Ein Dreieck mit den üblichen Bezeichnungen
Die folgende Liste enthält die meisten bekannten Formeln aus der Trigonometrie in der Ebene . Die meisten dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen .
Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck
A
B
C
{\displaystyle ABC}
habe die Seiten
a
=
B
C
{\displaystyle a=BC}
,
b
=
C
A
{\displaystyle b=CA}
und
c
=
A
B
{\displaystyle c=AB}
, die Winkel
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha }
,
β べーた
{\displaystyle \beta }
und
γ がんま
{\displaystyle \gamma }
bei den Ecken
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
und
C
{\displaystyle C}
. Ferner seien
r
{\displaystyle r}
der Umkreisradius ,
ρ ろー
{\displaystyle \rho }
der Inkreisradius und
ρ ろー
a
{\displaystyle \rho _{a}}
,
ρ ろー
b
{\displaystyle \rho _{b}}
und
ρ ろー
c
{\displaystyle \rho _{c}}
die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
bzw.
C
{\displaystyle C}
gegenüberliegen) des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
. Die Variable
s
{\displaystyle s}
steht für den halben Umfang des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
:
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
.
Schließlich wird die Fläche des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
mit
F
{\displaystyle F}
bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils in den entsprechenden Abschnitten, in denen sie vorkommen, erläutert.
Es ist zu beachten, dass hier die Bezeichnungen für den Umkreisradius
r
{\displaystyle r}
, den Inkreisradius
ρ ろー
{\displaystyle \rho }
und die drei Ankreisradien
ρ ろー
a
{\displaystyle \rho _{a}}
,
ρ ろー
b
{\displaystyle \rho _{b}}
,
ρ ろー
c
{\displaystyle \rho _{c}}
benutzt werden. Oft werden davon abweichend für dieselben Größen auch die Bezeichnungen
R
{\displaystyle R}
,
r
{\displaystyle r}
,
r
a
{\displaystyle r_{a}}
,
r
b
{\displaystyle r_{b}}
,
r
c
{\displaystyle r_{c}}
verwendet.
α あるふぁ
+
β べーた
+
γ がんま
=
180
∘
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}
Formel 1:
a
sin
α あるふぁ
=
b
sin
β べーた
=
c
sin
γ がんま
=
2
r
=
a
b
c
2
F
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r={\frac {abc}{2F}}}
Formel 2:
wenn
α あるふぁ
=
90
∘
{\displaystyle \alpha =90^{\circ }}
sin
β べーた
=
b
a
{\displaystyle \sin \beta ={\frac {b}{a}}}
sin
γ がんま
=
c
a
{\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{a}}}
wenn
β べーた
=
90
∘
{\displaystyle \beta =90^{\circ }}
sin
α あるふぁ
=
a
b
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{b}}}
sin
γ がんま
=
c
b
{\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}}
wenn
γ がんま
=
90
∘
{\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
sin
α あるふぁ
=
a
c
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}}}
sin
β べーた
=
b
c
{\displaystyle \sin \beta ={\frac {b}{c}}}
Formel 1:
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α あるふぁ
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos \alpha }
b
2
=
c
2
+
a
2
−
2
c
a
cos
β べーた
{\displaystyle b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\ \cos \beta }
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ がんま
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos \gamma }
Formel 2:
wenn
α あるふぁ
=
90
∘
{\displaystyle \alpha =90^{\circ }}
cos
β べーた
=
c
a
{\displaystyle \cos \beta ={\frac {c}{a}}}
cos
γ がんま
=
b
a
{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {b}{a}}}
wenn
β べーた
=
90
∘
{\displaystyle \beta =90^{\circ }}
cos
α あるふぁ
=
c
b
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {c}{b}}}
cos
γ がんま
=
a
b
{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a}{b}}}
wenn
γ がんま
=
90
∘
{\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
a
2
+
b
2
=
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
(Satz des Pythagoras )
cos
α あるふぁ
=
b
c
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}}
cos
β べーた
=
a
c
{\displaystyle \cos \beta ={\frac {a}{c}}}
a
=
b
cos
γ がんま
+
c
cos
β べーた
{\displaystyle a=b\,\cos \gamma +c\,\cos \beta }
b
=
c
cos
α あるふぁ
+
a
cos
γ がんま
{\displaystyle b=c\,\cos \alpha +a\,\cos \gamma }
c
=
a
cos
β べーた
+
b
cos
α あるふぁ
{\displaystyle c=a\,\cos \beta +b\,\cos \alpha }
b
+
c
a
=
cos
β べーた
−
γ がんま
2
sin
α あるふぁ
2
,
c
+
a
b
=
cos
γ がんま
−
α あるふぁ
2
sin
β べーた
2
,
a
+
b
c
=
cos
α あるふぁ
−
β べーた
2
sin
γ がんま
2
{\displaystyle {\frac {b+c}{a}}={\frac {\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad {\frac {c+a}{b}}={\frac {\cos {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}{\sin {\frac {\beta }{2}}}},\quad {\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\sin {\frac {\gamma }{2}}}}}
b
−
c
a
=
sin
β べーた
−
γ がんま
2
cos
α あるふぁ
2
,
c
−
a
b
=
sin
γ がんま
−
α あるふぁ
2
cos
β べーた
2
,
a
−
b
c
=
sin
α あるふぁ
−
β べーた
2
cos
γ がんま
2
{\displaystyle {\frac {b-c}{a}}={\frac {\sin {\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}},\quad {\frac {c-a}{b}}={\frac {\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}{\cos {\frac {\beta }{2}}}},\quad {\frac {a-b}{c}}={\frac {\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\cos {\frac {\gamma }{2}}}}}
Formel 1:
b
+
c
b
−
c
=
tan
β べーた
+
γ がんま
2
tan
β べーた
−
γ がんま
2
=
cot
α あるふぁ
2
tan
β べーた
−
γ がんま
2
{\displaystyle {\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan {\frac {\beta +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}}
Analoge Formeln gelten für
a
+
b
a
−
b
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}}
und
c
+
a
c
−
a
{\displaystyle {\frac {c+a}{c-a}}}
:
a
+
b
a
−
b
=
tan
α あるふぁ
+
β べーた
2
tan
α あるふぁ
−
β べーた
2
=
cot
γ がんま
2
tan
α あるふぁ
−
β べーた
2
{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}}
c
+
a
c
−
a
=
tan
γ がんま
+
α あるふぁ
2
tan
γ がんま
−
α あるふぁ
2
=
cot
β べーた
2
tan
γ がんま
−
α あるふぁ
2
{\displaystyle {\frac {c+a}{c-a}}={\frac {\tan {\frac {\gamma +\alpha }{2}}}{\tan {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{\tan {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}}
Wegen
tan
(
−
x
)
=
−
tan
(
x
)
{\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)}
bleibt eine dieser Formel gültig, wenn sowohl die Seiten als auch die zugehörigen Winkel vertauscht werden, also etwa:
a
+
c
a
−
c
=
tan
α あるふぁ
+
γ がんま
2
tan
α あるふぁ
−
γ がんま
2
=
cot
β べーた
2
tan
α あるふぁ
−
γ がんま
2
{\displaystyle {\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{\tan {\frac {\alpha -\gamma }{2}}}}}
Formel 2:
wenn
α あるふぁ
=
90
∘
{\displaystyle \alpha =90^{\circ }}
tan
β べーた
=
b
c
{\displaystyle \tan \beta ={\frac {b}{c}}}
tan
γ がんま
=
c
b
{\displaystyle \tan \gamma ={\frac {c}{b}}}
wenn
β べーた
=
90
∘
{\displaystyle \beta =90^{\circ }}
tan
α あるふぁ
=
a
c
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a}{c}}}
tan
γ がんま
=
c
a
{\displaystyle \tan \gamma ={\frac {c}{a}}}
wenn
γ がんま
=
90
∘
{\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
tan
α あるふぁ
=
a
b
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a}{b}}}
tan
β べーた
=
b
a
{\displaystyle \tan \beta ={\frac {b}{a}}}
Im Folgenden bedeutet
s
{\displaystyle s}
immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
, also
s
=
a
+
b
+
c
2
{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}
.
s
−
a
=
b
+
c
−
a
2
{\displaystyle s-a={\frac {b+c-a}{2}}}
s
−
b
=
c
+
a
−
b
2
{\displaystyle s-b={\frac {c+a-b}{2}}}
s
−
c
=
a
+
b
−
c
2
{\displaystyle s-c={\frac {a+b-c}{2}}}
(
s
−
b
)
+
(
s
−
c
)
=
a
{\displaystyle \left(s-b\right)+\left(s-c\right)=a}
(
s
−
c
)
+
(
s
−
a
)
=
b
{\displaystyle \left(s-c\right)+\left(s-a\right)=b}
(
s
−
a
)
+
(
s
−
b
)
=
c
{\displaystyle \left(s-a\right)+\left(s-b\right)=c}
(
s
−
a
)
+
(
s
−
b
)
+
(
s
−
c
)
=
s
{\displaystyle \left(s-a\right)+\left(s-b\right)+\left(s-c\right)=s}
sin
α あるふぁ
2
=
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
b
c
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{bc}}}}
sin
β べーた
2
=
(
s
−
c
)
(
s
−
a
)
c
a
{\displaystyle \sin {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-c\right)\left(s-a\right)}{ca}}}}
sin
γ がんま
2
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
a
b
{\displaystyle \sin {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)}{ab}}}}
cos
α あるふぁ
2
=
s
(
s
−
a
)
b
c
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-a\right)}{bc}}}}
cos
β べーた
2
=
s
(
s
−
b
)
c
a
{\displaystyle \cos {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-b\right)}{ca}}}}
cos
γ がんま
2
=
s
(
s
−
c
)
a
b
{\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {s\left(s-c\right)}{ab}}}}
tan
α あるふぁ
2
=
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
(
s
−
a
)
{\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s\left(s-a\right)}}}}
tan
β べーた
2
=
(
s
−
c
)
(
s
−
a
)
s
(
s
−
b
)
{\displaystyle \tan {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-c\right)\left(s-a\right)}{s\left(s-b\right)}}}}
tan
γ がんま
2
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
s
(
s
−
c
)
{\displaystyle \tan {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)}{s\left(s-c\right)}}}}
s
=
4
r
cos
α あるふぁ
2
cos
β べーた
2
cos
γ がんま
2
{\displaystyle s=4r\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}
s
−
a
=
4
r
cos
α あるふぁ
2
sin
β べーた
2
sin
γ がんま
2
{\displaystyle s-a=4r\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}}
Der Flächeninhalt des Dreiecks wird hier mit
F
{\displaystyle F}
bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit
A
{\displaystyle A}
, um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke
A
{\displaystyle A}
auszuschließen):
Heronsche Formel:
F
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
=
1
4
(
a
+
b
+
c
)
(
b
+
c
−
a
)
(
c
+
a
−
b
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle F={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}}
F
=
1
4
2
(
b
2
c
2
+
c
2
a
2
+
a
2
b
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle F={\frac {1}{4}}{\sqrt {2\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right)-\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)}}}
Weitere Flächenformeln:
F
=
1
2
b
c
sin
α あるふぁ
=
1
2
c
a
sin
β べーた
=
1
2
a
b
sin
γ がんま
{\displaystyle F={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta ={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }
F
=
1
2
a
h
a
=
1
2
b
h
b
=
1
2
c
h
c
{\displaystyle F={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}}
, wobei
h
a
{\displaystyle h_{a}}
,
h
b
{\displaystyle h_{b}}
und
h
c
{\displaystyle h_{c}}
die Längen der von
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
bzw.
