円周えんしゅう率りつ単語たんご

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円周えんしゅう率りつ（えんしゅうりつ）とは、円えんの直径ちょっけいに対たいする円周えんしゅうの比ひである。直径ちょっけい1の円えんの周しゅうの長ながさに等ひとしい。

数学すうがく定数ていすうの一ひとつであり、“πぱい”で表あらわされる。

無限むげん小数しょうすうでは πぱい = 3.141592... と表示ひょうじされる。円周えんしゅう率りつは超越ちょうえつ数すうであることが知しられており、（超越ちょうえつ数すうは特とくに無理むり数すうなので）この無限むげん小数しょうすうは循環じゅんかんしない。

円周えんしゅう率りつに関かんする慣用かんよう表現ひょうげん

ゆとり教育きょういくの代名詞だいめいしとして、「円周えんしゅう率りつが3」と指ゆび導しるべされた世代せだいと揶揄やゆする人ひとも多おおい。が、実際じっさいには「円周えんしゅう率りつが3」で指ゆび導しるべということ自体じたいがガセネタでそのような事実じじつはなく、都市とし伝説でんせつである。

当時とうじの学習がくしゅう指ゆび導しるべ要領ようりょうに「円周えんしゅう率りつを教おしえる前まえの段階だんかいで、円周えんしゅう率りつを使つかう必要ひつようがある問題もんだいを解とかせる場合ばあいに限かぎり円周えんしゅう率りつを３と代用だいようしてもかまわない（要約ようやく）」と書かかれていたのを、とある学習がくしゅう塾じゅくが「ゆとり教育きょういくでは円周えんしゅう率りつが3と教おしえるようになります。だから塾じゅくに行いきましょう（要約ようやく）」というデタラメな広告こうこくを掲載けいさいしたのが最初さいしょで、これがよく確認かくにんされないまま広ひろまってしまったとされる。

つまり、ゆとり教育きょういく世代せだいでも普通ふつうに円周えんしゅう率りつは3.14で指ゆび導しるべされているのである。知しったかぶって「お前まえは円周えんしゅう率りつが3と習ならっただろう」と発言はつげんすると、発言はつげん者しゃこそがバカにされる結果けっかとなりかねないのでご注意ちゅういを。詳細しょうさいや出典しゅってんなどはWikipedia記事きじ「円周えんしゅう率りつは3」を参照さんしょうされたい。

そもそも、3だろうが3.14だろうが、等ひとしく慣用かんよう表現ひょうげんであり正確せいかくな数値すうちではない^{[注ちゅう]}。

注ちゅう：有効ゆうこう数字すうじという概念がいねんから3.14を慣用かんようする事ことと整数せいすう部ぶが3であることを利用りようして3を用もちいることには何なんの違ちがいもない。尚なお、工学こうがくや物理ぶつりの分野ぶんやでは、実用じつよう的てきにも十分じゅうぶんな精度せいどを確保かくほする為ため、5～6桁けた程度ていどに拡張ちょうされて用もちいられている。

円周えんしゅう率りつとして3を使つかった場合ばあい最大さいだいで33%程度ていどの誤差ごさが出でるが、3.14を使つかった場合ばあい0.3%程度ていどに、3.1415なら0.003%程度ていどになる。日常にちじょう使つかう範囲はんいなら3.14で、高たかい精度せいどが求もとむめられる場合ばあいでもせいぜい５桁けた程度ていどあれば十分じゅうぶんであるといえる。

また、観測かんそく可か能のうな宇宙うちゅうと同おなじサイズの円盤えんばん（半径はんけい約やく465億おく光年こうねん）の円周えんしゅうの長ながさを水素すいそ原子げんしの半径はんけい(5.29×10^-9m)以下いかの誤差ごさに収おさめるするには40桁けたあればいいらしい。地球ちきゅうサイズならば15桁けたもあれば同どう程度ていどの精度せいどになる。

