De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
La versió per a impressora ja no és compatible i pot tenir errors de representació. Actualitzeu les adreces d'interès del navegador i utilitzeu la funció d'impressió per defecte del navegador.
En matemàtiques hi ha dues funcions especials conegudes com a integrals d'Euler :[1]
la integral d'Euler de primera espècie : la funció beta d'Euler .
β べーた
(
x
,
y
)
=
∫
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {\beta } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt}
.
la integral d'Euler de segona espècie : la funció gamma d'Euler .
Γ がんま
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}
.
A través del teorema de Fubini es demostra una relació important que uneix les dues funcions i permet expressar la funció beta respecte a la funció gamma, mostrant també de manera immediata la simetria de beta.
β べーた
(
x
,
y
)
=
Γ がんま
(
x
)
⋅
Γ がんま
(
y
)
Γ がんま
(
x
+
y
)
{\displaystyle \beta (x,y)={\frac {\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}
.
La funció gamma és una extensió del factorial dels nombres reals i dels nombres complexos ; per aquest motiu, les dues funcions assumeixen una expressió més simple en el domini dels nombres naturals (
m
,
n
∈
N
{\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }
):
Γ がんま
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}
β べーた
(
n
,
m
)
=
(
n
−
1
)
!
(
m
−
1
)
!
(
n
+
m
−
1
)
!
=
n
+
m
n
m
(
n
+
m
n
)
{\displaystyle \mathrm {\beta } (n,m)={(n-1)!(m-1)! \over (n+m-1)!}={n+m \over nm{n+m \choose n}}}
.
Referències
↑ Jeffrey , Alan. Handbook of Mathematical Formulas (en anglès). Academic Press, 2008, p. 234–235. ISBN 978-0-12-374288-9 .
Vegeu també