C
{\displaystyle C}
ausgehenden Höhen des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
sind.
F
=
2
r
2
sin
α あるふぁ
sin
β べーた
sin
γ がんま
{\displaystyle F=2r^{2}\sin \,\alpha \,\sin \,\beta \,\sin \,\gamma }
F
=
a
b
c
4
r
{\displaystyle F={\frac {abc}{4r}}}
F
=
ρ ろー
s
=
ρ ろー
a
(
s
−
a
)
=
ρ ろー
b
(
s
−
b
)
=
ρ ろー
c
(
s
−
c
)
{\displaystyle F=\rho s=\rho _{a}\left(s-a\right)=\rho _{b}\left(s-b\right)=\rho _{c}\left(s-c\right)}
F
=
ρ ろー
ρ ろー
a
ρ ろー
b
ρ ろー
c
{\displaystyle F={\sqrt {\rho \rho _{a}\rho _{b}\rho _{c}}}}
F
=
4
ρ ろー
r
cos
α あるふぁ
2
cos
β べーた
2
cos
γ がんま
2
{\displaystyle F=4\rho r\cos \,{\frac {\alpha }{2}}\,\cos \,{\frac {\beta }{2}}\,\cos \,{\frac {\gamma }{2}}}
F
=
s
2
tan
α あるふぁ
2
tan
β べーた
2
tan
γ がんま
2
{\displaystyle F=s^{2}\tan \,{\frac {\alpha }{2}}\,\tan \,{\frac {\beta }{2}}\,\tan \,{\frac {\gamma }{2}}}
F
=
ρ ろー
2
h
a
h
b
h
c
(
h
a
−
2
ρ ろー
)
(
h
b
−
2
ρ ろー
)
(
h
c
−
2
ρ ろー
)
{\displaystyle F=\rho ^{2}{\sqrt {\dfrac {h_{a}\,h_{b}\,h_{c}}{(h_{a}-2\rho )(h_{b}-2\rho )(h_{c}-2\rho )}}}}
, mit
1
ρ ろー
=
1
h
a
+
1
h
b
+
1
h
c
{\displaystyle {\dfrac {1}{\rho }}={\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}
F
=
r
h
a
h
b
h
c
2
{\displaystyle F={\sqrt {\dfrac {r\,h_{a}\,h_{b}\,h_{c}}{2}}}}
F
=
h
a
h
b
h
c
2
ρ ろー
(
sin
α あるふぁ
+
sin
β べーた
+
sin
γ がんま
)
{\displaystyle F={\dfrac {\,h_{a}\,h_{b}\,h_{c}}{2\rho \,{(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )}}}}
Erweiterter Sinussatz:
a
sin
α あるふぁ
=
b
sin
β べーた
=
c
sin
γ がんま
=
2
r
=
a
b
c
2
F
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r={\frac {abc}{2F}}}
a
=
2
r
sin
α あるふぁ
{\displaystyle a=2r\,\sin \alpha }
b
=
2
r
sin
β べーた
{\displaystyle b=2r\,\sin \beta }
c
=
2
r
sin
γ がんま
{\displaystyle c=2r\,\sin \gamma }
r
=
a
b
c
4
F
{\displaystyle r={\frac {abc}{4F}}}
In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der Inkreisradius
ρ ろー
{\displaystyle \rho }
und die Ankreisradien
ρ ろー
a
{\displaystyle \rho _{a}}
,
ρ ろー
b
{\displaystyle \rho _{b}}
und
ρ ろー
c
{\displaystyle \rho _{c}}
des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
vorkommen.
ρ ろー
=
(
s
−
a
)
tan
α あるふぁ
2
=
(
s
−
b
)
tan
β べーた
2
=
(
s
−
c
)
tan
γ がんま
2
{\displaystyle \rho =\left(s-a\right)\tan {\frac {\alpha }{2}}=\left(s-b\right)\tan {\frac {\beta }{2}}=\left(s-c\right)\tan {\frac {\gamma }{2}}}
ρ ろー
=
4
r
sin
α あるふぁ
2
sin
β べーた
2
sin
γ がんま
2
=
s
tan
α あるふぁ
2
tan
β べーた
2
tan
γ がんま
2
{\displaystyle \rho =4r\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=s\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}}
ρ ろー
=
r
(
cos
α あるふぁ
+
cos
β べーた
+
cos
γ がんま
−
1
)
{\displaystyle \rho =r\left(\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1\right)}
ρ ろー
=
F
s
=
a
b
c
4
r
s
{\displaystyle \rho ={\frac {F}{s}}={\frac {abc}{4rs}}}
ρ ろー
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
=
1
2
(
b
+
c
−
a
)
(
c
+
a
−
b
)
(
a
+
b
−
c
)
a
+
b
+
c
{\displaystyle \rho ={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{a+b+c}}}}
ρ ろー
=
a
cot
β べーた
2
+
cot
γ がんま
2
=
b
cot
γ がんま
2
+
cot
α あるふぁ
2
=
c
cot
α あるふぁ
2
+
cot
β べーた
2
{\displaystyle \rho ={\frac {a}{\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {b}{\cot {\frac {\gamma }{2}}+\cot {\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {c}{\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}}}}
a
⋅
b
+
b
⋅
c
+
c
⋅
a
=
s
2
+
ρ ろー
2
+
4
⋅
ρ ろー
⋅
r
{\displaystyle a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a=s^{2}+\rho ^{2}+4\cdot \rho \cdot r}
[ 1]
Wichtige Ungleichung:
2
ρ ろー
≤
r
{\displaystyle 2\rho \leq r}
; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn Dreieck
A
B
C
{\displaystyle ABC}
gleichseitig ist.
ρ ろー
a
=
s
tan
α あるふぁ
2
=
(
s
−
b
)
cot
γ がんま
2
=
(
s
−
c
)
cot
β べーた
2
{\displaystyle \rho _{a}=s\tan {\frac {\alpha }{2}}=\left(s-b\right)\cot {\frac {\gamma }{2}}=\left(s-c\right)\cot {\frac {\beta }{2}}}
ρ ろー
a
=
4
r
sin
α あるふぁ
2
cos
β べーた
2
cos
γ がんま
2
=
(
s
−
a
)
tan
α あるふぁ
2
cot
β べーた
2
cot
γ がんま
2
{\displaystyle \rho _{a}=4r\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}=\left(s-a\right)\tan {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}}
ρ ろー
a
=
r
(
−
cos
α あるふぁ
+
cos
β べーた
+
cos
γ がんま
+
1
)
{\displaystyle \rho _{a}=r\left(-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +1\right)}
ρ ろー
a
=
F
s
−
a
=
a
b
c
4
r
(
s
−
a
)
{\displaystyle \rho _{a}={\frac {F}{s-a}}={\frac {abc}{4r\left(s-a\right)}}}
ρ ろー
a
=
s
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
−
a
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
(
c
+
a
−
b
)
(
a
+
b
−
c
)
b
+
c
−
a
{\displaystyle \rho _{a}={\sqrt {\frac {s\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s-a}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a+b+c\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}{b+c-a}}}}
Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel für
ρ ろー
a
{\displaystyle \rho _{a}}
gilt in analoger Form für
ρ ろー
b
{\displaystyle \rho _{b}}
und
ρ ろー
c
{\displaystyle \rho _{c}}
.
1
ρ ろー
=
1
ρ ろー
a
+
1
ρ ろー
b
+
1
ρ ろー
c
{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{\rho _{a}}}+{\frac {1}{\rho _{b}}}+{\frac {1}{\rho _{c}}}}
Die Längen der von
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
bzw.
C
{\displaystyle C}
ausgehenden Höhen des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
werden mit
h
a
{\displaystyle h_{a}}
,
h
b
{\displaystyle h_{b}}
und
h
c
{\displaystyle h_{c}}
bezeichnet.
h
a
=
b
sin
γ がんま
=
c
sin
β べーた
=
2
F
a
=
2
r
sin
β べーた
sin
γ がんま
=
2
r
(
cos
α あるふぁ
+
cos
β べーた
cos
γ がんま
)
{\displaystyle h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta ={\frac {2F}{a}}=2r\sin \beta \sin \gamma =2r\left(\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma \right)}
h
b
=
c
sin
α あるふぁ
=
a
sin
γ がんま
=
2
F
b
=
2
r
sin
γ がんま
sin
α あるふぁ
=
2
r
(
cos
β べーた
+
cos
α あるふぁ
cos
γ がんま
)
{\displaystyle h_{b}=c\sin \alpha =a\sin \gamma ={\frac {2F}{b}}=2r\sin \gamma \sin \alpha =2r\left(\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma \right)}
h
c
=
a
sin
β べーた
=
b
sin
α あるふぁ
=
2
F
c
=
2
r
sin
α あるふぁ
sin
β べーた
=
2
r
(
cos
γ がんま
+
cos
α あるふぁ
cos
β べーた
)
{\displaystyle h_{c}=a\sin \beta =b\sin \alpha ={\frac {2F}{c}}=2r\sin \alpha \sin \beta =2r\left(\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \right)}
h
a
=
a
cot
β べーた
+
cot
γ がんま
;
h
b
=
b
cot
γ がんま
+
cot
α あるふぁ
;
h
c
=
c
cot
α あるふぁ
+
cot
β べーた
{\displaystyle h_{a}={\frac {a}{\cot \beta +\cot \gamma }};\;\;\;\;\;h_{b}={\frac {b}{\cot \gamma +\cot \alpha }};\;\;\;\;\;h_{c}={\frac {c}{\cot \alpha +\cot \beta }}}
F
=
1
2
a
h
a
=
1
2
b
h
b
=
1
2
c
h
c
{\displaystyle F={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}}
1
h
a
+
1
h
b
+
1
h
c
=
1
ρ ろー
=
1
ρ ろー
a
+
1
ρ ろー
b
+
1
ρ ろー
c
{\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{\rho _{a}}}+{\frac {1}{\rho _{b}}}+{\frac {1}{\rho _{c}}}}
Hat das Dreieck
A
B
C
{\displaystyle ABC}
einen rechten Winkel bei
C
{\displaystyle C}
(ist also
γ がんま
=
90
∘
{\displaystyle \gamma =90^{\circ }}
), dann gilt
h
c
=
a
b
c
{\displaystyle h_{c}={\frac {ab}{c}}}
h
a
=
b
{\displaystyle h_{a}=b}
h
b
=
a
{\displaystyle h_{b}=a}
Die Längen der von
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
bzw.
C
{\displaystyle C}
ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks
A
B
C
{\displaystyle ABC}
werden
s
a
{\displaystyle s_{a}}
,
s
b
{\displaystyle s_{b}}
und
s
c
{\displaystyle s_{c}}
genannt.
s
a
=
1
2
2
b
2
+
2
c
2
−
a
2
=
1
2
b
2
+
c
2
+
2
b
c
cos
α あるふぁ
=
a
2
4
+
b
c
cos
α あるふぁ
{\displaystyle s_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{4}}+bc\cos \alpha }}}
s
b
=
1
2
2
c
2
+
2
a
2
−
b
2
=
1
2
c
2
+
a
2
+
2
c
a
cos
β べーた
=
b
2
4
+
c
a
cos
β べーた
{\displaystyle s_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {c^{2}+a^{2}+2ca\cos \beta }}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}+ca\cos \beta }}}
s
c
=
1
2
2
a
2
+
2
b
2
−
c
2
=
1
2
a
2
+
b
2
+
2
a
b
cos
γ がんま
=
c
2
4
+
a
b
cos
γ がんま
{\displaystyle s_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}+ab\cos \gamma }}}
s
a
2
+
s
b
2
+
s
c
2
=
3
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
{\displaystyle s_{a}^{2}+s_{b}^{2}+s_{c}^{2}={\frac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}
Wir bezeichnen mit
w
α あるふぁ
{\displaystyle w_{\alpha }}
,
w
β べーた
{\displaystyle w_{\beta }}
und
w
γ がんま
{\displaystyle w_{\gamma }}
die Längen der von
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
bzw.
