Übliche Bedeutung der Kugelkoordinaten Abstand ρ ろー oder r vom Ursprung, Zenitwinkel θ しーた und Azimut φ ふぁい
Kugelkoordinaten oder räumliche Polarkoordinaten sind orthogonale Koordinaten , in denen ein Punkt im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel angegeben wird, siehe Bild.
Bei Punkten auf einer Kugeloberfläche (Sphäre ) um den Koordinatenursprung ist der Abstand vom Kugelmittelpunkt konstant. Dann sind nur noch die beiden Winkel variabel, sie werden dann als sphärische Koordinaten oder Kugelflächenkoordinaten [1] [2] bezeichnet.
Der Begriff „Kugelkoordinaten“ kann als Oberbegriff für den allgemeinen Fall und die sphärischen Koordinaten angesehen werden. Kugelkoordinaten sind wie Zylinderkoordinaten eine Verallgemeinerung der ebenen Polarkoordinaten auf den dreidimensionalen euklidischen Raum . Sie lassen sich auch weiter auf Räume beliebiger endlicher Dimension verallgemeinern.
Kugelkoordinaten
r
,
θ しーた
,
φ ふぁい
{\displaystyle r,\theta ,\varphi }
eines Punktes
P
{\displaystyle P}
und kartesisches Koordinatensystem mit den Achsen
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
.
Ein Kugelkoordinatensystem im dreidimensionalen euklidischen Raum wird festgelegt durch die Wahl
eines Zentrums
O
{\displaystyle O}
(Ursprung),
einer gerichteten Gerade durch das Zentrum (Polachse), die die Polrichtung (oder Zenitrichtung) angibt, und durch diese festgelegt die Äquatorebene, die orthogonal zur Polrichtung durch das Zentrum verläuft, und
einer Bezugsrichtung in der Äquatorebene .
Oft wird gleichzeitig ein kartesisches Koordinatensystem verwendet. Dann wird typischerweise der Ursprung des kartesischen Koordinatensystems als Zentrum gewählt, die z -Achse als Polachse (und damit die x-y -Ebene als Äquatorebene) und die x -Achse als Bezugsrichtung.
In der Version der Kugelkoordinaten, die in der Mathematik und in der Physik üblich ist, wird ein Punkt
P
{\displaystyle P}
durch die folgenden drei Koordinaten festgelegt:
r
{\displaystyle r}
, der Radius , ist der Abstand des Punktes
P
{\displaystyle P}
von
O
{\displaystyle O}
, hiermit wird die Kugeloberfläche festgelegt, auf der sich
P
{\displaystyle P}
befindet.
θ しーた
{\displaystyle \theta }
oder
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
,[3] der Polarwinkel oder Poldistanzwinkel, [4] ist der Winkel zwischen der Polrichtung und der Strecke
O
P
{\displaystyle OP}
, gezählt von
0
{\displaystyle 0}
bis
π ぱい
{\displaystyle \pi }
(0° bis 180°), hierdurch wird der Ort des Punktes
P
{\displaystyle P}
auf eine Kreislinie der Kugeloberfläche festgelegt.
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
oder
ϕ
{\displaystyle \phi }
,[3] der Azimutwinkel ,[4] ist der Winkel zwischen der Bezugsrichtung und der Orthogonalprojektion der Strecke
O
P
{\displaystyle OP}
, gezählt von
−
π ぱい
{\displaystyle -\pi }
bis
π ぱい
{\displaystyle \pi }
(−180° bis 180°) oder von 0 bis
2
π ぱい
{\displaystyle 2\pi }
(0° bis 360°) gegen den Uhrzeigersinn. Hierdurch wird der Ort des Punktes
P
{\displaystyle P}
auf der Kreislinie eindeutig definiert.
Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Punkt
P
{\displaystyle P}
mit den Kugelkoordinaten
(
r
,
θ しーた
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
. Die beiden Winkelgrößen
θ しーた
{\displaystyle \theta }
und
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
werden auch als Winkelkoordinaten bezeichnet.
Jedem Koordinatentripel
(
r
,
θ しーた
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
wird ein Punkt im dreidimensionalen euklidischen Raum zugeordnet (Parametrisierung). Wählt man ein kartesisches Koordinatensystem wie oben, so kann die Zuordnung durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden:
x
=
r
⋅
sin
θ しーた
⋅
cos
φ ふぁい
y
=
r
⋅
sin
θ しーた
⋅
sin
φ ふぁい
z
=
r
⋅
cos
θ しーた
{\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}}
Bei diesen Gleichungen können für
r
{\displaystyle r}
,
θ しーた
{\displaystyle \theta }
und
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
beliebige Zahlenwerte eingesetzt werden. Damit die Kugelkoordinaten eindeutig bestimmt sind, muss man den Wertebereich der Koordinaten einschränken. Üblicherweise wird der Radius
r
{\displaystyle r}
auf nichtnegative Werte beschränkt, der Winkel
θ しーた
{\displaystyle \theta }
auf das Intervall
[
0
,
π ぱい
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
bzw. [0, 180°] und der Winkel
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
entweder auf das Intervall
(
−
π ぱい
,
π ぱい
]
{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}
bzw. (−180°, 180°] oder das Intervall
[
0
,
2
π ぱい
)
{\displaystyle [0,2\pi )}
bzw. [0, 360°).