円周えんしゅう率りつを求もとめる方法ほうほう

測はかる

ラップの芯しんなどの真しん円えんに近ちかい筒つつに糸いとを巻まきつけ、その長ながさを直径ちょっけいで割わってやればよい。そこそこそれっぽい値ねになる。

誤差ごさは紐ひもの伸のびや歪ゆがみ、筒つつの真しん円えん度どや強度きょうど、ものさしの精度せいどに依存いぞんする。

多角たかく形がたの辺あたりの長ながさで近似きんじ

正せい多た角かく形かたちで近似きんじ正せい24角かく形かたちとかを見みてもらえばなんとなくわかると思おもうが、正ただしn角かく形かたちのnをどんどん大おおきくすれば円えんを近似きんじできる。下記かきのD言語げんご版はんプグラムはこの原理げんりに基もとづいて記述きじゅつされている。「円周えんしゅう率りつおよそ3」は円えんを内接ないせつ正せい6角かく形かたちと見み做した場合ばあいに相当そうとうする。

a₀=2√3, b₀=3, a_n+1=2a_nb_n/(a_n+b_n), b_n=√(a_n+1b_n) としてやれば、a_nは直径ちょっけい１の円えんに外接がいせつする、b_nは内接ないせつする正せい6×2ⁿ角かく形かたちとなる。従したがって、a_n<πぱい<b_n。nを増ふやしていけばより正確せいかくになる。n=4で３桁けた、n=10で7桁けたの精度せいどで求もとむまる。

初歩しょほ的てきなアルゴリズムであり図形ずけい的てきにも理解りかいしやすいが、N桁けた求もとむめるためにN×1.66回かい程度ていどの平方根へいほうこん計算けいさんと乗算じょうざんが必要ひつようであるため現在げんざいは使つかわれていない。

また、東京大学とうきょうだいがくの2003年ねん度ど前期ぜんき入試にゅうし試験しけんで「πぱい>3.05を証あかし明あかりせよ」という問題もんだいが出でたが、円えんに内接ないせつする正八しょうはち角かく形かたち以上いじょうの多おお角かく形かたちで計算けいさんすれば証あかし明あかりすることができる。

三角さんかく関数かんすうのテイラー展開てんかい

tan^-1(x)をテイラー展開てんかいすると、tan^-1(x)=x-x³/3+x⁵/5-x⁷/7+…

となる。このxに1を代入だいにゅうするとπぱい/4=tan^-1(1)=1-1/3+1/5-1/7+…となる。しかし収束しゅうそくが極きわめて遅おそい。つまり、がんばって計算けいさんしても全然ぜんぜん桁数けたすうが増ふえない。この方法ほうほうでπぱいを10桁けたの精度せいどで求もとむめるために100億おく回かい計算けいさんする必要ひつようがある。

この級数きゅうすうにオイラー変換へんかんと呼よばれる変換へんかんを施ほどこすと、t=x²/(1+x²)、a_n=2n!!/(2n+1)!!として、tan^-1(x)=(1+Σしぐま(a_ntⁿ))×t/xとなる。この改あらため善よした方法ほうほうを使つかうと30回かい程度ていどの計算けいさんで10桁けたの精度せいどを得えることができる。

arctan公式こうしき

πぱい/4=Σしぐま(p_ntan^-1(1/q_n))の形式けいしきの物もの。タンジェントの加法かほう定理ていりを繰くり返かえし適用てきようすることで導出どうしゅつする。各項かくこうの数値すうちはtan^-1(x)のテイラー展開てんかいによる。

πぱい/4=4×tan^-1(1/5)-tan^-1(1/239)
πぱい/4=8×tan^-1(1/10)-tan^-1(1/239)-4×tan^-1(1/515)
πぱい/4=12×tan^-1(1/18)-8×tan^-1(1/57)-5×tan^-1(1/239)
πぱい/4=12×tan^-1(1/49)-32×tan^-1(1/57)-5×tan^-1(1/239)-12×tan^-1(1/110 443)