C
{\displaystyle C}
ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck
A
B
C
{\displaystyle ABC}
.
w
α あるふぁ
=
2
b
c
cos
α あるふぁ
2
b
+
c
=
2
F
a
cos
β べーた
−
γ がんま
2
=
b
c
(
b
+
c
−
a
)
(
a
+
b
+
c
)
b
+
c
{\displaystyle w_{\alpha }={\frac {2bc\cos {\frac {\alpha }{2}}}{b+c}}={\frac {2F}{a\cos {\frac {\beta -\gamma }{2}}}}={\frac {\sqrt {bc(b+c-a)(a+b+c)}}{b+c}}}
w
β べーた
=
2
c
a
cos
β べーた
2
c
+
a
=
2
F
b
cos
γ がんま
−
α あるふぁ
2
=
c
a
(
c
+
a
−
b
)
(
a
+
b
+
c
)
c
+
a
{\displaystyle w_{\beta }={\frac {2ca\cos {\frac {\beta }{2}}}{c+a}}={\frac {2F}{b\cos {\frac {\gamma -\alpha }{2}}}}={\frac {\sqrt {ca(c+a-b)(a+b+c)}}{c+a}}}
w
γ がんま
=
2
a
b
cos
γ がんま
2
a
+
b
=
2
F
c
cos
α あるふぁ
−
β べーた
2
=
a
b
(
a
+
b
−
c
)
(
a
+
b
+
c
)
a
+
b
{\displaystyle w_{\gamma }={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}={\frac {2F}{c\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\sqrt {ab(a+b-c)(a+b+c)}}{a+b}}}
Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis :
C
P
¯
=
sin
b
{\displaystyle {\overline {CP}}=\sin b}
S
P
¯
=
cos
b
{\displaystyle {\overline {SP}}=\cos b}
D
T
¯
=
tan
b
{\displaystyle {\overline {DT}}=\tan b}
E
K
¯
=
cot
b
{\displaystyle {\overline {EK}}=\cot b}
O
T
¯
=
sec
b
{\displaystyle {\overline {OT}}=\operatorname {sec} \,b}
O
K
¯
=
csc
b
{\displaystyle {\overline {OK}}=\operatorname {csc} \,b}
sin
x
=
sin
(
x
+
2
n
π ぱい
)
;
n
∈
Z
{\displaystyle \sin x\quad =\quad \sin(x+2n\pi );\quad n\in \mathbb {Z} }
cos
x
=
cos
(
x
+
2
n
π ぱい
)
;
n
∈
Z
{\displaystyle \cos x\quad =\quad \cos(x+2n\pi );\quad n\in \mathbb {Z} }
tan
x
=
tan
(
x
+
n
π ぱい
)
;
n
∈
Z
{\displaystyle \tan x\quad =\quad \tan(x+n\pi );\quad n\in \mathbb {Z} }
cot
x
=
cot
(
x
+
n
π ぱい
)
;
n
∈
Z
{\displaystyle \cot x\quad =\quad \cot(x+n\pi );\quad n\in \mathbb {Z} }
Die trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:
tan
x
=
sin
x
cos
x
{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
(„Trigonometrischer Pythagoras “)
1
+
tan
2
x
=
1
cos
2
x
=
sec
2
x
{\displaystyle 1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x}
1
+
cot
2
x
=
1
sin
2
x
=
csc
2
x
{\displaystyle 1+\cot ^{2}x={\frac {1}{\sin ^{2}x}}=\csc ^{2}x}
(Siehe auch den Abschnitt Phasenverschiebungen .)
Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:
sin
x
=
1
−
cos
2
x
{\displaystyle \sin x\;=\;{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}
für
x
∈
[
0
,
π ぱい
[
=
[
0
∘
,
180
∘
[
{\displaystyle x\in \left[0,\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },180^{\circ }[}
sin
x
=
−
1
−
cos
2
x
{\displaystyle \sin x\;=\;-{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}
für
x
∈
[
π ぱい
,
2
π ぱい
[
=
[
180
∘
,
360
∘
[
{\displaystyle x\in \left[\pi ,2\pi \right[\quad =\quad [180^{\circ },360^{\circ }[}
sin
x
=
tan
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \sin x\;=\;{\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}
für
x
∈
[
0
,
π ぱい
2
[
∪
]
3
π ぱい
2
,
2
π ぱい
[
=
[
0
∘
,
90
∘
[
∪
]
270
∘
,
360
∘
[
{\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;]270^{\circ },360^{\circ }[}
sin
x
=
−
tan
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \sin x\;=\;-{\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}
für
x
∈
]
π ぱい
2
,
3
π ぱい
2
[
=
]
90
∘
,
270
∘
[
{\displaystyle x\in \left]{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right[\quad =\quad ]90^{\circ },270^{\circ }[}
cos
x
=
1
−
sin
2
x
{\displaystyle \cos x\;=\;{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}
für
x
∈
[
0
,
π ぱい
2
[
∪
[
3
π ぱい
2
,
2
π ぱい
[
=
[
0
∘
,
90
∘
[
∪
[
270
∘
,
360
∘
[
{\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left[{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;[270^{\circ },360^{\circ }[}
cos
x
=
−
1
−
sin
2
x
{\displaystyle \cos x\;=\;-{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}
für
x
∈
[
π ぱい
2
,
3
π ぱい
2
[
=
[
90
∘
,
270
∘
[
{\displaystyle x\in \left[{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right[\quad =\quad [90^{\circ },270^{\circ }[}
cos
x
=
1
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}
für
x
∈
[
0
,
π ぱい
2
[
∪
]
3
π ぱい
2
,
2
π ぱい
[
=
[
0
∘
,
90
∘
[
∪
]
270
∘
,
360
∘
[
{\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;]270^{\circ },360^{\circ }[}
cos
x
=
−
1
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \cos x=-{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}
für
x
∈
]
π ぱい
2
,
3
π ぱい
2
[
=
]
90
∘
,
270
∘
[
{\displaystyle x\in \left]{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right[\quad =\quad ]90^{\circ },270^{\circ }[}
tan
x
=
1
−
cos
2
x
cos
x
{\displaystyle \tan x={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}}
für
x
∈
[
0
,
π ぱい
2
[
∪
]
π ぱい
2
,
π ぱい
[
=
[
0
∘
,
90
∘
[
∪
]
90
∘
,
180
∘
[
{\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {\pi }{2}},\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;]90^{\circ },180^{\circ }[}
tan
x
=
−
1
−
cos
2
x
cos
x
{\displaystyle \tan x=-{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}}
für
x
∈
[
π ぱい
,
3
π ぱい
2
[
∪
]
3
π ぱい
2
,
2
π ぱい
[
=
[
180
∘
,
270
∘
[
∪
]
270
∘
,
360
∘
[
{\displaystyle x\in \left[\pi ,{\frac {3\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [180^{\circ },270^{\circ }[\;\cup \;]270^{\circ },360^{\circ }[}
tan
x
=
sin
x
1
−
sin
2
x
{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}}
für
x
∈
[
0
,
π ぱい
2
[
∪
]
3
π ぱい
2
,
2
π ぱい
[
=
[
0
∘
,
90
∘
[
∪
]
270
∘
,
360
∘
[
{\displaystyle x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[\;\cup \;\left]{\frac {3\pi }{2}},2\pi \right[\quad =\quad [0^{\circ },90^{\circ }[\;\cup \;]270^{\circ },360^{\circ }[}
tan
x
=
−
sin
x
1
−
sin
2
x
{\displaystyle \tan x=-{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}}
für
x
∈
]
π ぱい
2
,
3
π ぱい
2
[
=
]
90
∘
,
270
∘
[
{\displaystyle x\in \left]{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right[\quad =\quad ]90^{\circ },270^{\circ }[}
sin
x
>
0
für
x
∈
]
0
∘
,
180
∘
[
{\displaystyle \sin x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]0^{\circ },180^{\circ }\right[}
sin
x
<
0
für
x
∈
]
180
∘
,
360
∘
[
{\displaystyle \sin x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]180^{\circ },360^{\circ }\right[}
cos
x
>
0
für
x
∈
[
0
∘
,
90
∘
[
∪
]
270
∘
,
360
∘
]
{\displaystyle \cos x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left[0^{\circ },90^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ },360^{\circ }\right]}
cos
x
<
0
für
x
∈
]
90
∘
,
270
∘
[
{\displaystyle \cos x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]90^{\circ },270^{\circ }\right[}
tan
x
>
0
für
x
∈
]
0
∘
,
90
∘
[
∪
]
180
∘
,
270
∘
[
{\displaystyle \tan x>0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]0^{\circ },90^{\circ }\right[\cup \left]180^{\circ },270^{\circ }\right[}
tan
x
<
0
für
x
∈
]
90
∘
,
180
∘
[
∪
]
270
∘
,
360
∘
[
{\displaystyle \tan x<0\quad {\text{für}}\quad x\in \left]90^{\circ },180^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ },360^{\circ }\right[}
Die Vorzeichen von
cot
{\displaystyle \cot }
,
sec
{\displaystyle \sec }
und
csc
{\displaystyle \csc }
stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen
tan
{\displaystyle \tan }
,
cos
{\displaystyle \cos }
bzw.
sin
{\displaystyle \sin }
.