Auch dann gibt es ausgeartete Punkte, für die die Winkelkoordinaten nicht eindeutig sind. Für Punkte auf der z -Achse ist der Winkel
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
nicht festgelegt, also beliebig. Für den Ursprung ist auch
θ しーた
{\displaystyle \theta }
beliebig. Um Eindeutigkeit zu erreichen, kann man für diese Punkte
φ ふぁい
=
0
{\displaystyle \varphi =0}
festlegen und für den Ursprung zusätzlich
θ しーた
=
0
{\displaystyle \theta =0}
.
Für die anderen Punkte lassen sich die Kugelkoordinaten
(
r
,
θ しーた
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
aus den kartesischen Koordinaten
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
durch die folgenden Gleichungen berechnen:[5]
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle {r}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
θ しーた
=
arccos
z
x
2
+
y
2
+
z
2
=
arccos
z
r
=
arccot
z
x
2
+
y
2
{\displaystyle {\theta }=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\ =\arccos {\frac {z}{r}}\ =\ \operatorname {arccot} {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}
φ ふぁい
=
atan2
(
y
,
x
)
=
{
arctan
(
y
x
)
, wenn
x
>
0
,
π ぱい
2
sgn
y
, wenn
x
=
0
,
arctan
(
y
x
)
+
π ぱい
, wenn
x
<
0
∧
y
≥
0
,
arctan
(
y
x
)
−
π ぱい
, wenn
x
<
0
∧
y
<
0.
{\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{, wenn }}x>0,\\{\frac {\pi }{2}}\operatorname {sgn} y&{\text{, wenn }}x=0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{, wenn }}x<0\land y\geq 0,\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{, wenn }}x<0\land y<0.\end{cases}}}
Die angegebenen Gleichungen für den Winkel
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
gelten, wenn
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
zwischen
−
π ぱい
{\displaystyle -\pi }
und
π ぱい
{\displaystyle \pi }
gewählt wird. Wählt man
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
zwischen 0 und
2
π ぱい
{\displaystyle 2\pi }
, so sind sie geeignet zu modifizieren.
In der Analysis und ihren Anwendungen werden Kugelkoordinaten-Winkel meist im Bogenmaß angegeben.
Kugelkoordinaten werden oft bei der Untersuchung von Systemen verwendet, die rotationssymmetrisch bezüglich eines Punktes sind. Beispiele sind: Volumenintegrale über Kugeln, die Beschreibung und Untersuchung rotationssymmetrischer Kraftfelder , wie z. B. das Gravitationsfeld eines kugelförmigen Himmelskörpers, das elektrische Feld einer Punktladung oder einer geladenen Kugel (siehe Beispiele zum Oberflächenintegral) . Die betrachteten Größen hängen dann nicht von den Winkelkoordinaten ab, was viele Formeln vereinfacht. Wichtige partielle Differentialgleichungen wie die Laplace-Gleichung oder die Helmholtzgleichung können in Kugelkoordinaten durch Separation der Variablen gelöst werden.
Die obige Koordinatenwahl ist internationaler Konsens in der theoretischen Physik . Manchmal werden die Zeichen
θ しーた
{\displaystyle \theta }
und
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
aber im umgekehrten Sinne verwendet, insbesondere in der amerikanischen Literatur.
Der Zenitwinkel
θ しーた
{\displaystyle \theta }
ist nicht die geographische Breite , sondern lässt sich mit der Kobreite identifizieren. Die geographische Breite ist der Winkel zwischen der Äquatorialebene und dem Ortsvektor und nimmt Werte zwischen
−
90
∘
{\displaystyle -90^{\circ }}
und
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
an. Wird sie mit
ϕ
{\displaystyle \phi }
bezeichnet, so ist
ϕ
=
90
∘
−
θ しーた
,
θ しーた
=
90
∘
−
ϕ
{\displaystyle \phi =90^{\circ }-\theta ,\theta =90^{\circ }-\phi }
. Hingegen kann man das oben benutzte
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
ohne weiteres mit der geographischen Länge
λ らむだ
{\displaystyle \lambda }
östlich von Greenwich gleichsetzen (siehe geographische Koordinaten ).
In der Darstellung
x
=
r
cos
ϕ
cos
φ ふぁい
{\displaystyle x=r\cos \phi \,\cos \varphi }
y
=
r
cos
ϕ
sin
φ ふぁい
{\displaystyle y=r\cos \phi \,\sin \varphi }
z
=
r
sin
ϕ
{\displaystyle z=r\sin \phi \quad }
entspricht
ϕ
{\displaystyle \phi }
der geographischen Breite.
Die Umrechnung der kartesischen Koordinaten des Punktes bzw. Vektors
p
→
{\displaystyle {\vec {p}}}
in die Winkelbestandteile erfolgt dann mit
ϕ
=
arcsin
(
z
/
r
)
{\displaystyle \phi =\arcsin(z/r)}
φ ふぁい
=
atan2
(
y
,
x
)
{\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (y,x)}
,
wobei
r
=
|
p
→
|
{\displaystyle r=|{\vec {p}}|}
, arcsin die Umkehrfunktion des Sinus und atan2 eine Umkehrfunktion des Tangens ist.
Aus der Koordinatentransformation als Vektorgleichung mit dem Ortsvektor
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
r
→
=
(
x
y
z
)
=
(
r
sin
θ しーた
cos
φ ふぁい
r
sin
θ しーた
sin
φ ふぁい
r
cos
θ しーた
)
{\displaystyle {\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\sin \theta \cos \varphi \\r\sin \theta \sin \varphi \\r\cos \theta \end{pmatrix}}}
ergeben sich
die Koordinatenlinien , indem man jeweils zwei der drei Koordinaten
(
r
,
θ しーた
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
fest lässt und die dritte den Kurvenparameter darstellt
die Koordinatenflächen , indem man eine der drei Koordinaten
(
r
,
θ しーた
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
fest lässt und die beiden anderen die Fläche parametrisieren.
