超越ちょうえつ数すう単語たんご

チョウエツスウ

1.1千せん文字もじの記事きじ

超越ちょうえつ数すうとは、有理数ゆうりすう係数けいすうの代数だいすう方程式ほうていしきの解かいとして表あらわされない複素数ふくそすうのことである。

概要がいよう

複素数ふくそすうの中なかで、a₀,a₁,…a_nを有理数ゆうりすうとして(ただしa_n≠0)、代数だいすう方程式ほうていしきa_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀=0の解かいとなるような複素数ふくそすうを代数だいすう的てき数すうというが、超越ちょうえつ数すうとは、そのような有理数ゆうりすう係数けいすうの代数だいすう方程式ほうていしきの解かいにならない複素数ふくそすうのことである。

簡単かんたんに言いうと「代数だいすう的てき数すうでない複素数ふくそすう」のことである。

しばしば聞きかれる問題もんだいに、「超越ちょうえつ数すうは無理むり数すうであるか」というものがある。

結論けつろんから言いえばNoである。
なぜなら、有理数ゆうりすう・無理むり数すうは実数じっすうの中なかの分類ぶんるいであるのに対たいし、代数だいすう的てき数すう・超越ちょうえつ数すうは複素数ふくそすう全体ぜんたいの分類ぶんるいなので、無理むり数すうは虚数きょすうとならないのに対たいし、超越ちょうえつ数すうは虚数きょすうとなり得えるからである。

ただし、対たい象ぞうを実数じっすうに限定げんていすれば、「超越ちょうえつ数すうは無理むり数すう」は正ただしいと言いえる。
実数じっすうの中なかでは、「有理数ゆうりすうならば(実数じっすうの)代数だいすう的てき数すう」が成立せいりつするので、対偶たいぐうを取とって「(実数じっすうの)超越ちょうえつ数すうならば無理むり数すう」も成立せいりつするからである。

超越ちょうえつ数すうの有名ゆうめいな例れいとしては、円周えんしゅう率りつ πぱいや自然しぜん対数たいすうの底そこeが挙あげられる。
また、他ほかにも、2^√2やlog₂3、e^πぱいといった数かずも超越ちょうえつ数すうである。

関数かんすうの値ねが超越ちょうえつ数すうになる例れいは意外いがいと多おおく、例たとえば、x=0を除のぞく代数だいすう的てき数すうxに対たいし、e^x、sinx、cosx、tanx、sinhx、coshx、tanhxは超越ちょうえつ数すうとなる。

また、x=0を除のぞく代数だいすう的てき数すうxと超越ちょうえつ数すうyについて、x+y、xyは超越ちょうえつ数すうとなる。

他ほかにもたくさんの超越ちょうえつ数すうの例れいがあり、詳細しょうさいはwikipedia「超越ちょうえつ数すう」等とうを参照さんしょうのこと。

現在げんざいも代数だいすう的てき数すうであるか超越ちょうえつ数すうであるか未み判明はんめいの数かずは多おおく存在そんざいし、オイラーの定数ていすう γがんま※、πぱい+e、πぱい-e、πぱいe、πぱい/e、e^e、πぱい^πぱい、πぱい^eなどの数かずは、超越ちょうえつ数すうであるかどうかはおろか、無理むり数すうであるかどうかも分わかっていない。