Αναλυτική θεωρία αριθμών

Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά, ηいーた αναλυτική θεωρία αριθμών αποτελεί κλάδο της θεωρίας αριθμών πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποιεί μεθόδους μαθηματικής ανάλυσης γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー επίλυση προβλημάτων πぱいοおみくろんυうぷしろん αφορούν ακέραιους αριθμούς^[1]. Θεωρείται ότι ξεκίνησε τたうοおみくろん 1837, όταν οおみくろん Πετέρ Γκούσταβ Λεζέν Ντίριχλετ εισήγαγε τις συναρτήσεις L γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ δώσει τたうηいーたνにゅー πρώτη απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος αριθμητικής προόδου^[1],^[2]. Είναι γνωστή γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ αποτελέσματά της σχετικά μみゅーεいぷしろん τους πρώτους αριθμούς (πぱいοおみくろんυうぷしろん αφορούν τたうοおみくろん θεώρημα τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーた συνάρτηση ζήτα τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίμαν) κかっぱαあるふぁιいおた τたうηいーた θεωρία προσθετικών αριθμών (όπως ηいーた εικασία τたうοおみくろんυうぷしろん Γκόλντμπαχ κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん πρόβλημα τたうοおみくろんυうぷしろん Γουόρινγκ).

Κλάδοι της αναλυτικής θεωρίας αριθμών

Ηいーた αναλυτική θεωρία αριθμών μπορεί νにゅーαあるふぁ χωριστεί σしぐまεいぷしろん δύο κύριους κλάδους, περισσότερο μみゅーεいぷしろん βάση τたうοおみくろん είδος τたうωおめがνにゅー προβλημάτων πぱいοおみくろんυうぷしろん προσπαθούν νにゅーαあるふぁ επιλύσουν παρά μみゅーεいぷしろん βάση τις θεμελιώδεις διαφορές στις τεχνικές τους.

Ηいーた Πολλαπλασιαστική θεωρία αριθμών ασχολείται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー κατανομή τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών, ή τたうηいーたνにゅー εκτίμηση τたうοおみくろんυうぷしろん αριθμού τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών σしぐまεいぷしろん ένα διάστημα, κかっぱαあるふぁιいおた περιλαμβάνει τたうοおみくろん θεώρημα τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών κかっぱαあるふぁιいおた τたうοおみくろん θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Ντίριχλετ γがんまιいおたαあるふぁ τις αριθμητικές πρόοδοι.
Ηいーた προσθετική θεωρία αριθμών ασχολείται μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー προσθετική δομή τたうωおめがνにゅー ακεραίων αριθμών, γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα ηいーた Εικασία τたうοおみくろんυうぷしろん Γκόλντμπαχ ότι κάθε άρτιος ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος τたうοおみくろんυうぷしろん 3 είναι τたうοおみくろん άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Ένα από τたうαあるふぁ κύρια αποτελέσματα της προσθετικής θεωρίας είναι ηいーた λύση τたうοおみくろんυうぷしろん προβλήματος τたうοおみくろんυうぷしろん Γουόρινγκ.

Ιστορία

Προδρόμοι

Μεγάλο μέρος της αναλυτικής θεωρίας τたうωおめがνにゅー αριθμών εμπνεύστηκε από τたうοおみくろん θεώρημα τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών. Έστω πぱい(x) ηいーた συνάρτηση καταμέτρησης πρώτων αριθμών πぱいοおみくろんυうぷしろん δίνει τたうοおみくろんνにゅー αριθμό τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων τたうοおみくろんυうぷしろん x, γがんまιいおたαあるふぁ οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, $π ぱい (10) = 4$ επειδή υπάρχουν τέσσερις πρώτοι αριθμοί (2, 3, 5 και 7) μικρότεροι ή ίσοι μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん 10. Τたうοおみくろん θεώρημα τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών δείχνει τότε ότι ηいーた x / ln(x) είναι μみゅーιいおたαあるふぁ καλή προσέγγιση της πぱい(x), μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー έννοια ότι τたうοおみくろん όριο τたうοおみくろんυうぷしろん πηλίκου τたうωおめがνにゅー δύο συναρτήσεων πぱい(x) κかっぱαあるふぁιいおた x / ln(x) όταν τたうοおみくろん x τείνει σしぐまτたうοおみくろん άπειρο είναι 1 :

\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1.