Für Kugelkoordinaten sind die Koordinatenlinien durch den Punkt
(
r
0
∣
θ しーた
0
∣
φ ふぁい
0
)
{\displaystyle (r_{0}\mid \theta _{0}\mid \varphi _{0})}
für den Parameter
r
{\displaystyle r}
eine Halbgerade, die im Koordinatenursprung beginnt
für den Parameter
θ しーた
{\displaystyle \theta }
ein Halbkreis („Meridian“) mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt und Radius
r
0
{\displaystyle r_{0}}
für den Parameter
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
ein Kreis („Breitenkreis“) mit Radius
r
0
sin
θ しーた
0
{\displaystyle r_{0}\sin \theta _{0}}
senkrecht zur z-Achse.
Als Koordinatenfläche durch den Punkt
(
r
0
∣
θ しーた
0
∣
φ ふぁい
0
)
{\displaystyle (r_{0}\mid \theta _{0}\mid \varphi _{0})}
ergibt sich
für konstanten Radius
r
0
{\displaystyle r_{0}}
eine Kugelfläche mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt
für festen Winkel
θ しーた
0
{\displaystyle \theta _{0}}
eine Kegeloberfläche mit der Spitze im Ursprung und der Polachse als Kegelachse, die für
θ しーた
0
=
π ぱい
/
2
{\displaystyle \theta _{0}=\pi /2}
zu einer Ebene durch den „Äquator“ wird und für
θ しーた
0
=
0
{\displaystyle \theta _{0}=0}
zu einer Geraden durch den „Nordpol“ und für
θ しーた
0
=
π ぱい
{\displaystyle \theta _{0}=\pi }
zu einer Geraden durch den „Südpol“ entartet
für konstanten Wert von
φ ふぁい
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
eine Halbebene mit der Polachse als Rand.
Zwei unterschiedliche Koordinatenflächen durch einen Punkt schneiden sich in einer Koordinatenlinie. Koordinatenlinien und Koordinatenflächen dienen dazu, die lokalen Basisvektoren zu berechnen.
In der Tensorrechnung unterscheidet man wegen ihres unterschiedlichen Verhaltens bei Koordinatentransformationen zwischen kovarianten und kontravarianten Basisvektoren:
die kovarianten Basisvektoren an einem Punkt sind jeweils tangential zu den Koordinatenlinien gerichtet
die kontravarianten Basisvektoren an einem Punkt stehen jeweils senkrecht auf den Koordinatenflächen.
Die lokalen Eigenschaften der Koordinatentransformation werden durch die Jacobi-Matrix beschrieben. Für die Transformation von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten lautet diese
J
=
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
r
,
θ しーた
,
φ ふぁい
)
=
(
sin
θ しーた
cos
φ ふぁい
r
cos
θ しーた
cos
φ ふぁい
−
r
sin
θ しーた
sin
φ ふぁい
sin
θ しーた
sin
φ ふぁい
r
cos
θ しーた
sin
φ ふぁい
r
sin
θ しーた
cos
φ ふぁい
cos
θ しーた
−
r
sin
θ しーた
0
)
.
{\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}.}
Die zugehörige Funktionaldeterminante lautet:
det
J
=
r
2
sin
θ しーた
{\displaystyle \det J=r^{2}\sin \theta }
Man berechnet die Jacobi-Matrix der entgegengesetzten Transformation am einfachsten als Inverse von
J
{\displaystyle J}
:
J
−
1
=
∂
(
r
,
θ しーた
,
φ ふぁい
)
∂
(
x
,
y
,
z
)
=
(
sin
θ しーた
cos
φ ふぁい
sin
θ しーた
sin
φ ふぁい
cos
θ しーた
1
r
cos
θ しーた
cos
φ ふぁい
1
r
cos
θ しーた
sin
φ ふぁい
−
1
r
sin
θ しーた
−
1
r
sin
φ ふぁい
sin
θ しーた
1
r
cos
φ ふぁい
sin
θ しーた
0
)
.
{\displaystyle J^{-1}={\frac {\partial (r,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\{\frac {1}{r}}\cos \theta \cos \varphi &{\frac {1}{r}}\cos \theta \sin \varphi &-{\frac {1}{r}}\sin \theta \\-{\frac {1}{r}}{\frac {\sin \varphi }{\sin \theta }}&{\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi }{\sin \theta }}&0\end{pmatrix}}.}
Einige Komponenten dieser Matrix sind Brüche , an deren Nennern man die Uneindeutigkeit der Polarkoordinaten bei
r
=
0
{\displaystyle \textstyle r=0}
und bei
sin
θ しーた
=
0
{\displaystyle \textstyle \sin \theta =0}
(also
θ しーた
=
0
{\displaystyle \textstyle \theta =0}
oder
π ぱい
{\displaystyle \textstyle \pi }
) erkennt.
Weniger gebräuchlich ist die Darstellung in kartesischen Koordinaten:
J
−
1
=
(
x
r
y
r
z
r
x
z
r
2
x
2
+
y
2
y
z
r
2
x
2
+
y
2
−
(
x
2
+
y
2
)
r
2
x
2
+
y
2
−
y
x
2
+
y
2
x
x
2
+
y
2
0
)
.
