σ -Stetigkeit
Die
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Gegeben sei ein Mengenring auf dem ein Inhalt erklärt ist.
Die Mengenfunktion heißt dann
σ -stetig von unten in , wenn für jede monoton wachsende Mengenfolge aus immer ist.σ -stetig von oben in , wenn für jede monoton fallende Mengenfolge aus mit für alle immer ist.
Sie heißt nun
σ -stetig von unten, wenn sieσ -stetig von unten für alle ist.σ -stetig von oben, wenn sieσ -stetig von oben für alle ist.- -stetig, wenn sie stetig von oben in der leeren Menge ist.
Die Definitionen übertragen sich identisch auf den spezielleren Standardfall eines Maßes auf einer
Bemerkung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Im Falle von endlichen Mengenfunktionen wie Wahrscheinlichkeitsmaßen und endlichen Maßen kann bei der Definition der
definiert durch
- ,
das sogenannte Zählmaß ( bezeichnet hier die Menge der Elemente in der Menge ), so ist die Mengenfolge
fallend gegen die leere Menge, aber es ist
- .
Verwendung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Stetigkeit einer Mengenfunktion ist ein wichtiges Hilfsmittel bei vielen Beweisen, da sie es ermöglicht, von der Annäherung der Mengen auf die Annäherung der Funktionswerte zu schließen. Außerdem lassen sich mit ihr äquivalente Charakterisierungen der
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.