Darstellung wichtiger Funktionswerte von Kosinus (1. Klammerwert) und Sinus (2. Klammerwert) auf dem Einheitskreis
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha }
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha }
(rad)
sin
α あるふぁ
{\displaystyle \sin \alpha }
cos
α あるふぁ
{\displaystyle \cos \alpha }
tan
α あるふぁ
{\displaystyle \tan \alpha }
cot
α あるふぁ
{\displaystyle \cot \alpha }
0
∘
{\displaystyle 0^{\circ }}
0
{\displaystyle \,0}
0
{\displaystyle \,0}
1
{\displaystyle \,1}
0
{\displaystyle \,0}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
15
∘
{\displaystyle 15^{\circ }}
π ぱい
12
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{12}}}
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
2
−
3
{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
2
+
3
{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}
18
∘
{\displaystyle 18^{\circ }}
π ぱい
10
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}
1
4
(
5
−
1
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}
1
4
10
+
2
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}
1
5
25
−
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
30
∘
{\displaystyle 30^{\circ }}
π ぱい
6
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
1
2
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
1
3
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
36
∘
{\displaystyle 36^{\circ }}
π ぱい
5
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}
1
4
10
−
2
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}
1
4
(
1
+
5
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}
1
5
25
+
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}
45
∘
{\displaystyle 45^{\circ }}
π ぱい
4
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}
1
2
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
1
2
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
1
{\displaystyle 1\,}
1
{\displaystyle 1\,}
54
∘
{\displaystyle 54^{\circ }}
3
π ぱい
10
{\displaystyle {\tfrac {3\pi }{10}}}
1
4
(
1
+
5
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}
1
4
10
−
2
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}
1
5
25
+
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}
60
∘
{\displaystyle 60^{\circ }}
π ぱい
3
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}
1
2
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
1
3
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
72
∘
{\displaystyle 72^{\circ }}
2
π ぱい
5
{\displaystyle {\tfrac {2\pi }{5}}}
1
4
10
+
2
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}
1
4
(
5
−
1
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
1
5
25
−
10
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}
75
∘
{\displaystyle 75^{\circ }}
5
π ぱい
12
{\displaystyle {\tfrac {5\pi }{12}}}
1
4
(
6
+
2
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}
1
4
(
6
−
2
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}
2
+
3
{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}
2
−
3
{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
π ぱい
2
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}
1
{\displaystyle \,1}
0
{\displaystyle \,0}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
0
{\displaystyle \,0}
108
∘
{\displaystyle 108^{\circ }}
3
π ぱい
5
{\displaystyle {\tfrac {3\pi }{5}}}
1
4
10
+
2
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}
1
4
(
1
−
5
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\left(1-{\sqrt {5}}\right)}
−
5
+
2
5
{\displaystyle -{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}
−
1
5
25
−
10
5
{\displaystyle -{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}
120
∘
{\displaystyle 120^{\circ }}
2
π ぱい
3
{\displaystyle {\tfrac {2\pi }{3}}}
1
2
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
−
1
2
{\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}
−
3
{\displaystyle -{\sqrt {3}}}
−
1
3
3
{\displaystyle -{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
135
∘
{\displaystyle 135^{\circ }}
3
π ぱい
4
{\displaystyle {\tfrac {3\pi }{4}}}
1
2
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
−
1
2
2
{\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
−
1
{\displaystyle -1\,}
−
1
{\displaystyle -1\,}
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
π ぱい
{\displaystyle \pi \,}
0
{\displaystyle \,0}
−
1
{\displaystyle \,-1}
0
{\displaystyle \,0}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
270
∘
{\displaystyle 270^{\circ }}
3
π ぱい
2
{\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}}}
−
1
{\displaystyle \,-1}
0
{\displaystyle \,0}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
0
{\displaystyle \,0}
360
∘
{\displaystyle 360^{\circ }}
2
π ぱい
{\displaystyle 2\pi }
0
{\displaystyle \,0}
1
{\displaystyle \,1}
0
{\displaystyle \,0}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
Mit Hilfe der Additionstheoreme sind noch viele weitere Werte durch algebraische Ausdrücke (ggfs. mit verschachtelten Quadratwurzeln) darstellbar, insbesondere alle ganzzahligen Vielfachen von
3
∘
{\displaystyle 3^{\circ }}
.[ 2]
Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:
sin
(
−
x
)
=
−
sin
(
x
)
cos
(
−
x
)
=
+
cos
(
x
)
tan
(
−
x
)
=
−
tan
(
x
)
cot
(
−
x
)
=
−
cot
(
x
)
sec
(
−
x
)
=
+
sec
(
x
)
csc
(
−
x
)
=
−
csc
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin(x)\\\cos(-x)&=+\cos(x)\\\tan(-x)&=-\tan(x)\\\cot(-x)&=-\cot(x)\\\sec(-x)&=+\sec(x)\\\csc(-x)&=-\csc(x)\\\end{aligned}}}
sin
(
x
+
π ぱい
2
)
=
cos
x
bzw.
sin
(
x
+
90
∘
)
=
cos
x
{\displaystyle \sin \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \sin \left(x+90^{\circ }\right)=\cos x\;}
cos
(
x
+
π ぱい
2
)
=
−
sin
x
bzw.
cos
(
x
+
90
∘
)
=
−
sin
x
{\displaystyle \cos \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \cos \left(x+90^{\circ }\right)=-\sin x\;}
tan
(
x
+
π ぱい
2
)
=
−
cot
x
bzw.
tan
(
x
+
90
∘
)
=
−
cot
x
{\displaystyle \tan \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cot x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \tan \left(x+90^{\circ }\right)=-\cot x\;}
cot
(
x
+
π ぱい
2
)
=
−
tan
x
bzw.
cot
(
x
+
90
∘
)
=
−
tan
x
{\displaystyle \cot \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\tan x\;\quad {\text{bzw.}}\quad \cot \left(x+90^{\circ }\right)=-\tan x\;}
sin
x
=
sin
(
π ぱい
−
x
)
bzw.
sin
x
=
sin
(
180
∘
−
x
)
{\displaystyle \sin x\ \;=\;\;\;\sin \left(\pi -x\right)\,\quad {\text{bzw.}}\quad \sin x\ =\;\;\;\sin \left(180^{\circ }-x\right)}
cos
x
=
−
cos
(
π ぱい
−
x
)
bzw.
cos
x
=
−
cos
(
180
∘
−
x
)
{\displaystyle \cos x\ \,=-\cos \left(\pi -x\right)\quad {\text{bzw.}}\quad \cos x\ =-\cos \left(180^{\circ }-x\right)}
tan
x
=
−
tan
(
π ぱい
−
x
)
bzw.
tan
x
=
−
tan
(
180
∘
−
x
)
{\displaystyle \tan x\ =-\tan \left(\pi -x\right)\quad {\text{bzw.}}\quad \tan x\ =-\tan \left(180^{\circ }-x\right)}
Mit der Bezeichnung
t
=
tan
x
2
{\displaystyle t=\tan {\tfrac {x}{2}}}
gelten die folgenden Beziehungen für beliebiges
x
{\displaystyle x}
sin
x
=
2
t
1
+
t
2
,
{\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},}
cos
x
=
1
−
t
2
1
+
t
2
,
{\displaystyle \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}
tan
x
=
2
t
1
−
t
2
,
{\displaystyle \tan x={\frac {2t}{1-t^{2}}},}
cot
x
=
1
−
t
2
2
t
,
{\displaystyle \cot x={\frac {1-t^{2}}{2t}},}
sec
x
=
1
+
t
2
1
−
t
2
,
{\displaystyle \sec x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},}
csc
x
=
1
+
t
2
2
t
.
{\displaystyle \csc x={\frac {1+t^{2}}{2t}}.}
Figur 1
Figur 2
Für Sinus und Kosinus lassen sich die Additionstheoreme aus der Verkettung zweier Drehungen um den Winkel
x
{\displaystyle x}
bzw.
y
{\displaystyle y}
herleiten. Das ist elementargeometrisch möglich; sehr viel einfacher ist das koordinatenweise Ablesen der Formeln aus dem Produkt zweier Drehmatrizen der Ebene
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
. Alternativ folgen die Additionstheoreme aus der Anwendung der Eulerschen Formel auf die Beziehung
e
i
(
x
+
y
)
=
e
i
x
⋅
e
i
y
{\displaystyle \textstyle e^{i(x+y)}=e^{ix}\cdot e^{iy}}
. Die Ergebnisse für das Doppelvorzeichen ergeben sich durch Anwendung der Symmetrien .[ 3]
sin
(
x
±
y
)
=
sin
x
⋅
cos
y
±
cos
x
⋅
sin
y
{\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin x\cdot \cos y\pm \cos x\cdot \sin y}
[ 4]
cos
(
x
±
y
)
=
cos
x
⋅
cos
y
∓
sin
x
⋅
sin
y
{\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x\cdot \cos y\mp \sin x\cdot \sin y}
[ 4]
Geometrische Herleitungen sind in Figur 1 und Figur 2 für Winkel
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha }
und
β べーた
{\displaystyle \beta }
zwischen 0° und 90° veranschaulicht.[ 5]
Zu Figur 1:
sin
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
=
sin
α あるふぁ
⋅
cos
β べーた
+
cos
α あるふぁ
⋅
sin
β べーた
{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta }
cos
(
α あるふぁ
+
β べーた
)
=
cos
α あるふぁ
⋅
cos
β べーた
−
sin
α あるふぁ
⋅
sin
β べーた
{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }
Zu Figur 2:
sin
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
=
sin
α あるふぁ
⋅
cos
β べーた
−
cos
α あるふぁ
⋅
sin
β べーた
{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta -\cos \alpha \cdot \sin \beta }
cos
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
=
cos
α あるふぁ
⋅
cos
β べーた
+
sin
α あるふぁ
⋅
sin
β べーた
{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta }
Durch Erweiterung mit
1
cos
x
cos
y
{\displaystyle \textstyle {1 \over \cos x\cos y}}
bzw.
1
sin
x
sin
y
{\displaystyle \textstyle {1 \over \sin x\sin y}}
und Vereinfachung des Doppelbruchs:
tan
(
x
±
y
)
=
sin
(
x
±
y
)
cos
(
x
±
y
)
=
tan
x
±
tan
y
1
∓
tan
x
tan
y
{\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos(x\pm y)}}={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\;\tan y}}}
cot
(
x
±
y
)
=
cos
(
x
±
y
)
sin
(
x
±
y
)
=
cot
x
cot
y
∓
1
cot
y
±
cot
x
{\displaystyle \cot(x\pm y)={\frac {\cos(x\pm y)}{\sin(x\pm y)}}={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}}
Für
x
=
y
{\displaystyle x=y}
folgen hieraus die Doppelwinkelfunktionen , für
y
=
π ぱい
/
2
{\displaystyle y=\pi /2}
die Phasenverschiebungen .