{\displaystyle J^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&{\frac {z}{r}}\\\\{\frac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.}
Differentiale, Volumenelement, Flächenelement, Linienelement [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]
Die Jacobi-Matrix erlaubt es, die Umrechnung von Differentialen übersichtlich als lineare Abbildung zu schreiben:
(
d
x
d
y
d
z
)
=
J
⋅
(
d
r
d
θ しーた
d
φ ふぁい
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}=J\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {d} r\\\mathrm {d} \theta \\\mathrm {d} \varphi \end{pmatrix}}}
beziehungsweise
(
d
r
d
θ しーた
d
φ ふぁい
)
=
J
−
1
⋅
(
d
x
d
y
d
z
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {d} r\\\mathrm {d} \theta \\\mathrm {d} \varphi \end{pmatrix}}=J^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}}
.
Das Volumenelement
d
V
=
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}
lässt sich besonders einfach mit Hilfe der Funktionaldeterminante
det
J
=
r
2
sin
θ しーた
{\displaystyle \det J=r^{2}\sin \theta }
umrechnen:
d
V
=
r
2
sin
θ しーた
d
φ ふぁい
d
θ しーた
d
r
{\displaystyle \,\mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r}
.
Durch Differentiation
d
V
d
r
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}}
erhält man für das Flächenelement
d
A
{\displaystyle \mathrm {d} A}
auf einer Sphäre mit Radius
r
{\displaystyle r}
d
A
=
r
2
sin
θ しーた
d
φ ふぁい
d
θ しーた
{\displaystyle \mathrm {d} A=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta }
.
Das Linienelement
d
s
{\displaystyle \mathrm {d} s}
errechnet man gemäß
d
s
2
=
d
x
2
+
d
y
2
+
d
z
2
=
d
r
2
+
r
2
d
θ しーた
2
+
r
2
sin
2
θ しーた
d
φ ふぁい
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}}
Im Fehlen gemischter Glieder im Linienelement
d
s
{\displaystyle \mathrm {d} s}
spiegelt sich wider, dass der metrische Tensor
g
=
J
T
J
=
(
1
0
0
0
r
2
0
0
0
r
2
sin
2
θ しーた
)
{\displaystyle g=J^{T}J={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}
auch in Kugelkoordinaten keine Außerdiagonalelemente hat.
Der metrische Tensor ist offensichtlich das Quadrat der Diagonalmatrix
h
=
diag
(
1
,
r
,
r
sin
θ しーた
)
{\displaystyle h=\operatorname {diag} (1,r,r\sin \theta )}
.
Mit Hilfe dieser Matrix lässt sich die Jacobi-Matrix als
J
=
S
h
{\displaystyle J=Sh}
schreiben, wobei
S
{\displaystyle S}
die Rotationsmatrix
S
=
(
sin
θ しーた
cos
φ ふぁい
cos
θ しーた
cos
φ ふぁい
−
sin
φ ふぁい
sin
θ しーた
sin
φ ふぁい
cos
θ しーた
sin
φ ふぁい
cos
φ ふぁい
cos
θ しーた
−
sin
θ しーた
0
)
{\displaystyle S={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{pmatrix}}}
ist.
Kugelkoordinaten mit zugehöriger vom Ort abhängigen Orthogonalbasis
e
r
,
e
θ しーた
,
e
φ ふぁい
{\displaystyle \mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi }}
Im Folgenden soll die Transformation von Vektoren und Differentialoperatoren exemplarisch dargestellt werden. Die Ergebnisse werden bevorzugt in kompakter Form unter Benutzung von Transformationsmatrizen geschrieben. Die allermeisten Aussagen und Formeln gelten nur für Punkte außerhalb der z -Achse, für die die Jacobi-Determinante ungleich null ist.
Der Basisvektor
e
φ ふぁい
{\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }}
zur Koordinate
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
gibt an, in welche Richtung sich ein Punkt
P
(
r
,
θ しーた
,
φ ふぁい
)
{\displaystyle P(r,\theta ,\varphi )}
bewegt, wenn die Koordinate
φ ふぁい
{\displaystyle \varphi }
um einen infinitesimalen Betrag
d
φ ふぁい
{\displaystyle d\varphi }
verändert wird:
e
φ ふぁい
∼
∂
P
∂
φ ふぁい
{\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }\sim {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial \varphi }}}
.
Daraus erhält man
e
φ ふぁい
∼
∂
P
∂
φ ふぁい
=
∂
x
∂
φ ふぁい
e
x
+
∂
y
∂
φ ふぁい
e
y
+
∂
z
∂
φ ふぁい
e
z
=
−
r
sin
θ しーた
sin
φ ふぁい
e
x
+
r
sin
θ しーた
cos
φ ふぁい
e
y
{\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }\sim {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial \varphi }}={\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{x}+{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial z}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{z}=-r\sin \theta \sin \varphi \mathbf {e} _{x}+r\sin \theta \cos \varphi \mathbf {e} _{y}}
.
Um eine orthonormale Basis zu erhalten, muss
e
φ ふぁい
{\displaystyle e_{\varphi }}
noch auf die Länge
1
{\displaystyle 1}
normiert werden:
e
φ ふぁい
=
−
sin
φ ふぁい
e
x
+
cos
φ ふぁい
e
y
{\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }=-\sin \varphi \,\mathbf {e} _{x}+\cos \varphi \,\mathbf {e} _{y}}
.
