Cos de descomposició
En matemàtiques i més precisament en àlgebra en la teoria de Galois, el cos de descomposició d'un polinomi P(X) és l'extensió de cos més petita que conté totes les arrels de P(X). Es demostra que aquesta extensió existeix sempre.
Un cos de descomposició d'un polinomi és una extensió finita i normal. Si és separable, és una extensió de Galois.
S'aplica tota la teoria de Galois, un cos d'aquest tipus es beneficia de teoremes potents, com el teorema de l'element primitiu o el teorema fonamental de la teoria de Galois. Llavors nombrosos problemes es resolen amb l'ajuda d'aquesta estructura. Es pot citar per exemple el teorema d'Abel o la determinació dels polígons construïbles amb regle i compàs.
Definició
[modifica]Les notacions següents es fan servir a tot l'article, sigui K un cos, P(X) un polinomi amb coeficients a K i
- Existeix una extensió mínima de cos L sobre K tal que el polinomi P(X) es factoritzable (és a dir que és el producte de polinomis del primer grau) sobre L. Mínim significa aquí que tota subextensió F de L que contingui totes les arrels de P(X) és igual a L. Aquesta extensió s'anomena cos de descomposició de P(X).
- Sigui (l1, ..., ln) una família f d'elements algebraics de
Ω . El cos més petit deΩ que conte la família i K es nota K(l1, ..., ln) i s'anomena l'extensió engendrada per la família f.
- Sigui (l1, ..., ln) una família f d'elements algebraics de
L és isomorf a un subcos de
Si r1, ..., rn són les arrels de P(X) a L, llavors L s'identifica amb K(r1, ..., rn). La demostració de l'existència del cos de descomposició es farà en el paràgraf Extensió algebraica i polinomi.
Observació: Existeix una altra convenció, el cos de descomposició d'un polinomi P(X) sobre K designa tota extensió que conté totes les arrels de P(X), llavors el cos mínim s'anomena el cos de les arrels.
Exemples
[modifica]El cos de descomposició del polinomi X²+1 sobre el cos dels nombres reals és el cos dels nombres complexos.
Llavors es construeix el cos de descomposició L del polinomi P(X) = X3 - 2 sobre el cos dels nombres racionals. Sigui r l'arrel cúbica (real) de 2, i jo l'arrel cúbica (acomplexa) de la unitat tenint un component imaginari positiu. Llavors les altres dues arrels són j.r i j².r. Cap arrel no és racional, per tant el polinomi és irreductible (en efecte tot polinomi de grau tres que no és irreductible posseeix una arrel racional).
Consideris l'extensió K1 igual a Q(r), és a dir l'extensió engendrada per r. Com que P(X) és irreductible, és una extensió de grau tres isomorfa a Q[X]/(P(X)Q[X]) i una base del qual és {1, r, r²}.
Sobre K1 el polinomi P(X) té una arrel r. Una divisió de P(X) entre el polinomi X - r dona la igualtat:
Se'n dedueix que L és igual a K1(s) que és una extensió de grau dos de K1 i una base del qual és {1, s}.
Es té la igualtat sobre els graus [L:Q] =[L:K1].[K1:Q]= 3 x 2 = 6. Se'n dedueix que una base de L sobre K és {1, r, r²,s,s.r, s.r²}.
Observació: el mètode presentat aquí és genèric, es pot fer servir per construir cossos de descomposició.
Propietats
[modifica]- Un cos de descomposició és una extensió finita.
- Dos cossos de descomposició de P(X) sobre un cos K són isomorfs com extensions de K.
- Si un cos de descomposició està generat per elements separables, llavors és separable i s'aplica el teorema de l'element primitiu. En conseqüència, l'extensió és separable i simple.
- Si P(X) és irreductible i separable, llavors el cos de descomposició és de Galois: Siguin r1,...,rn les arrels de P(X) en
Ω . Llavors L és igual a K(r1,...,rn). Tot morfisme de L enΩ permuta les arrels, perquè deixa estable L, cosa que mostra que l'extensió és normal. Com que L és una extensió separable i normal, és doncs de Galois.
- Supoant que el polinomi P(X) sigui separable, el grup de Galois opera transitivament sobre el conjunt R de les arrels si, i només si, el polinomi és irreductible.[1]
En efecte, si P no és irreductible, existeixen dos polinomis P1 i P₂ de grau estrictament positiu tals que P és igual a P1.P₂. Siguin
Recíprocament si P és irreductible, siguin
Notes
[modifica]- ↑ Cette propriété provient de : A. et R. Douady Algèbre et théories galoisiennes Cassini 2005 p 307 ISBN 2842250052
Referències
[modifica]- Adrien Douady et Régine Douady, Algèbre et théories galoisiennes
- Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808
- Samuel, Pierre. Théorie algébrique des nombres.
Enllaços externs
[modifica]- (francès) Une courte présentation des extensions algébriques Arxivat 2007-10-12 a Wayback Machine. par Bernard le Stum Université de Rennes 1 2001
- (francès) Un cours de DEA sur la théorie de Galois Arxivat 2012-03-15 a Wayback Machine. par Alain Kraus Université de Paris VI 1998
- (francès) Les correspondances de Galois Arxivat 2010-06-15 a Wayback Machine. dans les-mathématiques.net