sin
(
x
+
y
)
⋅
sin
(
x
−
y
)
=
cos
2
y
−
cos
2
x
=
sin
2
x
−
sin
2
y
{\displaystyle \sin(x+y)\cdot \sin(x-y)=\cos ^{2}y-\cos ^{2}x=\sin ^{2}x-\sin ^{2}y}
cos
(
x
+
y
)
⋅
cos
(
x
−
y
)
=
cos
2
y
−
sin
2
x
=
cos
2
x
−
sin
2
y
{\displaystyle \cos(x+y)\cdot \cos(x-y)=\cos ^{2}y-\sin ^{2}x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}y}
Für die Arkusfunktionen gelten folgende Additionstheoreme[ 6]
Summanden
Summenformel
Gültigkeitsbereich
arcsin
x
+
arcsin
y
=
{\displaystyle \arcsin x+\arcsin y=}
arcsin
(
x
1
−
y
2
+
y
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
x
y
≤
0
{\displaystyle xy\leq 0}
oder
x
2
+
y
2
≤
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1}
π ぱい
−
arcsin
(
x
1
−
y
2
+
y
1
−
x
2
)
{\displaystyle \pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
und
y
>
0
{\displaystyle y>0}
und
x
2
+
y
2
>
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}>1}
−
π ぱい
−
arcsin
(
x
1
−
y
2
+
y
1
−
x
2
)
{\displaystyle -\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
x
<
0
{\displaystyle x<0}
und
y
<
0
{\displaystyle y<0}
und
x
2
+
y
2
>
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}>1}
arcsin
x
−
arcsin
y
=
{\displaystyle \arcsin x-\arcsin y=}
arcsin
(
x
1
−
y
2
−
y
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
x
y
≥
0
{\displaystyle xy\geq 0}
oder
x
2
+
y
2
≤
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1}
π ぱい
−
arcsin
(
x
1
−
y
2
−
y
1
−
x
2
)
{\displaystyle \pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
und
y
<
0
{\displaystyle y<0}
und
x
2
+
y
2
>
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}>1}
−
π ぱい
−
arcsin
(
x
1
−
y
2
−
y
1
−
x
2
)
{\displaystyle -\pi -\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}-y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}
x
<
0
{\displaystyle x<0}
und
y
>
0
{\displaystyle y>0}
und
x
2
+
y
2
>
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}>1}
arccos
x
+
arccos
y
=
{\displaystyle \arccos x+\arccos y=}
arccos
(
x
y
−
1
−
x
2
1
−
y
2
)
{\displaystyle \arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)}
x
+
y
≥
0
{\displaystyle x+y\geq 0}
2
π ぱい
−
arccos
(
x
y
−
1
−
x
2
1
−
y
2
)
{\displaystyle 2\pi -\arccos \left(xy-{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)}
x
+
y
<
0
{\displaystyle x+y<0}
arccos
x
−
arccos
y
=
{\displaystyle \arccos x-\arccos y=}
−
arccos
(
x
y
+
1
−
x
2
1
−
y
2
)
{\displaystyle -\arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)}
x
≥
y
{\displaystyle x\geq y}
arccos
(
x
y
+
1
−
x
2
1
−
y
2
)
{\displaystyle \arccos \left(xy+{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}\right)}
x
<
y
{\displaystyle x<y}
arctan
x
+
arctan
y
=
{\displaystyle \arctan x+\arctan y=}
arctan
(
x
+
y
1
−
x
y
)
{\displaystyle \arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)}
x
y
<
1
{\displaystyle xy<1}
π ぱい
+
arctan
(
x
+
y
1
−
x
y
)
{\displaystyle \pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
und
x
y
>
1
{\displaystyle xy>1}
−
π ぱい
+
arctan
(
x
+
y
1
−
x
y
)
{\displaystyle -\pi +\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)}
x
<
0
{\displaystyle x<0}
und
x
y
>
1
{\displaystyle xy>1}
arctan
x
−
arctan
y
=
{\displaystyle \arctan x-\arctan y=}
arctan
(
x
−
y
1
+
x
y
)
{\displaystyle \arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)}
x
y
>
−
1
{\displaystyle xy>-1}
π ぱい
+
arctan
(
x
−
y
1
+
x
y
)
{\displaystyle \pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
und
x
y
<
−
1
{\displaystyle xy<-1}
−
π ぱい
+
arctan
(
x
−
y
1
+
x
y
)
{\displaystyle -\pi +\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)}
x
<
0
{\displaystyle x<0}
und
x
y
<
−
1
{\displaystyle xy<-1}
Figur 3
sin
(
2
x
)
=
2
sin
x
⋅
cos
x
=
2
tan
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \sin(2x)=2\sin x\cdot \;\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}}
Eine geometrische Herleitung ist in Figur 3 für Winkel
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha }
und
β べーた
{\displaystyle \beta }
zwischen 0° und 90° veranschaulicht.[ 7]
Zu Figur 3:
Aus der Berechnung der Flächeninhalte der beiden grauen Dreiecke ergibt sich
1
2
⋅
2
sin
α あるふぁ
⋅
2
cos
α あるふぁ
=
1
2
⋅
2
⋅
sin
(
2
α あるふぁ
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot 2\sin \alpha \cdot 2\cos \alpha ={\frac {1}{2}}\cdot 2\cdot \sin(2\alpha )}
. Hieraus folgt
2
sin
α あるふぁ
⋅
cos
α あるふぁ
=
sin
(
2
α あるふぁ
)
{\displaystyle 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha =\sin(2\alpha )}
.
Weitere Beziehungen:
cos
(
2
x
)
=
cos
2
x
−
sin
2
x
=
1
−
2
sin
2
x
=
2
cos
2
x
−
1
=
1
−
tan
2
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}}
tan
(
2
x
)
=
2
tan
x
1
−
tan
2
x
=
2
cot
x
−
tan
x
{\displaystyle \tan(2x)={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}={\frac {2}{\cot x-\tan x}}}
cot
(
2
x
)
=
cot
2
x
−
1
2
cot
x
=
cot
x
−
tan
x
2
{\displaystyle \cot(2x)={\frac {\cot ^{2}x-1}{2\cot x}}={\frac {\cot x-\tan x}{2}}}
Die Formeln für Vielfache berechnen sich normalerweise über die komplexen Zahlen aus der Euler-Formel
z
=
r
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
⟺
z
n
=
r
n
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
n
{\displaystyle z=r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\iff z^{n}=r^{n}\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)^{n}}
und der DeMoivre-Formel
z
n
=
r
n
(
cos
(
n
ϕ
)
+
i
sin
(
n
ϕ
)
)
{\displaystyle z^{n}=r^{n}\left(\cos \left(n\phi \right)+i\sin \left(n\phi \right)\right)}
.
Damit ergibt sich
cos
(
n
ϕ
)
+
i
sin
(
n
ϕ
)
=
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
n
{\displaystyle \cos \left(n\phi \right)+i\sin \left(n\phi \right)=\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)^{n}}
.
Zerlegung in Real- und Imaginärteil liefert dann die Formeln für
cos
{\displaystyle \cos }
und
sin
{\displaystyle \sin }
bzw. die allgemeine Reihendarstellung.
Die Formel für
cos
(
n
x
)
{\displaystyle \cos(nx)}
steht über
T
n
(
cos
x
)
=
cos
(
n
x
)
{\displaystyle T_{n}(\cos x)=\cos(nx)}
[ 8] mit den Tschebyschow-Polynomen in Beziehung.
sin
(
3
x
)
=
3
sin
x
−
4
sin
3
x
{\displaystyle \sin(3x)=3\sin x-4\sin ^{3}x\,}
[ 9]
=
sin
x
(
4
cos
2
x
−
1
)
{\displaystyle =\;\sin x\left(4\cos ^{2}x-1\right)}
sin
(
4
x
)
=
8
sin
x
cos
3
x
−
4
sin
x
cos
x
{\displaystyle \sin(4x)=8\sin x\;\cos ^{3}x-4\sin x\;\cos x}
[ 10]
=
sin
x
(
8
cos
3
x
−
4
cos
x
)
{\displaystyle =\;\sin x\left(8\cos ^{3}x-4\cos x\right)}
sin
(
5
x
)
=
5
sin
x
−
20
sin
3
x
+
16
sin
5
x
{\displaystyle \sin(5x)=5\sin x-20\sin ^{3}x+16\sin ^{5}x\;}
[ 11]
=
sin
x
(
16
cos
4
x
−
12
cos
2
x
+
1
)
{\displaystyle =\;\sin x\left(16\cos ^{4}x-12\cos ^{2}x+1\right)}
sin
(
n
x
)
=
n
sin
x
cos
n
−
1
x
−
(
n
3
)
sin
3
x
cos
n
−
3
x
+
(
n
5
)
sin
5
x
cos
n
−
5
x
−
…
+
…
{\displaystyle \sin(nx)=n\;\sin x\;\cos ^{n-1}x-{n \choose 3}\sin ^{3}x\;\cos ^{n-3}x+{n \choose 5}\sin ^{5}x\;\cos ^{n-5}x\;-\ldots +\ldots }
[ 12] [ 13]
=
∑
j
=
0
⌊
n
−
1
2
⌋
(
−
1
)
j
(
n
2
j
+
1
)
sin
2
j
+
1
x
cos
n
−
2
j
−
1
x
{\displaystyle =\;\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }(-1)^{j}{n \choose 2j+1}\sin ^{2j+1}x\;\cos ^{n-2j-1}x}
=
sin
x
∑
k
=
0
⌊
n
−
1
2
⌋
(
−
1
)
k
(
n
−
k
−
1
k
)
2
n
−
2
k
−
1
cos
n
−
2
k
−
1
x
{\displaystyle =\;\sin x\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{n-k-1 \choose k}2^{n-2k-1}\cos ^{n-2k-1}x}
sin
(
n
x
)
sin
(
x
)
=
cos
(
(
n
−
1
)
x
)
−
cos
(
(
n
+
1
)
x
)
2
{\displaystyle \sin(nx)\;\sin(x)={\frac {\cos((n-1)\,x)-\cos((n+1)\,x)}{2}}}
cos
(
3
x
)
=
4
cos
3
x
−
3
cos
x
{\displaystyle \cos(3x)=4\cos ^{3}x-3\cos x\,}
[ 14]
cos
(
4
x
)
=
8
cos
4
x
−
8
cos
2
x
+
1
{\displaystyle \cos(4x)=8\cos ^{4}x-8\cos ^{2}x+1\,}
[ 15]
cos
(
5
x
)
=
16
cos
5
x
−
20
cos
3
x
+
5
cos
x
{\displaystyle \cos(5x)=16\cos ^{5}x-20\cos ^{3}x+5\cos x\,}
[ 16]
cos
(
6
x
)
=
32
cos
6
x
−
48
cos
4
x
+
18
cos
2
x
−
1
{\displaystyle \cos(6x)=32\cos ^{6}x-48\cos ^{4}x+18\cos ^{2}x-1\,}
[ 17]
cos
(
n
x
)
=
cos
n
x
−
(
n
2
)
sin
2
x
cos
n
−
2
x
+
(
n
4
)
sin
4
x
cos
n
−
4
x
−
…
+
…
{\displaystyle \cos(nx)=\cos ^{n}x-{n \choose 2}\sin ^{2}x\;\cos ^{n-2}x+{n \choose 4}\sin ^{4}x\;\cos ^{n-4}x\;-\ldots +\ldots }
[ 13] [ 18]
=
∑
j
=
0
⌊
n
2
⌋
(
−
1
)
j
(
n
2
j
)
sin
2
j
x
cos
n
−
2
j
x
{\displaystyle =\;\sum _{j=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{j}{n \choose 2j}\sin ^{2j}x\;\cos ^{n-2j}x}
cos
(
n
x
)
cos
(
x
)
=
cos
(
(
n
−
1
)
x
)
+
cos
(
(
n
+
1
)
x
)
2
{\displaystyle \cos(nx)\;\cos(x)={\frac {\cos((n-1)\,x)+\cos((n+1)\,x)}{2}}}
tan
(
3
x
)
=
3
tan
x
−
tan
3
x
1
−
3
tan
2
x
{\displaystyle \tan(3x)={\frac {3\tan x-\tan ^{3}x}{1-3\tan ^{2}x}}}
[ 13]
tan
(
4
x
)
=
4
tan
x
−
4
tan
3
x
1
−
6
tan
2
x
+
tan
4
x
{\displaystyle \tan(4x)={\frac {4\tan x-4\tan ^{3}x}{1-6\tan ^{2}x+\tan ^{4}x}}}
[ 13]
cot
(
3
x
)
=
cot
3
x
−
3
cot
x
3
cot
2
x
−
1
{\displaystyle \cot(3x)={\frac {\cot ^{3}x-3\cot x}{3\cot ^{2}x-1}}}
[ 13]
cot
(
4
x
)
=
cot
4
x
−
6
cot
2
x
+
1
4
cot
3
x
−
4
cot
x
{\displaystyle \cot(4x)={\frac {\cot ^{4}x-6\cot ^{2}x+1}{4\cot ^{3}x-4\cot x}}}
[ 13]
Figur 4
Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln [ 13] , welche sich mittels Substitution aus den Doppelwinkelformeln herleiten lassen:
sin
x
2
=
1
−
cos
x
2
für
x
∈
[
0
,
2
π ぱい
]
{\displaystyle \sin {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left[0,2\pi \right]}
cos
x
2
=
1
+
cos
x
2
für
x
∈
[
−
π ぱい
,
π ぱい
]
{\displaystyle \cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left[-\pi ,\pi \right]}
tan
x
2
=
1
−
cos
x
sin
x
=
sin
x
1
+
cos
x
für
x
∈
R
∖
π ぱい
(
2
Z
+
1
)
{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}\quad {\text{für}}\quad x\in \mathbb {R} \setminus \pi (2\mathbb {Z} +1)}
cot
x
2
=
1
+
cos
x
sin
x
=
sin
x
1
−
cos
x
für
x
∈
R
∖
2
π ぱい
Z
{\displaystyle \cot {\frac {x}{2}}={\frac {1+\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1-\cos x}}\quad {\text{für}}\quad x\in \mathbb {R} \setminus 2\pi \mathbb {Z} }
Eine geometrische Herleitung der dritten Formel ist in Figur 4 für Winkel
α あるふぁ
{\displaystyle \alpha }
und
β べーた
{\displaystyle \beta }
zwischen 0° und 90° veranschaulicht.[ 19] Aus der Berechnung der Flächeninhalte der beiden grauen Dreiecke ergibt sich unmittelbar
tan
(
α あるふぁ
2
)
=
sin
α あるふぁ
1
+
cos
α あるふぁ
=
1
−
cos
α あるふぁ
sin
α あるふぁ
{\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}}
.