Auf gleiche Weise erhält man die Basisvektoren
e
r
{\displaystyle e_{r}}
und
e
θ しーた
{\displaystyle e_{\theta }}
:
e
r
=
sin
θ しーた
cos
φ ふぁい
e
x
+
sin
θ しーた
sin
φ ふぁい
e
y
+
cos
θ しーた
e
z
{\displaystyle \mathbf {e} _{r}=\sin \theta \cos \varphi \,\mathbf {e} _{x}+\sin \theta \sin \varphi \,\mathbf {e} _{y}+\cos \theta \,\mathbf {e} _{z}}
e
θ しーた
=
cos
θ しーた
cos
φ ふぁい
e
x
+
cos
θ しーた
sin
φ ふぁい
e
y
−
sin
θ しーた
e
z
{\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }=\cos \theta \cos \varphi \,\mathbf {e} _{x}+\cos \theta \sin \varphi \,\mathbf {e} _{y}-\sin \theta \,\mathbf {e} _{z}}
Als Spaltenvektoren geschrieben:
e
r
=
(
sin
θ しーた
cos
φ ふぁい
sin
θ しーた
sin
φ ふぁい
cos
θ しーた
)
,
e
θ しーた
=
(
cos
θ しーた
cos
φ ふぁい
cos
θ しーた
sin
φ ふぁい
−
sin
θ しーた
)
,
e
φ ふぁい
=
(
−
sin
φ ふぁい
cos
φ ふぁい
0
)
{\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi \\\cos \theta \sin \varphi \\-\sin \theta \end{pmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}}}
Diese Basisvektoren bilden in der Reihenfolge
e
r
,
e
θ しーた
,
e
φ ふぁい
{\displaystyle \mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi }}
ein Rechtssystem .
Die zugehörigen Richtungen werden auch radial , meridional und azimutal genannt. Diese Begriffe spielen nicht nur in der Astronomie und den Geowissenschaften (z. B. Geographie , Geologie oder Geophysik ) eine zentrale Rolle, sondern auch in Mathematik , Physik und verschiedenen Ingenieurwissenschaften , etwa bei der Ausstrahlung von elektromagnetischen Wellen („Hertzscher Dipol “) durch eine in z -Richtung aufgespannte Antenne, wo die Ausstrahlung in radialer Richtung erfolgt, während elektrisches bzw. magnetisches Feld in meridionaler bzw. azimutaler Richtung schwingen.
Mithilfe der oben eingeführten Rotationsmatrix
S
{\displaystyle S}
lassen sich die Transformationen auch kompakt darstellen:
(
e
r
,
e
θ しーた
,
e
φ ふぁい
)
=
(
e
x
,
e
y
,
e
z
)
⋅
S
{\displaystyle (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi })=(\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})\cdot S}
.
In die Gegenrichtung lauten die Gleichungen dann:
(
e
x
,
e
y
,
e
z
)
=
(
e
r
,
e
θ しーた
,
e
φ ふぁい
)
⋅
S
T
{\displaystyle (\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})=(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi })\cdot S^{T}}
.
(Dabei wird verwendet, dass
S
{\displaystyle S}
orthogonal ist und deshalb
S
−
1
=
S
T
{\displaystyle S^{-1}=S^{T}}
.)
Ein Vektor , als ein geometrisches Objekt, muss vom Koordinatensystem unabhängig sein:
A
x
e
x
+
A
y
e
y
+
A
z
e
z
=
A
=
A
r
e
r
+
A
θ しーた
e
θ しーた
+
A
φ ふぁい
e
φ ふぁい
.
{\displaystyle A_{x}\mathbf {e} _{x}+A_{y}\mathbf {e} _{y}+A_{z}\mathbf {e} _{z}=\mathbf {A} =A_{r}\mathbf {e} _{r}+A_{\theta }\mathbf {e} _{\theta }+A_{\varphi }\mathbf {e} _{\varphi }.}
Diese Bedingung wird erfüllt durch
(
A
x
A
y
A
z
)
=
S
⋅
(
A
r
A
θ しーた
A
φ ふぁい
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=S\cdot {\begin{pmatrix}A_{r}\\A_{\theta }\\A_{\varphi }\end{pmatrix}}}
beziehungsweise
(
A
r
A
θ しーた
A
φ ふぁい
)
=
S
T
⋅
(
A
x
A
y
A
z
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{r}\\A_{\theta }\\A_{\varphi }\end{pmatrix}}=S^{T}\cdot {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}}
.
Die partiellen Ableitungen transformieren sich wie die Basisvektoren, aber ohne Normierung. Man kann genau wie oben rechnen, nur lässt man den Punkt
P
{\displaystyle P}
im Zähler weg (tatsächlich werden in der modernen Formulierung der Differentialgeometrie die Koordinatenbasisvektoren des Tangentialraums und die partiellen Ableitungen gleichgesetzt) und verwendet die Jacobi-Matrix
J
=
S
h
{\displaystyle J=Sh}
anstelle der Rotationsmatrix
S
{\displaystyle S}
. Die Transformation lautet also:
(
∂
∂
r
,
∂
∂
θ しーた
,
∂
∂
φ ふぁい
)
=
(
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
⋅
J
{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial r}},{\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot J}
,
und in die Gegenrichtung
(
∂
∂
x
,
∂
∂
y
,
∂
∂
z
)
=
(
∂
∂
r
,
∂
∂
θ しーた
,
∂
∂
φ ふぁい
)
⋅
J
−
1
{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)=\left({\frac {\partial }{\partial r}},{\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)\cdot J^{-1}}
.
