Topologija

Möbiusova traka, koja ima jednu površinu i jednu ivicu, vrsta je objekta koji se proučava u topologiji.

Topologija (od grč. τόπος = "mjesto" i λόγος = "nauka"), tj. nauka o topološkim mjestima, područje je matematike koje se bavi svojstvima prostora koja su sačuvana pod neprekidnim deformacijama, kao što su zatezanje i savijanje, ali ne cijepanje ili lijepljenje. Važna topološka svojstva uključuju povezanost i kompaktnost.

Topologija se razvila kao polje nauke iz geometrije i teorije skupova, kroz analizu koncepata kao što su prostor, dimenzija i transformacija. Takve ideje idu unazad do Gottfrieda Leibniza, koji je u 17. vijeku zamislio geometria situs (grčko-latinski za "geometrija mjesta") i analysis situs (grčko-latinski za "uzimanje bez mjesta"). Termin topologija uveo je Johann Benedict Listing u 19. vijeku iako ideja o topološkom mjestu nije razvijena sve do prvih decenija 20. vijeka. Do sredine 20. vijeka topologija je postala veća grana matematike.

Topologija ima nekoliko polja:

• Opća topologija uspostavlja temeljne aspekte topologije, istražuje svojstva topoloških prostora i proučava koncepte svojstvene za njih. Ona sadrži topologiju tačka-skup, što je temeljna topologija korištena u svim ostalim granama (uključujući teme poput kompaktnosti i spojivosti).
• Algebarska topologija pokušava izmjeriti stepene spojivosti korištenjem algebarskih konstruktora, kao što su homologija i homotopska grupa.
• Diferencijalna topologija bavi se diferencijalnim funkcijama na diferencijalnim višestrukostima. Blisko je povezana sa diferencijalnom geometrijom i zajedno čine geometrijsku teoriju diferencijabilnih višestrukosti.
• Geometrijska topologija primarno proučava mnogostrukosti i njihova proširenja (plasmane) u ostalim mnogostrukostima. Naročito aktivno područje je topologija niže dimenzije, koja proučava višestrukosti od četiri ili manje dimenzija. Ovo uključuje teoriju čvora, nauku o matematičkim čvorovima.

Trodimenzionalni prikaz očvrsnutog trolisnog čvora, najjednostavnijeg netrivijalnog čvora.

Također pogledajte: rječnik topologije za definicije nekih od termina korištenih u topologiji i topološki prostor za više tehnički tretman teme.

Historija

Sedam mostova Königsberga bio je problem koji je riješio Euler.

Topologija je počela s istraživanjem određenih pitanja u geometriji. Eulerov rad iz 1736. vezan za Sedam mostova Königsberga smatra se jednom od prvih akademskih rasprava u modernoj topologiji.

Termin "Topologie" u njemački jezik uveo je Johann Benedict Listing 1847. u djelu Vorstudien zur Topologie. On je koristio ovu riječ 10 godina u prepisci prije no što se prvi put pojavila u štampi. Engleska forma topology korištena je 1883. u Listingovoj čitulji u časopisu Nature za razlikovanje "kvalitativne geometrije od uobičajene geometrije u kojoj su tretirane kvantitativne veze". Termin topolog u smislu specijalista u topologiji korišten je 1905. u magazinu Spectator. Ipak, nijedna od ovih upotreba ne odgovara modernoj definiciji topologije.

Moderna topologija jako zavisi od ideja teorija skupova, koje je razvio Georg Cantor u kasnijem dijelu 19. vijeka. Osim uspostavljanja osnovnih ideja teorije skupova, Cantor je smatrao skup tačaka u Euklidskom prostoru dijelom njegovih studija Fourierovih redova.

Henri Poincaré objavio je Analysis Situs 1895, uvodeći koncepte homotopije i homologije, koje se sada smatraju dijelom algebarske topologije.

Objedinjujući rad Georga Cantora, Vita Volterre, Cesarea Arzele, Jacquesa Hadamarda, Giulija Ascolija i ostalih na funkciji prostora, Maurice Fréchet predstavio je metrički prostor 1906. Metrički prostor danas se smatra specijalnim slučajem generalnog topološkog prostora. Godine 1914. Felix Hausdorff osmislio je termin "topološki prostor" i dao definiciju za ono što se sada naziva Hausdorffov prostor. Trenutno, topološki prostor je blaga generalizacija Hausdorffovih prostora, koju je 1922. dao Kazimierz Kuratowski.

Za daljnji razvoj pogledati: topologija skupa tačaka i algebarska topologija.

Literatura

• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, decembar 1989; ISBN 3-88538-006-4.
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
• Breitenberger, E. (2006). "Johann Benedict Listing". u James, I. M. (ured.). History of Topology. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5.
• Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8. (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
• Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, 2000; ISBN 0-486-41148-6
• Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press. ISBN 1-56025-826-8. (pruža popularni uvod u topologiju i geometriju)
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd izd.), Dover Publications Inc., ISBN 0-486-66522-4 CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)

Vanjski linkovi

• Hazewinkel, Michiel, ured. (2001), "Topology, general", Matematička enciklopedija, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Elementary Topology: A First Course – Viro, Ivanov, Njecvjetajev, Harlamov.
• Topologija na Curlie, DMOZ
• The Topological Zoo Arhivirano 4. 2. 2012. na Wayback Machine na The Geometry Centeru
• Atlas topologije
• Topology Course Lecture Notes, Aisling McCluskey i Brian McMaster, Topology Atlas.
• Rječnik topologije (en)
• Moscow 1935: Topology moving towards America, historijski esej Hasslera Whitneya