などがある。

収束しゅうそくが速はやく、πぱいの桁数けたすう≒テイラー展開てんかいの項こう数すうである。一番いちばん上じょうの物ものでtan^-1(1/5)、tan^-1(1/239)をそれぞれ第だい2項こうまでテイラー展開てんかいすれば3桁けたの精度せいどで、10項こうまで展開てんかいすれば10桁けた程度ていどの精度せいどで円周えんしゅう率りつが求もとむまる。

区分くぶん求もとめ積せき

∫₀¹(1/(1+x²))dx=πぱい/4　であることを用もちいる。

0から1をn等分とうぶんに分割ぶんかつし、k番ばん目めの点てんx_k=k/nをf(x)=1/(1+x²)に代入だいにゅう、πぱい/4≒Σしぐまf(x_k)/nとして求もとむめる。

1000項こうでおよそ3桁けたの精度せいどなので収束しゅうそくは遅おそい。

モンテカルロ法ほう

乱数らんすうを発生はっせいさせて求もとむめる統計とうけい的てき方法ほうほう。簡単かんたんにいえば、一辺いっぺん2の正方形せいほうけい上うえに点てんをランダムに打うった時とき、正方形せいほうけいに内接ないせつする半径はんけい1の円えん版ばん上じょうにプロットされる確かく率りつから求もとむめる。

具体ぐたい的てきには-1から1までの乱数らんすうの組くみ2つを発生はっせいさせて平ひらた面めん上じょうにプロットし、原点げんてんの距離きょりが1以下いかの物ものとそれ以外いがいに分わける。そうすると　πぱい≒4×（距離きょり1以下いかの点てん）/（全ぜん点数てんすう）となる。だいたい1000点てんで2桁けた程度ていどの精度せいど。

また、長ながさ1cmの針はりを2cmの間隔かんかくで引ひかれた平ひらた行くだり線せん上じょうに落おとし、線せんと重かさなる確かく率りつから求もとむめるという方法ほうほうもある。繰くり返かえせば1/πぱいに収束しゅうそくする。シャープペンの芯しんや鉛筆えんぴつなど十分じゅうぶんに細長ほそながい棒ぼうがあれば簡単かんたんに実験じっけんできる。

ラマヌジャンの公式こうしき

1/πぱい=(2√2/9801)×Σしぐま((4k)!×(1103+26390k)/((k!)⁴)×396^4k)

というもの。めちゃくちゃな式しきに見みえるがモジュラー関数かんすうがどうのこうので収束しゅうそくが非常ひじょうに速はやいらしい。

さらに高度こうどな方法ほうほう

算術さんじゅつ幾何きか平ひらた均ひとし、楕円だえん積分せきぶん法ほうを用もちいたり、掛かけ算ざんや割わり算ざんの計算けいさん量りょうを圧縮あっしゅくするため高速こうそくフーリエ変換へんかんやニュートン法ほうを用もちいたりする。また、通常つうじょうのコンピュータではせいぜい十じゅう進数しんすうで19桁けた程度ていどしか扱あつかえないので桁数けたすうがあっという間まに足たりなくなる。そのため高たかい桁数けたすうを計算けいさんするための専用せんようソフトを開発かいはつする必要ひつようがある。

アルゴリズムやソフトウェアの開発かいはつだけでなく、大だい規模きぼ計算けいさんではスパコンを始はじめとした並列へいれつ計算けいさんを用もちいるのが必須ひっすであり、半導体はんどうたい技術ぎじゅつやエネルギー効率こうりつの改あらため善ぜん、コンピュータの設計せっけい技術ぎじゅつの発展はってんも欠かかせない。