Der Nabla-Operator
∇
{\displaystyle \nabla }
hat nur in kartesischen Koordinaten die einfache Form
∇
=
e
x
∂
∂
x
+
e
y
∂
∂
y
+
e
z
∂
∂
z
{\displaystyle \mathbf {\nabla } =\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z}}}
.
Sowohl die partiellen Ableitungen als auch die Einheitsvektoren muss man in der oben hergeleiteten Weise transformieren. Man findet:
∇
=
e
r
∂
∂
r
+
e
θ しーた
1
r
∂
∂
θ しーた
+
e
φ ふぁい
1
r
sin
θ しーた
∂
∂
φ ふぁい
{\displaystyle \mathbf {\nabla } =\mathbf {e} _{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+\mathbf {e} _{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+\mathbf {e} _{\varphi }{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}}
.
In dieser Form kann der transformierte Nabla-Operator unmittelbar angewandt werden, um den Gradienten eines in Kugelkoordinaten gegebenen Skalarfeldes zu berechnen.
Um die Divergenz eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen, ist hingegen zu berücksichtigen, dass
∇
{\displaystyle \nabla }
nicht nur auf die Koeffizienten
A
r
,
A
θ しーた
,
A
φ ふぁい
{\displaystyle A_{r},A_{\theta },A_{\varphi }}
wirkt, sondern auch auf die in A implizit enthaltenen Basisvektoren
e
r
,
e
θ しーた
,
e
φ ふぁい
{\displaystyle \mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi }}
∇
⋅
A
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
A
r
)
+
1
r
sin
θ しーた
∂
∂
θ しーた
(
sin
θ しーた
A
θ しーた
)
+
1
r
sin
θ しーた
∂
∂
φ ふぁい
A
φ ふぁい
.
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}A_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta A_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}A_{\varphi }.}
Um die Rotation eines in Kugelkoordinaten gegebenen Vektorfeldes A zu berechnen, ist dasselbe zu berücksichtigen:
∇
×
A
=
1
r
sin
θ しーた
(
∂
∂
θ しーた
(
A
φ ふぁい
sin
θ しーた
)
−
∂
A
θ しーた
∂
φ ふぁい
)
e
r
+
1
r
(
1
sin
θ しーた
∂
A
r
∂
φ ふぁい
−
∂
∂
r
(
r
A
φ ふぁい
)
)
e
θ しーた
+
1
r
(
∂
∂
r
(
r
A
θ しーた
)
−
∂
A
r
∂
θ しーた
)
e
φ ふぁい
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} ={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }(A_{\varphi }\sin \theta )-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right)\mathbf {e} _{r}+{1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}(rA_{\varphi })\right)\mathbf {e} _{\theta }+{1 \over r}\left({\partial \over \partial r}(rA_{\theta })-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right)\mathbf {e} _{\varphi }}
Wenn man in der Divergenzformel als Vektorfeld A den Gradientenoperator
∇
{\displaystyle \nabla }
einsetzt, findet man den Laplace-Operator
Δ でるた
=
∇
2
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ しーた
∂
∂
θ しーた
(
sin
θ しーた
∂
∂
θ しーた
)
+
1
r
2
sin
2
θ しーた
∂
2
∂
φ ふぁい
2
{\displaystyle \mathbf {\Delta } =\mathbf {\nabla } ^{2}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}}
.
bzw.
Δ でるた
=
∂
2
∂
r
2
+
2
r
∂
∂
r
+
1
r
2
∂
2
∂
θ しーた
2
+
1
r
2
cos
θ しーた
sin
θ しーた
∂
∂
θ しーた
+
1
r
2
sin
2
θ しーた
∂
2
∂
φ ふぁい
2
{\displaystyle \mathbf {\Delta } ={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}}
.