Außerdem gilt:
tan
x
2
=
tan
x
1
+
1
+
tan
2
x
für
x
∈
]
−
π ぱい
2
,
π ぱい
2
[
{\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}={\frac {\tan x}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left]-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right[}
cot
x
2
=
cot
x
+
1
+
cot
2
x
für
x
∈
]
0
,
π ぱい
[
{\displaystyle \cot {\frac {x}{2}}=\cot x+{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}\quad {\text{für}}\quad x\in \left]0,\pi \right[}
Siehe auch: Halbwinkelsatz
Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:[ 13]
sin
x
+
sin
y
=
2
sin
x
+
y
2
cos
x
−
y
2
sin
x
−
sin
y
=
2
cos
x
+
y
2
sin
x
−
y
2
cos
x
+
cos
y
=
2
cos
x
+
y
2
cos
x
−
y
2
cos
x
−
cos
y
=
−
2
sin
x
+
y
2
sin
x
−
y
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x+\sin y&=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}\\\sin x-\sin y&=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}\\\cos x+\cos y&=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}\\\cos x-\cos y&=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}\end{aligned}}}
tan
x
+
tan
y
=
sin
(
x
+
y
)
cos
x
cos
y
tan
x
−
tan
y
=
sin
(
x
−
y
)
cos
x
cos
y
}
⇒
tan
x
±
tan
y
=
sin
(
x
±
y
)
cos
x
cos
y
{\displaystyle \left.{\begin{matrix}\tan x+\tan y={\dfrac {\sin(x+y)}{\cos x\cos y}}\\[1em]\tan x-\tan y={\dfrac {\sin(x-y)}{\cos x\cos y}}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \tan x\pm \tan y={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y}}}
cot
x
+
cot
y
=
sin
(
y
+
x
)
sin
x
sin
y
cot
x
−
cot
y
=
sin
(
y
−
x
)
sin
x
sin
y
}
⇒
cot
x
±
cot
y
=
sin
(
y
±
x
)
sin
x
sin
y
{\displaystyle \left.{\begin{matrix}\cot x+\cot y={\dfrac {\sin(y+x)}{\sin x\sin y}}\\[1em]\cot x-\cot y={\dfrac {\sin(y-x)}{\sin x\sin y}}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \cot x\pm \cot y={\frac {\sin(y\pm x)}{\sin x\sin y}}}
Daraus ergeben sich noch Spezialfälle:
cos
x
+
sin
x
=
2
⋅
sin
(
x
+
π ぱい
4
)
=
2
⋅
cos
(
x
−
π ぱい
4
)
cos
x
−
sin
x
=
2
⋅
cos
(
x
+
π ぱい
4
)
=
−
2
⋅
sin
(
x
−
π ぱい
4
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x+\sin x&={\sqrt {2}}\cdot \sin \left(x+{\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}\cdot \cos \left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)\\\cos x-\sin x&={\sqrt {2}}\cdot \cos \left(x+{\frac {\pi }{4}}\right)=-{\sqrt {2}}\cdot \sin \left(x-{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}
Produkte der trigonometrischen Funktionen lassen sich mit folgenden Formeln berechnen:[ 13]
sin
x
sin
y
=
1
2
(
cos
(
x
−
y
)
−
cos
(
x
+
y
)
)
{\displaystyle \sin x\;\sin y={\frac {1}{2}}{\Big (}\cos(x-y)-\cos(x+y){\Big )}}
cos
x
cos
y
=
1
2
(
cos
(
x
−
y
)
+
cos
(
x
+
y
)
)
{\displaystyle \cos x\;\cos y={\frac {1}{2}}{\Big (}\cos(x-y)+\cos(x+y){\Big )}}
sin
x
cos
y
=
1
2
(
sin
(
x
−
y
)
+
sin
(
x
+
y
)
)
{\displaystyle \sin x\;\cos y={\frac {1}{2}}{\Big (}\sin(x-y)+\sin(x+y){\Big )}}
tan
x
tan
y
=
tan
x
+
tan
y
cot
x
+
cot
y
=
−
tan
x
−
tan
y
cot
x
−
cot
y
{\displaystyle \tan x\;\tan y={\frac {\tan x+\tan y}{\cot x+\cot y}}=-{\frac {\tan x-\tan y}{\cot x-\cot y}}}
cot
x
cot
y
=
cot
x
+
cot
y
tan
x
+
tan
y
=
−
cot
x
−
cot
y
tan
x
−
tan
y
{\displaystyle \cot x\;\cot y={\frac {\cot x+\cot y}{\tan x+\tan y}}=-{\frac {\cot x-\cot y}{\tan x-\tan y}}}
tan
x
cot
y
=
tan
x
+
cot
y
cot
x
+
tan
y
=
−
tan
x
−
cot
y
cot
x
−
tan
y
{\displaystyle \tan x\;\cot y={\frac {\tan x+\cot y}{\cot x+\tan y}}=-{\frac {\tan x-\cot y}{\cot x-\tan y}}}
sin
x
sin
y
sin
z
=
1
4
(
sin
(
x
+
y
−
z
)
+
sin
(
y
+
z
−
x
)
+
sin
(
z
+
x
−
y
)
−
sin
(
x
+
y
+
z
)
)
{\displaystyle \sin x\;\sin y\;\sin z={\frac {1}{4}}{\Big (}\sin(x+y-z)+\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z){\Big )}}
cos
x
cos
y
cos
z
=
1
4
(
cos
(
x
+
y
−
z
)
+
cos
(
y
+
z
−
x
)
+
cos
(
z
+
x
−
y
)
+
cos
(
x
+
y
+
z
)
)
{\displaystyle \cos x\;\cos y\;\cos z={\frac {1}{4}}{\Big (}\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z){\Big )}}
sin
x
sin
y
cos
z
=
1
4
(
−
cos
(
x
+
y
−
z
)
+
cos
(
y
+
z
−
x
)
+
cos
(
z
+
x
−
y
)
−
cos
(
x
+
y
+
z
)
)
{\displaystyle \sin x\;\sin y\;\cos z={\frac {1}{4}}{\Big (}-\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)-\cos(x+y+z){\Big )}}
sin
x
cos
y
cos
z
=
1
4
(
sin
(
x
+
y
−
z
)
−
sin
(
y
+
z
−
x
)
+
sin
(
z
+
x
−
y
)
+
sin
(
x
+
y
+
z
)
)
{\displaystyle \sin x\;\cos y\;\cos z={\frac {1}{4}}{\Big (}\sin(x+y-z)-\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)+\sin(x+y+z){\Big )}}
∏
m
=
1
n
cos
(
x
m
)
=
1
2
n
∑
k
1
=
1
2
⋯
∑
k
n
=
1
2
[
exp
(
i
∑
ν にゅー
=
1
n
(
−
1
)
k
ν にゅー
x
ν にゅー
)
]
=
1
2
n
−
1
∑
k
2
=
1
2
⋯
∑
k
n
=
1
2
[
cos
(
x
1
+
∑
ν にゅー
=
2
n
(
−
1
)
k
ν にゅー
x
ν にゅー
)
]
{\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\cos(x_{m})={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k_{1}=1}^{2}\cdots \sum _{k_{n}=1}^{2}\left[\exp \left({\text{i}}\sum _{\nu =1}^{n}(-1)^{k_{\nu }}x_{\nu }\right)\right]={\frac {1}{2^{n-1}}}\sum _{k_{2}=1}^{2}\cdots \sum _{k_{n}=1}^{2}\left[\cos \left(x_{1}+\sum _{\nu =2}^{n}(-1)^{k_{\nu }}x_{\nu }\right)\right]}
∏
m
=
1
n
sin
(
x
m
)
=
1
(
2
i
)
n
∑
k
1
=
1
2
⋯
∑
k
n
=
1
2
[
∏
μ みゅー
=
1
n
(
−
1
)
k
μ みゅー
⋅
exp
(
i
∑
ν にゅー
=
1
n
(
−
1
)
k
ν にゅー
x
ν にゅー
)
]
=
1
2
n
−
1
∑
k
2
=
1
2
⋯
∑
k
n
=
1
2
[
∏
μ みゅー
=
2
n
(
−
1
)
k
μ みゅー
⋅
{
(
−
1
)
n
/
2
⋅
cos
(
x
1
+
∑
ν にゅー
=
2
n
(
−
1
)
k
ν にゅー
x
ν にゅー
)
gerade
n
(
−
1
)
(
n
−
1
)
/
2
⋅
sin
(
x
1
+
∑
ν にゅー
=
2
n
(
−
1
)
k
ν にゅー
x
ν にゅー
)
ungerade
n
]
{\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\sin(x_{m})={\frac {1}{(2{\text{i}})^{n}}}\sum _{k_{1}=1}^{2}\cdots \sum _{k_{n}=1}^{2}\left[\prod _{\mu =1}^{n}(-1)^{k_{\mu }}\cdot \exp \left({\text{i}}\sum _{\nu =1}^{n}(-1)^{k_{\nu }}x_{\nu }\right)\right]={\frac {1}{2^{n-1}}}\sum _{k_{2}=1}^{2}\cdots \sum _{k_{n}=1}^{2}\left[\prod _{\mu =2}^{n}(-1)^{k_{\mu }}\cdot {\begin{cases}\displaystyle (-1)^{n/2}\cdot \cos \left(x_{1}+\sum _{\nu =2}^{n}(-1)^{k_{\nu }}x_{\nu }\right)&{\text{gerade}}\;n\\\displaystyle (-1)^{(n-1)/2}\cdot \sin \left(x_{1}+\sum _{\nu =2}^{n}(-1)^{k_{\nu }}x_{\nu }\right)&{\text{ungerade}}\;n\end{cases}}\right]}
Aus der Doppelwinkelfunktion für
sin
(
2
x
)
{\displaystyle \sin(2x)}
folgt außerdem:
sin
x
cos
x
=
1
2
sin
(
2
x
)
{\displaystyle \sin x\;\cos x={\frac {1}{2}}\sin(2x)}
sin
2
x
=
1
2
(
1
−
cos
(
2
x
)
)
{\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {1}{2}}\ {\Big (}1-\cos(2x){\Big )}}
[ 13] [ 20]
sin
3
x
=
1
4
(
3
sin
x
−
sin
(
3
x
)
)
{\displaystyle \sin ^{3}x={\frac {1}{4}}\ {\Big (}3\,\sin x-\sin(3x){\Big )}}
[ 13] [ 21]
sin
4
x
=
1
8
(
3
−
4
cos
(
2
x
)
+
cos
(
4
x
)
)
{\displaystyle \sin ^{4}x={\frac {1}{8}}\ {\Big (}3-4\,\cos(2x)+\cos(4x){\Big )}}
[ 13] [ 22]
sin
5
x
=
1
16
(
10
sin
x
−
5
sin
(
3
x
)
+
sin
(
5
x
)
)
{\displaystyle \sin ^{5}x={\frac {1}{16}}\ {\Big (}10\,\sin x-5\,\sin(3x)+\sin(5x){\Big )}}
[ 23]
sin
6
x
=
1
32
(
10
−
15
cos
(
2
x
)
+
6
cos
(
4
x
)
−
cos
(
6
x
)
)
{\displaystyle \sin ^{6}x={\frac {1}{32}}\ {\Big (}10-15\,\cos(2x)+6\,\cos(4x)-\cos(6x){\Big )}}
[ 24]
sin
n
x
=
1
2
n
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
cos
(
(
n
−
2
k
)
(
x
−
π ぱい
2
)
)
;
n
∈
N
{\displaystyle \sin ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,\cos \left((n-2k)\left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)\right)\ ;\quad n\in \mathbb {N} }
sin
n
x
=
1
2
n
(
n
n
2
)
+
1
2
n
−
1
∑
k
=
0
n
2
−
1
(
−
1
)
n
2
−
k
(
n
k
)
cos
(
(
n
−
2
k
)
x
)
;
n
∈
N
und
n
gerade
{\displaystyle \sin ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\,{n \choose {\frac {n}{2}}}+{\frac {1}{2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{{\frac {n}{2}}-k}\,{n \choose k}\,\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ gerade }}}
sin
n
x
=
1
2
n
−
1
∑
k
=
0
n
−
1
2
(
−
1
)
n
−
1
2
−
k
(
n
k
)
sin
(
(
n
−
2
k
)
x
)
;
n
∈
N
und
n
ungerade
{\displaystyle \sin ^{n}x={\frac {1}{2^{n-1}}}\,\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-k}\,{n \choose k}\,\sin {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ ungerade}}}
cos
2
x
=
1
2
(
1
+
cos
(
2
x
)
)
{\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1}{2}}\ {\Big (}1+\cos(2x){\Big )}}
[ 13] [ 25]
cos
3
x
=
1
4
(
3
cos
x
+
cos
(
3
x
)
)
{\displaystyle \cos ^{3}x={\frac {1}{4}}\ {\Big (}3\,\cos x+\cos(3x){\Big )}}
[ 13] [ 26]
cos
4
x
=
1
8
(
3
+
4
cos
(
2
x
)
+
cos
(
4
x
)
)