道みち楽らくで円周えんしゅう率りつを求もとむめるだけでもその背景はいけいには科学かがく技術ぎじゅつの凄すさまじい発展はってんが垣間見かいまみえるのである。

桁数けたすうの記録きろく

紀元前きげんぜん3世紀せいき頃ごろにアルキメデスが正せい96角かく形かたちの辺あたりの長ながさを評価ひょうかをして、3+10/71<πぱい <3+1/7　と求もとむめている。
ルドルフという酔狂すいきょうな数学すうがく者しゃが正せい461京きょう 1686兆ちょう0184億おく2738万まん7904角かく形かたち（=2⁶²角かく形かたち）の辺あたりの長ながさを生涯しょうがいをかけて計算けいさんし、35桁けたまで求もとむめた。そのためドイツでは円周えんしゅう率りつのことを「ルドルフ数かず」と呼よぶことがある。
手て計算けいさんで一番いちばんがんばったのはシャンクスという数学すうがく者しゃで、707桁けたまで求もとむめた。しかし、後のちに530桁けた目めまでしか正ただしくなかったことが判明はんめいしている。
筑波大学つくばだいがくは2009年ねん 8月がつ17日にちに小数しょうすう点てん以下いか2兆ちょう5769億おく8037万まん桁けたまで計算けいさんしたと発表はっぴょう。検証けんしょうのための計算けいさんも入いれて73時じ間あいだ36分ふんかかったそうだ。
Google LLCのチームにより、2019年ねん 3月14日にち（円周えんしゅう率りつの日ひ）に31兆ちょう4159億おく2653万まん5897桁けた（円周えんしゅう率りつの上うえ14桁けた）まで計算けいさんされ、新しん記録きろくを更新こうしんした。計算けいさん時間じかんは検算けんざんを含ふくめ121日にち。

暇ひまだから俺おれも計算けいさんしてみたい

簡単かんたんにでいいならCとかのプログラムの知識ちしきと、高校生こうこうせい程度ていどの数学すうがく力ちからがあれば簡単かんたんにできる。

エクセルがあればコンパイルが通とおらないなどと悩なやまずもっと簡単かんたんにできる。

え？手て計算けいさん？人間にんげんのやるもんじゃないよ。

俺おれの書かいたプログラム

D言語げんご編へん　(多角たかく形がた近似きんじ)

import std.cstream;

import std.math;



void main() {

int N = 10;

real[] a = new real[N], b = new real[N], t = new real[N], pi = new real[N];

a[0] = 1.0;

b[0] = 1.0 / sqrt(2.0);

t[0] = 1.0 / 4.0;

for(int i=0; i<N-1; i++) {

a[i+1] = (a[i] + b[i]) / 2.0;

b[i+1] = sqrt(a[i] * b[i]);

t[i+1] = t[i] - pow(2.0, cast(real)i) * pow(a[i] - a[i+1], 2.0);

}

for(int i=0; i<N; i++) {

dout.writefln("%40.37f", pow(a[i] + b[i], 2.0) / (4.0 * t[i]));

}

dout.writefln("%40.37f", real.epsilon);

}

→実行じっこう結果けっか

OCaml編へん　(sin^-1(x)のx=1/2におけるテイラー展開てんかい)

open Num;;



let pi length =

let min = Int 1 // Int 10 **/ Int length in

let rec sum n an x =

let n2 = (Int 2) */ n in

let n2_1 = n2 +/ (Int 1) in

let an' = (n2_1 */ n2_1) //

(Int 4 */ (n2 +/ Int 2) */ (n2 +/ Int 3)) */

an in

if an' </ min then x +/ an'

else sum (n +/ Int 1) an' (x +/ an') in

let a0 = Int 1 // Int 2 in

Int 6 */ sum (Int 0) a0 a0;;



print_string (approx_num_fix 100 (pi 100));;

宿題しゅくだい(来週らいしゅうまでに65000桁けた覚おぼえること)

記事きじが重おもくなりすぎるので分離ぶんりしました。→こちら

豆まめ知識ちしき

円周えんしゅう率りつは完かん全ぜんな乱数らんすう表ひょうという予想よそうがある。これが正ただしければ、円周えんしゅう率りつには全すべての数字すうじ、例たとえばあなたが適当てきとうに思おもい浮うかべた数値すうちでも、ニコニコ動画どうがにログインするパスワードでも、はてはクレジットカードの暗号あんごう鍵かぎも個人こじんのDNA 情報じょうほうも全すべて載のっていることになる。ただし、目め的てきの桁数けたすうを指ゆび定じょうする方ほうが情報じょうほう量りょうが多おおくなるので情報じょうほうの圧縮あっしゅくには使つかえない。