Eine Verallgemeinerung der Kugelkoordinaten auf
n
{\displaystyle n}
Dimensionen:
x
1
=
r
cos
(
ϕ
1
)
x
2
=
r
sin
(
ϕ
1
)
cos
(
ϕ
2
)
x
3
=
r
sin
(
ϕ
1
)
sin
(
ϕ
2
)
cos
(
ϕ
3
)
⋮
x
n
−
1
=
r
sin
(
ϕ
1
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
cos
(
ϕ
n
−
1
)
x
n
=
r
sin
(
ϕ
1
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
sin
(
ϕ
n
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\&{}\,\,\,\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\\x_{n}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\end{aligned}}}
Die Winkel entwickeln sich nach:
tan
(
ϕ
n
−
1
)
=
x
n
x
n
−
1
tan
(
ϕ
n
−
2
)
=
x
n
2
+
x
n
−
1
2
x
n
−
2
⋮
tan
(
ϕ
1
)
=
x
n
2
+
x
n
−
1
2
+
⋯
+
x
2
2
x
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\phi _{n-1})&={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}\\\tan(\phi _{n-2})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\tan(\phi _{1})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}\end{aligned}}}
Durch Umnummerierung erhält man eine Rekursionsformel für die Winkel:
x
n
=
r
cos
(
ϕ
n
−
1
)
x
n
−
1
=
r
sin
(
ϕ
n
−
1
)
cos
(
ϕ
n
−
2
)
x
n
−
2
=
r
sin
(
ϕ
n
−
1
)
sin
(
ϕ
n
−
2
)
cos
(
ϕ
n
−
3
)
⋮
x
2
=
r
sin
(
ϕ
n
−
1
)
⋯
sin
(
ϕ
2
)
cos
(
ϕ
1
)
x
1
=
r
sin
(
ϕ
n
−
1
)
⋯
sin
(
ϕ
2
)
sin
(
ϕ
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}&=r\cos(\phi _{n-1})\\x_{n-1}&=r\sin(\phi _{n-1})\cos(\phi _{n-2})\\x_{n-2}&=r\sin(\phi _{n-1})\sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-3})\\&{}\,\,\,\vdots \\x_{2}&=r\sin(\phi _{n-1})\cdots \sin(\phi _{2})\cos(\phi _{1})\\x_{1}&=r\sin(\phi _{n-1})\cdots \sin(\phi _{2})\sin(\phi _{1})\end{aligned}}}
Woraus sich die folgenden Winkel ergeben:
‖
L
→
k
‖
=
sgn
(
x
k
)
x
k
2
+
‖
L
→
k
−
1
‖
2
=
x
k
‖
x
k
‖
x
k
2
+
‖
L
→
k
−
1
‖
2
{\displaystyle \left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert =\operatorname {sgn}(x_{k}){\sqrt {x_{k}^{2}+\left\Vert {\vec {L}}_{k-1}\right\Vert ^{2}}}={\frac {x_{k}}{\left\Vert x_{k}\right\Vert }}{\sqrt {x_{k}^{2}+\left\Vert {\vec {L}}_{k-1}\right\Vert ^{2}}}}
mit
‖
L
→
0
‖
=
0
{\displaystyle \left\Vert {\vec {L}}_{0}\right\Vert =0}
und
tan
(
ϕ
k
)
=
x
k
2
+
‖
L
→
k
−
1
‖
2
x
k
+
1
=
‖
L
→
k
‖
x
k
+
1
{\displaystyle \tan(\phi _{k})={\frac {\sqrt {x_{k}^{2}+\left\Vert {\vec {L}}_{k-1}\right\Vert ^{2}}}{x_{k+1}}}={\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert }{x_{k+1}}}}
Der Radius ist:
r
=
‖
L
→
n
‖
{\displaystyle r=\left\Vert {\vec {L}}_{n}\right\Vert }
Eine Fallunterscheidung liefert mittels Arkustangens den passenden Winkel zur gegebenen kartesischen Koordinate , wobei
arctan
(
±
∞
)
=
±
π ぱい
2
{\displaystyle \arctan(\pm \,\infty )=\pm \,{\tfrac {\pi }{2}}}
:
ϕ
k
=
{
arctan
(
‖
L
→
k
‖
x
k
+
1
)
+
π ぱい
,
(1) wenn:
x
k
+
1
<
0
∧
k
=
n
−
1
arctan
(
‖
L
→
k
‖
x
k
+
1
)
,
(2) wenn:
nicht (1)
∧
nicht (3)
0
,
(3) wenn:
x
k
+
1
=
‖
L
→
k
‖
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{k}={\begin{cases}\arctan \left({\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert }{x_{k+1}}}\right)+\pi ,&{\text{(1) wenn: }}x_{k+1}<0\;\land \;k=n-1\\\arctan \left({\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert }{x_{k+1}}}\right),&{\text{(2) wenn: }}{\text{nicht (1)}}\land \;{\text{nicht (3)}}\\0,&{\text{(3) wenn: }}x_{k+1}=\left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert =0\\\end{cases}}\end{aligned}}}
Dabei fällt auf, dass
L
→
k
{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {L}}_{k}\end{aligned}}}
immer ein zweidimensionaler Vektor ist für
k
>
0
{\displaystyle {\begin{aligned}k>0\end{aligned}}}
.
Die Jacobi-Matrix der Kugelkoordinaten lautet bezüglich der als oberes gegebenen Nummerierung:
J
=
(
cos
(
ϕ
1
)
−
r
sin
(
ϕ
1
)
0
0
⋯
0
sin
(
ϕ
1
)
cos
(
ϕ
2
)
r
cos
(
ϕ
1
)
cos
(
ϕ
2
)
−
r
sin
(
ϕ
1
)
sin
(
ϕ
2
)
0
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋱
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋱
⋱
0
sin
(
ϕ
1
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
cos
(
ϕ
n
−
1
)
r
cos
(
ϕ
1
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
cos
(
ϕ
n
−
1
)
⋯
⋯
⋯
−
r
sin
(
ϕ
1
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
sin
(
ϕ
n
−
1
)
sin
(
ϕ
1
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
sin
(
ϕ
n
−
1
)
r
cos
(
ϕ
1
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
sin
(
ϕ
n
−
1
)
⋯
⋯
⋯
r
sin
(
ϕ
1
)
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
cos
(
ϕ
n
−
1
)
)
{\displaystyle J=\left({\begin{matrix}\cos(\phi _{1})&-r\sin(\phi _{1})&0&0&\cdots &0\\\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})&r\cos(\phi _{1})\cos(\phi _{2})&-r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})&r\cos(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})&\cdots &\cdots &\cdots &-r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\\\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})&r\cos(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})&\cdots &\cdots &\cdots &r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\end{matrix}}\right)}
Ihre Determinante beträgt:
det
J
(
n
)
=
r
n
−
1
sin
(
ϕ
1
)
n
−
2
sin
(
ϕ
2
)
n
−
3
⋯
sin
(
ϕ
n
−
2
)
=
r
n
−
1
⋅
∏
k
=
2
n
−
1
(
sin
(
ϕ
n
−
k
)
)
k
−
1
n
≥
2
{\displaystyle \det J_{(n)}=r^{n-1}\sin(\phi _{1})^{n-2}\sin(\phi _{2})^{n-3}\cdots \sin(\phi _{n-2})=\displaystyle r^{n-1}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}\left(\sin(\phi _{n-k})\right)^{k-1}\quad n\geq 2}
Das Integral über den Betrag dieser Determinante lässt sich mit der Gammafunktion
Γ がんま
{\displaystyle \Gamma }
angeben.