{\displaystyle \cos ^{4}x={\frac {1}{8}}\ {\Big (}3+4\,\cos(2x)+\cos(4x){\Big )}}
[ 13] [ 27]
cos
5
x
=
1
16
(
10
cos
x
+
5
cos
(
3
x
)
+
cos
(
5
x
)
)
{\displaystyle \cos ^{5}x={\frac {1}{16}}\ {\Big (}10\,\cos x+5\,\cos(3x)+\cos(5x){\Big )}}
[ 28]
cos
6
x
=
1
32
(
10
+
15
cos
(
2
x
)
+
6
cos
(
4
x
)
+
cos
(
6
x
)
)
{\displaystyle \cos ^{6}x={\frac {1}{32}}\ {\Big (}10+15\,\cos(2x)+6\,\cos(4x)+\cos(6x){\Big )}}
[ 29]
cos
n
x
=
1
2
n
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
cos
(
(
n
−
2
k
)
x
)
;
n
∈
N
{\displaystyle \cos ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,\cos((n-2k)x);\quad n\in \mathbb {N} }
cos
n
x
=
1
2
n
(
n
n
2
)
+
1
2
n
−
1
∑
k
=
0
n
2
−
1
(
n
k
)
cos
(
(
n
−
2
k
)
x
)
;
n
∈
N
und
n
gerade
{\displaystyle \cos ^{n}x={\frac {1}{2^{n}}}\,{n \choose {\frac {n}{2}}}+{\frac {1}{2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{n \choose k}\,\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ gerade }}}
cos
n
x
=
1
2
n
−
1
∑
k
=
0
n
−
1
2
(
n
k
)
cos
(
(
n
−
2
k
)
x
)
;
n
∈
N
und
n
ungerade
{\displaystyle \cos ^{n}x={\frac {1}{2^{n-1}}}\,\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{n \choose k}\,\cos {((n-2k)x)};\quad n\in \mathbb {N} {\text{ und }}n{\text{ ungerade}}}
tan
2
x
=
1
−
cos
(
2
x
)
1
+
cos
(
2
x
)
=
sec
2
(
x
)
−
1
{\displaystyle \tan ^{2}x={\frac {1-\cos(2x)}{1+\cos(2x)}}=\sec ^{2}(x)-1}
sin
(
arccos
x
)
=
cos
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
sin
(
arctan
x
)
=
cos
(
arccot
x
)
=
x
1
+
x
2
{\displaystyle \sin(\arctan x)=\cos(\operatorname {arccot} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
sin
(
arccot
x
)
=
cos
(
arctan
x
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \sin(\operatorname {arccot} x)=\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
tan
(
arcsin
x
)
=
cot
(
arccos
x
)
=
x
1
−
x
2
{\displaystyle \tan(\arcsin x)=\cot(\arccos x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
tan
(
arccos
x
)
=
cot
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
x
{\displaystyle \tan(\arccos x)=\cot(\arcsin x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
tan
(
arccot
x
)
=
cot
(
arctan
x
)
=
1
x
{\displaystyle \tan(\operatorname {arccot} x)=\cot(\arctan x)={\frac {1}{x}}}
Die folgenden Formeln gelten für beliebige ebene Dreiecke und folgen nach längeren Termumformungen aus
α あるふぁ
+
β べーた
+
γ がんま
=
180
∘
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}
, solange die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (Letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangens und Kotangens vorkommen).
tan
α あるふぁ
+
tan
β べーた
+
tan
γ がんま
=
tan
α あるふぁ
tan
β べーた
tan
γ がんま
cot
α あるふぁ
2
+
cot
β べーた
2
+
cot
γ がんま
2
=
cot
α あるふぁ
2
cot
β べーた
2
cot
γ がんま
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma &=\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}&=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\end{aligned}}}
cot
β べーた
cot
γ がんま
+
cot
γ がんま
cot
α あるふぁ
+
cot
α あるふぁ
cot
β べーた
=
1
tan
β べーた
2
tan
γ がんま
2
+
tan
γ がんま
2
tan
α あるふぁ
2
+
tan
α あるふぁ
2
tan
β べーた
2
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta &=1\\\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}&=1\end{aligned}}}
sin
α あるふぁ
+
sin
β べーた
+
sin
γ がんま
=
4
cos
α あるふぁ
2
cos
β べーた
2
cos
γ がんま
2
−
sin
α あるふぁ
+
sin
β べーた
+
sin
γ がんま
=
4
cos
α あるふぁ
2
sin
β べーた
2
sin
γ がんま
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}\\-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma &=4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}\end{aligned}}}
cos
α あるふぁ
+
cos
β べーた
+
cos
γ がんま
=
4
sin
α あるふぁ
2
sin
β べーた
2
sin
γ がんま
2
+
1
−
cos
α あるふぁ
+
cos
β べーた
+
cos
γ がんま
=
4
sin
α あるふぁ
2
cos
β べーた
2
cos
γ がんま
2
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1\\-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma &=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1\end{aligned}}}
sin
2
α あるふぁ
+
sin
2
β べーた
+
sin
2
γ がんま
=
4
sin
α あるふぁ
sin
β べーた
sin
γ がんま
−
sin
2
α あるふぁ
+
sin
2
β べーた
+
sin
2
γ がんま
=
4
sin
α あるふぁ
cos
β べーた
cos
γ がんま
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma &=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\-\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma &=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \end{aligned}}}
cos
2
α あるふぁ
+
cos
2
β べーた
+
cos
2
γ がんま
=
−
4
cos
α あるふぁ
cos
β べーた
cos
γ がんま
−
1
−
cos
2
α あるふぁ
+
cos
2
β べーた
+
cos
2
γ がんま
=
−
4
cos
α あるふぁ
sin
β べーた
sin
γ がんま
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma &=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\-\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma &=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\end{aligned}}}
sin
2
α あるふぁ
+
sin
2
β べーた
+
sin
2
γ がんま
=
2
cos
α あるふぁ
cos
β べーた
cos
γ がんま
+
2
−
sin
2
α あるふぁ
+
sin
2
β べーた
+
sin
2
γ がんま
=
2
cos
α あるふぁ
sin
β べーた
sin
γ がんま
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma &=2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \end{aligned}}}
cos
2
α あるふぁ
+
cos
2
β べーた
+
cos
2
γ がんま
=
−
2
cos
α あるふぁ
cos
β べーた
cos
γ がんま
+
1
−
cos
2
α あるふぁ
+
cos
2
β べーた
+
cos
2
γ がんま
=
−
2
cos
α あるふぁ
sin
β べーた
sin
γ がんま
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma &=-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\end{aligned}}}
sin
2
2
α あるふぁ
+
sin
2
2
β べーた
+
sin
2
2
γ がんま
=
−
2
cos
2
α あるふぁ
cos
2
β べーた
cos
2
γ がんま
+
2
−
sin
2
2
α あるふぁ
+
sin
2
2
β べーた
+
sin
2
2
γ がんま
=
−
2
cos
2
α あるふぁ
sin
2
β べーた
sin
2
γ がんま
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}2\alpha +\sin ^{2}2\beta +\sin ^{2}2\gamma &=-2\cos 2\alpha \cos 2\beta \cos 2\gamma +2\\-\sin ^{2}2\alpha +\sin ^{2}2\beta +\sin ^{2}2\gamma &=-2\cos 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma \end{aligned}}}
cos
2
2
α あるふぁ
+
cos
2
2
β べーた
+
cos
2
2
γ がんま
=
2
cos
2
α あるふぁ
cos
2
β べーた
cos
2
γ がんま
+
1
−
cos
2
2
α あるふぁ
+
cos
2
2
β べーた
+
cos
2
2
γ がんま
=
2
cos
2
α あるふぁ
sin
2
β べーた
sin
2
γ がんま
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{2}2\alpha +\cos ^{2}2\beta +\cos ^{2}2\gamma &=2\cos 2\alpha \cos 2\beta \cos 2\gamma +1\\-\cos ^{2}2\alpha +\cos ^{2}2\beta +\cos ^{2}2\gamma &=2\cos 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma +1\end{aligned}}}
sin
2
α あるふぁ
2
+
sin
2
β べーた
2
+
sin
2
γ がんま
2
=
−
2
sin
α あるふぁ
2
sin
β べーた
2
sin
γ がんま
2
+
1
−
sin
2
α あるふぁ
2
+
sin
2
β べーた
2
+
sin
2
γ がんま
2
=
−
2
sin
α あるふぁ
2
cos
β べーた
2
cos
γ がんま
2
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}&=-2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1\\-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}&=-2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}+1\end{aligned}}}
cos
2
α あるふぁ
2
+
cos
2
β べーた
2
+
cos
2
γ がんま
2
=
2
sin
α あるふぁ
2
sin
β べーた
2
sin
γ がんま
2
+
2
−
cos
2
α あるふぁ
2
+
cos
2
β べーた
2
+
cos
2
γ がんま
2
=
2
sin
α あるふぁ
2
cos
β べーた
2
cos
γ がんま
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\cos ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}&=2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+2\\-\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\cos ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\cos ^{2}{\frac {\gamma }{2}}&=2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}\end{aligned}}}
a
sin
α あるふぁ
+
b
cos
α あるふぁ
=
{
a
2
+
b
2
sin
(
α あるふぁ
+
arctan
(
b
a
)
)
, für alle
a
>
0
a
2
+
b
2
cos
(
α あるふぁ
−
arctan
(
a
b
)
)
, für alle
b
>
0
{\displaystyle {\begin{aligned}a\sin \alpha +b\cos \alpha =&{\begin{cases}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin \left(\alpha +\arctan \left({\tfrac {b}{a}}\right)\right)&{\text{, für alle }}a>0\\{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos \left(\alpha -\arctan \left({\tfrac {a}{b}}\right)\right)&{\text{, für alle }}b>0\end{cases}}\end{aligned}}}
a
cos
α あるふぁ
+
b
sin
α あるふぁ
=
sgn
(
a
)
a
2
+
b
2
cos
(
α あるふぁ
+
arctan
(
−
b
a
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}a\cos \alpha +b\sin \alpha =\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos \left(\alpha +\arctan \left(-{\tfrac {b}{a}}\right)\right)\end{aligned}}}
[ 30]
a
sin
(
x
+
α あるふぁ
)
+
b
sin
(
x
+
β べーた
)
=
a
2
+
b
2
+
2
a
b
cos
(
α あるふぁ
−
β べーた
)
⋅
sin
(
x
+
δ でるた
)
,
{\displaystyle a\sin(x+\alpha )+b\sin(x+\beta )={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha -\beta )}}\cdot \sin(x+\delta ),}
wobei
δ でるた
=
atan2
(
a
sin
α あるふぁ
+
b
sin
β べーた
,
a
cos
α あるふぁ
+
b
cos
β べーた
)
.
