Egenværdi, egenvektor og egenrum
Indenfor matematikken, primært lineær algebra, er en egenvektor af en transformation defineret som en vektor der har uændret retning efter denne transformation. Egenværdien er det antal gange vektoren er blevet skaleret efter den tilsvarende transformation, og sidst men ikke mindst defineres et egenrum som en mængde af egenvektorer med fælles egenværdi.
Egenværdiproblemet
[redigér | rediger kildetekst]Normalt formaliserer man de tre begreber ved det såkaldte egenværdiproblem, som blot er en matematisk skrivemåde der samler informationerne i en enkelt ligning:
Dette er altså ligningen for en lineær afbildning, med en matrix A ganget med en vektor x, som tilsammen giver et multiplum af vektoren x. Netop det at vektoren giver et antal gange af sig selv er selve "problemet".
Lambda (
Fremgangsmåde
[redigér | rediger kildetekst]Det er muligt at bestemme egenværdier og egenvektorer for en vilkårlig matrix, ud fra en ganske bestemt algoritme, som i princippet indeholder ganske få beregninger. Rækkefølgen foregår således at man først finder frem til egenværdierne, for derefter at finde frem til de dertil hørende egenvektorer. Egenværdierne kommer ud af det såkaldte karakteristiske polynomium til matricen A hvor karakterligningen, som den også kaldes, udtrækkes på denne måde:
I formlen betegner A altså matricen angivet fra før. I betegner en enhedsmatrix af samme størrelse som A, og når