∫
0
R
∫
0
2
π ぱい
∫
0
π ぱい
…
∫
0
π ぱい
|
det
J
(
n
)
|
d
ϕ
1
…
d
ϕ
n
−
2
d
ϕ
n
−
1
d
r
=
2
π ぱい
R
n
n
⋅
∏
k
=
2
n
−
1
∫
0
π ぱい
(
sin
(
ϕ
n
−
k
)
)
k
−
1
d
ϕ
n
−
k
=
2
π ぱい
R
n
n
⋅
∏
k
=
2
n
−
1
π ぱい
Γ がんま
(
k
2
)
Γ がんま
(
k
+
1
2
)
=
π ぱい
n
R
n
Γ がんま
(
n
2
+
1
)
n
≥
2
{\displaystyle \int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\dots \int _{0}^{\pi }|\det J_{(n)}|\,{\text{d}}\phi _{1}\dots {\text{d}}\phi _{n-2}{\text{d}}\phi _{n-1}{\text{d}}r={\frac {2\pi R^{n}}{n}}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}\int _{0}^{\pi }(\sin(\phi _{n-k}))^{k-1}{\text{d}}\phi _{n-k}={\frac {2\pi R^{n}}{n}}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}{\frac {{\sqrt {\pi }}\;\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}}={\frac {{\sqrt {\pi }}^{n}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}\quad n\geq 2}
Dies entspricht dem Kugelvolumen einer
n
{\displaystyle n}
-dimensionalen Hyperkugel :
V
n
(
R
)
=
π ぱい
n
R
n
Γ がんま
(
n
2
+
1
)
{\displaystyle V_{n}(R)={\frac {{\sqrt {\pi }}^{n}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}}
2D:
∫
0
R
∫
0
2
π ぱい
r
d
ϕ
1
d
r
=
π ぱい
R
2
{\displaystyle \int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }r\mathrm {d} \phi _{1}\mathrm {d} r=\pi R^{2}}
3D:
∫
0
R
∫
0
2
π ぱい
∫
0
π ぱい
r
2
sin
(
ϕ
2
)
d
ϕ
2
d
ϕ
1
d
r
=
4
π ぱい
R
3
3
{\displaystyle \int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin(\phi _{2}){\text{d}}\phi _{2}{\text{d}}\phi _{1}{\text{d}}r={\frac {4\pi R^{3}}{3}}}
4D:
∫
0
R
∫
0
2
π ぱい
∫
0
π ぱい
∫
0
π ぱい
r
3
sin
2
(
ϕ
1
)
sin
(
ϕ
2
)
d
ϕ
1
d
ϕ
2
d
ϕ
3
d
r
=
π ぱい
2
R
4
2
{\displaystyle \int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }r^{3}\sin ^{2}(\phi _{1})\sin(\phi _{2}){\text{d}}\phi _{1}{\text{d}}\phi _{2}{\text{d}}\phi _{3}{\text{d}}r={\frac {\pi ^{2}R^{4}}{2}}}
Zuordnung am Beispiel
n
=
3
{\displaystyle n=3}
mit den geläufigen Koordinatenachsen
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
:
x
3
=
z
=
r
cos
(
ϕ
2
)
x
2
=
x
=
r
sin
(
ϕ
2
)
cos
(
ϕ
1
)
x
1
=
y
=
r
sin
(
ϕ
2
)
sin
(
ϕ
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=z=r\cos(\phi _{2})\\x_{2}&=x=r\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{1})\\x_{1}&=y=r\sin(\phi _{2})\sin(\phi _{1})\\\end{aligned}}}
Die Winkel sind dann:
tan
(
ϕ
2
)
=
‖
L
→
2
‖
x
3
=
x
2
2
+
x
1
2
x
3
=
x
2
+
y
2
z
tan
(
ϕ
1
)
=
‖
L
→
1
‖
x
2
=
x
1
2
x
2
=
y
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\phi _{2})={\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{2}\right\Vert }{x_{3}}}&={\frac {\sqrt {x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}}{x_{3}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\\\tan(\phi _{1})={\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{1}\right\Vert }{x_{2}}}&={\frac {\sqrt {x_{1}^{2}}}{x_{2}}}={\frac {y}{x}}\end{aligned}}}
W. Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik . Band 1 . Springer Vieweg, ISBN 978-3-658-25271-7 .
↑
Richard Doerfling: Mathematik für Ingenieure und Techniker. Oldenbourg Verlag, Seite 169.
↑
F. W. Schäfke: Einführung in die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Springer, 1963, ISBN 978-3-642-94867-1 , Seite 129.
↑ a b
Lothar Papula : Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. 4. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-34937-9 .
↑ a b
Zylinder- und Kugelkoordinaten. (Memento vom 17. Dezember 2012 im Internet Archive ). (PDF; 59 kB). Skript an der TU München.
↑
Kugelkoordinaten. Mathematik-Online-Lexikon der Universität Stuttgart.