{\displaystyle \delta =\operatorname {atan2} (a\sin \alpha +b\sin \beta ,a\cos \alpha +b\cos \beta ).}
Allgemeiner ist
∑
i
a
i
sin
(
x
+
δ でるた
i
)
=
a
sin
(
x
+
δ でるた
)
,
{\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sin(x+\delta _{i})=a\sin(x+\delta ),}
wobei
a
2
=
∑
i
,
j
a
i
a
j
cos
(
δ でるた
i
−
δ でるた
j
)
{\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\delta _{i}-\delta _{j})}
und
δ でるた
=
atan2
(
∑
i
a
i
sin
δ でるた
i
,
∑
i
a
i
cos
δ でるた
i
)
.
{\displaystyle \delta =\operatorname {atan2} \left(\sum _{i}a_{i}\sin \delta _{i},\sum _{i}a_{i}\cos \delta _{i}\right).}
Siehe Formelsammlung Ableitungen und Stammfunktionen
Die Lösungen der nachfolgenden bestimmten Integrale stehen im Zusammenhang mit der Euler’schen Betafunktion , welche weiterhin mit der Gammafunktion verknüpft ist. Das zweite Integral ist z. B. in der Physik bei der Berechnung von Kräften zwischen zylinderförmigen Dauermagneten unter Verwendung der sogenannten Multipol-Entwicklung hilfreich.
∫
0
π ぱい
/
2
cos
ν にゅー
1
φ ふぁい
sin
ν にゅー
2
φ ふぁい
d
φ ふぁい
=
1
2
⋅
B
(
ν にゅー
1
+
1
2
,
ν にゅー
2
+
1
2
)
,
Re
(
ν にゅー
j
+
1
2
)
>
0
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\cos ^{\nu _{1}}\varphi \sin ^{\nu _{2}}\varphi \;{\text{d}}\varphi ={\frac {1}{2}}\cdot \operatorname {B} \left({\frac {\nu _{1}+1}{2}},{\frac {\nu _{2}+1}{2}}\right)\;,\quad {\text{Re}}\left({\frac {\nu _{j}+1}{2}}\right)>0}
∫
0
π ぱい
cos
ν にゅー
1
φ ふぁい
sin
ν にゅー
2
φ ふぁい
d
φ ふぁい
=
B
(
ν にゅー
1
+
1
2
,
ν にゅー
2
+
1
2
)
⋅
1
+
(
−
1
)
ν にゅー
1
2
,
ν にゅー
j
=
0
,
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos ^{\nu _{1}}\varphi \sin ^{\nu _{2}}\varphi \;{\text{d}}\varphi =\operatorname {B} \left({\frac {\nu _{1}+1}{2}},{\frac {\nu _{2}+1}{2}}\right)\cdot {\frac {1+(-1)^{\nu _{1}}}{2}},\quad \nu _{j}=0,1,2,3,\dots }
∫
0
2
π ぱい
cos
ν にゅー
1
φ ふぁい
sin
ν にゅー
2
φ ふぁい
d
φ ふぁい
=
2
⋅
B
(
ν にゅー
1
+
1
2
,
ν にゅー
2
+
1
2
)
⋅
1
+
(
−
1
)
ν にゅー
1
2
⋅
1
+
(
−
1
)
ν にゅー
2
2
,
ν にゅー
j
=
0
,
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos ^{\nu _{1}}\varphi \sin ^{\nu _{2}}\varphi \;{\text{d}}\varphi =2\cdot \operatorname {B} \left({\frac {\nu _{1}+1}{2}},{\frac {\nu _{2}+1}{2}}\right)\cdot {\frac {1+(-1)^{\nu _{1}}}{2}}\cdot {\frac {1+(-1)^{\nu _{2}}}{2}},\quad \nu _{j}=0,1,2,3,\dots }
Der Sinus (rot) verglichen mit seinem 7. Taylorpolynom (grün)
Wie auch sonst in der Analysis werden alle Winkel im Bogenmaß angegeben.
Man kann zeigen, dass der Kosinus die Ableitung des Sinus darstellt und die Ableitung des Kosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln (am einfachsten mit dem Entwicklungspunkt
x
=
0
{\displaystyle x=0}
) und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle
x
{\displaystyle x}
aus den reellen Zahlen gelten. Mit diesen Reihen werden die trigonometrischen Funktionen für komplexe Argumente definiert (
B
n
{\displaystyle B_{n}}
bzw.
β べーた
n
{\displaystyle \beta _{n}}
bezeichnet dabei die Bernoulli-Zahlen ):
sin
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
!
x
2
n
+
1
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
±
⋯
,
|
x
|
<
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}\pm \cdots \;,\qquad |x|<\infty \end{aligned}}}
cos
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
x
2
n
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
±
⋯
,
|
x
|
<
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\\&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\pm \cdots \;,\qquad |x|<\infty \end{aligned}}}
tan
x
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
2
2
n
(
1
−
2
2
n
)
β べーた
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
62
2835
x
9
+
⋯
|
x
|
<
π ぱい
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2^{2n}(1-2^{2n})\beta _{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+{\frac {62}{2835}}x^{9}+\,\cdots \qquad |x|<{\tfrac {\pi }{2}}\end{aligned}}}
[ 31]
cot
x
=
1
x
−
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
β べーた
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
1
x
−
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
B
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
=
1
x
−
1
3
x
−
1
45
x
3
−
2
945
x
5
−
1
4725
x
7
−
⋯
,
0
<
|
x
|
<
π ぱい
{\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n-1}2^{2n}\beta _{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}-\,\cdots ,\qquad 0<|x|<\pi \end{aligned}}}
[ 32]
sin
(
x
)
=
x
∏
k
=
1
∞
(
1
−
x
2
k
2
π ぱい
2
)
{\displaystyle \sin(x)=x\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)}
cos
(
x
)
=
∏
k
=
1
∞
(
1
−
4
x
2
(
2
k
−
1
)
2
π ぱい
2
)
{\displaystyle \cos(x)=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right)}
sin
(
x
)
=
∏
n
=
−
∞
∞
(
x
+
n
π ぱい
π ぱい
2
+
n
π ぱい
)
{\displaystyle \sin(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi }{{\frac {\pi }{2}}+n\pi }}\right)}
cos
(
x
)
=
∏
n
=
−
∞
∞
(
x
+
n
π ぱい
+
π ぱい
2
π ぱい
2
+
n
π ぱい
)
{\displaystyle \cos(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}{{\frac {\pi }{2}}+n\pi }}\right)}
tan
(
x
)
=
∏
n
=
−
∞
∞
(
x
+
n
π ぱい
x
+
n
π ぱい
+
π ぱい
2
)
{\displaystyle \tan(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi }{x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}}\right)}
csc
(
x
)
=
∏
n
=
−
∞
∞
(
π ぱい
2
+
n
π ぱい
x
+
n
π ぱい
)
{\displaystyle \csc(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {{\frac {\pi }{2}}+n\pi }{x+n\pi }}\right)}
sec
(
x
)
=
∏
n
=
−
∞
∞
(
π ぱい
2
+
n
π ぱい
x
+
n
π ぱい
+
π ぱい
2
)
{\displaystyle \sec(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {{\frac {\pi }{2}}+n\pi }{x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}}\right)}
cot
(
x
)
=
∏
n
=
−
∞
∞
(
x
+
n
π ぱい
+
π ぱい
2
x
+
n
π ぱい
)
{\displaystyle \cot(x)=\prod _{n=-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+n\pi +{\frac {\pi }{2}}}{x+n\pi }}\right)}
Ferner besteht zwischen den Funktionen
sin
x
{\displaystyle \sin x}
,
cos
x
{\displaystyle \cos x}
und der komplexen Exponentialfunktion
exp
(
i
x
)
{\displaystyle \exp(\mathrm {i} x)}
folgender Zusammenhang:
exp
(
±
i
x
)
=
cos
x
±
i
sin
x
=
e
±
i
x
{\displaystyle \exp(\pm \mathrm {i} x)=\cos x\pm \mathrm {i} \sin x=e^{\pm \mathrm {i} x}}
(Eulersche Formel )
Weiterhin wird
cos
x
+
i
sin
x
=:
cis
(
x
)
{\displaystyle \cos {x}+\mathrm {i} \sin {x}=:\operatorname {cis} (x)}
geschrieben.[ 33]
Auf Grund der oben genannten Symmetrien gilt weiter:
cos
x
=
exp
(
i
x
)
+
exp
(
−
i
x
)
2
{\displaystyle \cos x={\frac {\exp(\mathrm {i} x)+\exp(-\mathrm {i} x)}{2}}}
sin
x
=
exp
(
i
x
)
−
exp
(
−
i
x
)
2
i
{\displaystyle \sin x={\frac {\exp(\mathrm {i} x)-\exp(-\mathrm {i} x)}{2\mathrm {i} }}}
Mit diesen Beziehungen können einige Additionstheoreme besonders einfach und elegant hergeleitet werden.
Eine Formelsammlung für das rechtwinklige und das allgemeine Dreieck auf der Kugeloberfläche findet sich in einem eigenen Kapitel.
↑ Die Wurzel 2006/04+05, 104ff., ohne Beweis
↑ Joachim Mohr: Kosinus-, Sinus und Tangenswerte , abgerufen am 1. Juni 2016
↑ Ausführliche Beweise in Wikibooks Beweisarchiv.
↑ a b Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. vieweg 1983, Seite 87.
↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte , Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum , Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0 , Seite 44
↑ I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik . 19. Auflage, 1979. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig. S. 237.
↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte , Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum , Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0 , Seite 46
↑ Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 22.3.15 , (s. a. oben „Weblinks“)
↑ Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.27 , (s. a. oben „Weblinks“)
↑ Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.29 , (s. a.