5380839, 48427560, …	A052386
10	10, 110, 1110, 11110, 111110, 1111110, 11111110, 111111110, …	A105279
11	11, 132, 1463, 16104, 177155, 1948716, 21435887, 235794768, …	A105280
12	12, 156, 1884, 22620, 271452, 3257436, 39089244, 469070940, …

上記じょうきの表ひょうにおいて 2 番目ばんめの数かず (a¹ + a²) は矩形くけい数すう、3 番目ばんめ (a¹ + a² + a³) は A027444、4 番目ばんめは A027445、5 番目ばんめは A152031、6 番目ばんめは A228290、7 番目ばんめは A228291、8 番目ばんめは A228292、9 番目ばんめは A228293、10 番目ばんめは A228294 を参照さんしょう。

参考さんこう文献ぶんけん

• Section D9 in Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004.
• T. N. Shorey and R. Tijdeman, Exponetial Diophantine Equations, Cambridge Tracts in Mathematics, 87, Cambridge University Press, 1986.
• P. Mihăilescu, "Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture." J. reine angew. Math. 572 (2004), 167–195.

関連かんれん項目こうもく

• 平方へいほう数すう
• 立方りっぽう数すう
• 二に重じゅう平方へいほう数すう（四よん乗数じょうすう）
• 五ご乗数じょうすう
• 六ろく乗数じょうすう
• 七なな乗数じょうすう
• 八はち乗数じょうすう
• 累乗るいじょう
• カタラン予想よそう
• 素数そすう冪べき
• 二に個この平方へいほう数すうの和わ
• 三さん個この平方へいほう数すうの和わ
• 3つの立方りっぽう数すうの和わ

外部がいぶリンク

• Ivars Peterson's MathTrek
• Metsänkylä, Tauno (2003). Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved, Bull. (New Ser.) Amer. Math. Soc. 41 (1), 43–57.
• Weisstein, Eric W. "Perfect Power". mathworld.wolfram.com (英語えいご).