El teorema de Fubini , que deu el seu nom a Guido Fubini , estableix que si
∫
A
×
B
|
f
(
x
,
y
)
|
d
(
x
,
y
)
<
∞
,
{\displaystyle \int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty ,}
aleshores la integral respecte al producte de dos intervals en l'espai
A
×
B
{\displaystyle A\times B}
∫
A
(
∫
B
f
(
x
,
y
)
d
y
)
d
x
=
∫
B
(
∫
A
f
(
x
,
y
)
d
x
)
d
y
=
{\displaystyle \int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy=}
=
∫
A
×
B
f
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
,
{\displaystyle =\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y),}
on les dues primeres integrals són integrals simples i on la tercera és una integral sobre el producte dels dos intervals.
A més a més, també es compleix que si
f
(
x
,
y
)
=
h
(
x
)
g
(
y
)
{\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)}
aleshores
∫
A
h
(
x
)
d
x
∫
B
g
(
y
)
d
y
=
∫
A
×
B
h
(
x
)
g
(
y
)
d
(
x
,
y
)
=
{\displaystyle \int _{A}h(x)\,dx\int _{B}g(y)\,dy=\int _{A\times B}h(x)g(y)\,d(x,y)=}
=
∫
A
×
B
f
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle =\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y).}
Quan la integral de més amunt no té un valor finit, la integració doble pot donar valors diferents.
El teorema de Tonelli està fortament relacionat amb el de Fubini.
Siguin (X , A , μ みゅー Y , B , ν にゅー X ×Y , C , μ みゅー ν にゅー f de X ×Y a la recta real estesa (recta real que inclou +∞ i −∞), si f és integrable en μ みゅー ν にゅー
∫
X
×
Y
|
f
|
d
(
μ みゅー ×
ν にゅー )
<
∞
{\displaystyle \int _{X\times Y}|f|d(\mu \times \nu )<\infty }
aleshores es compleixen les condicions següents:
1. Per quasi tot x de X , la funció f x y (de Y ) a f (x , y ) és integrable. El mateix succeeix per f y
2. La funció definida per
F
X
(
x
)
=
{
∫
Y
f
x
d
ν にゅー
si
f
x
és integrable
0
altrament
{\displaystyle F_{X}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}\int _{Y}f_{x}d\nu &{\hbox{si }}f_{x}{\hbox{ és integrable}}\\0&{\hbox{altrament}}\end{array}}\right.}
és integrable. El mateix succeeix per F Y
3. Aquestes integrals satisfan
∫
X
F
X
d
μ みゅー =
∫
Y
F
Y
d
ν にゅー =
∫
X
×
Y
f
d
(
μ みゅー ×
ν にゅー )
{\displaystyle \int _{X}F_{X}d\mu =\int _{Y}F_{Y}d\nu =\int _{X\times Y}fd(\mu \times \nu )}
L'avaluació de la integral de Gauß és una de les aplicacions del teorema de Fubini. Això és, que es compleix la següent igualtat
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
d
x
=
π ぱい
.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}