Οおみくろん Αντριεν Μαρί Λεζάντρ υπέθεσε τたうοおみくろん 1797 ότι ηいーた πぱい(a) προσεγγίζεται από τたうηいーた συνάρτηση πぱい(a), όπου A κかっぱαあるふぁιいおた B είναι απροσδιόριστες σταθερές. Σしぐまτたうηいーた δεύτερη έκδοση τたうοおみくろんυうぷしろん βιβλίου τたうοおみくろんυうぷしろん γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた θεωρία αριθμών (1808), έκανε σしぐまτたうηいーた συνέχεια μみゅーιいおたαあるふぁ πぱいιいおたοおみくろん ακριβή εικασία, μみゅーεいぷしろん A = 1 και B = -1,08366. Οおみくろん Κかっぱαあるふぁρろーλらむだ Φρίντριχ Γκάους είχε ήδη εξετάσει αυτό τたうοおみくろん ερώτημα: το 1792 ή τたうοおみくろん 1793, σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうηいーた δική τたうοおみくろんυうぷしろん ανάμνηση σχεδόν εξήντα χρόνια αργότερα σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ επιστολή προς τたうοおみくろんνにゅー Ένκε (1849), έγραψε σしぐまτたうοおみくろんνにゅー πίνακα τたうωおめがνにゅー λογαρίθμων τたうοおみくろんυうぷしろん (ήταν τότε 15 ή 16 ετών) τたうηいーた σύντομη σημείωση « Primzahlen unter $a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}$ ». Αλλά οおみくろん Γκάους δでるたεいぷしろんνにゅー δημοσίευσε ποτέ αυτή τたうηいーたνにゅー εικασία. Τたうοおみくろん 1838, οおみくろん Πέτερ Γκούσταβ Λεζέν Ντίριχλετ πρότεινε τたうηいーた δική τたうοおみくろんυうぷしろん συνάρτηση προσέγγισης, τたうοおみくろんνにゅー ολοκληρωτικό λογάριθμο li(x). Τόσο οおみくろん τύπος τたうοおみくろんυうぷしろん Λεζάντρ όσο κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん τύπος τたうοおみくろんυうぷしろん Ντίριχλετ υποδηλώνουν τたうηいーたνにゅー ίδια εικαζόμενη ασυμπτωτική ισοδυναμία τたうωおめがνにゅー πぱい(x) κかっぱαあるふぁιいおた x / ln(x) πぱいοおみくろんυうぷしろん αναφέρθηκε παραπάνω, αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた προσέγγιση τたうοおみくろんυうぷしろん Ντίριχλετ είναι σημαντικά καλύτερη αあるふぁνにゅー θεωρήσουμε διαφορές, αντί γがんまιいおたαあるふぁ πηλίκα.

Ντίριχλετ

Σしぐまτたうοおみくろんνにゅー Ντίριχλετ αποδίδεται γενικά ηいーた καθιέρωση της αναλυτικής θεωρίας τたうωおめがνにゅー αριθμών^[3], ενός τομέα σしぐまτたうοおみくろんνにゅー οποίο κατέδειξε πολλά βαθιά αποτελέσματα κかっぱαあるふぁιいおた εισήγαγε θεμελιώδη εργαλεία, πολλά από τたうαあるふぁ οποία αργότερα πήραν τたうοおみくろん όνομά τたうοおみくろんυうぷしろん. Τたうοおみくろん 1837 δημοσίευσε τたうοおみくろん θεώρημα της αριθμητικής προόδου, χρησιμοποιώντας έννοιες από τたうηいーた μαθηματική ανάλυση γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー αντιμετώπιση ενός αλγεβρικού προβλήματος κかっぱαあるふぁιいおた δημιουργώντας έτσι τたうοおみくろんνにゅー κλάδο της αναλυτικής θεωρίας αριθμών. Κατά τたうηいーたνにゅー απόδειξη αυτού τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος, εισήγαγε τους χαρακτήρες κかっぱαあるふぁιいおた τις συναρτήσεις τたうοおみくろんυうぷしろん L^[3],^[4]. Τたうοおみくろん 1841, γενίκευσε τたうοおみくろん θεώρημά τたうοおみくろんυうぷしろん γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー αριθμητική πρόοδο σしぐまτたうοおみくろんνにゅー δακτύλιο $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ τたうωおめがνにゅー ακέραιων αριθμών τたうοおみくろんυうぷしろん Γκάους^[5].

Τσεμπίσεφ

Σしぐまεいぷしろん δύο άρθρα τたうοおみくろんυうぷしろん 1848 και τたうοおみくろんυうぷしろん 1850, οおみくろん Ρώσος μαθηματικός Παφνούτι Τσέμπιτσεφ προσπάθησε νにゅーαあるふぁ αποδείξει τたうοおみくろん θεώρημα τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών. Ηいーた εργασία τたうοおみくろんυうぷしろん είναι αξιοσημείωτη γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた χρήση της συνάρτησης ζぜーた(s) (γがんまιいおたαあるふぁ πραγματικό s, όπως ηいーた εργασία τたうοおみくろんυうぷしろん Λέοναρντ Όιλερ τたうοおみくろん 1737) πぱいοおみくろんυうぷしろん προηγήθηκε τたうοおみくろんυうぷしろん διάσημου άρθρου τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίμαν τたうοおみくろん 1859, κかっぱαあるふぁιいおた κατάφερε νにゅーαあるふぁ αποδείξει μみゅーιいおたαあるふぁ ελαφρώς ασθενέστερη μορφή τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος, δηλαδή ότι αあるふぁνにゅー τたうοおみくろん όριο τたうοおみくろんυうぷしろん πぱい(x)/(x/ln(x)) όταν τたうοおみくろん x τείνει σしぐまτたうοおみくろん άπειρο υπάρχει, τότε είναι αναγκαστικά ίσο μみゅーεいぷしろん 1^[6], κかっぱαあるふぁιいおた νにゅーαあるふぁ δώσει ένα ασυμπτωτικό πλαίσιο γがんまιいおたαあるふぁ αυτό τたうοおみくろん πηλίκο μεταξύ δύο σταθερών πολύ κοντά σしぐまτたうοおみくろん 1^[7]. Αあるふぁνにゅー κかっぱαあるふぁιいおた ηいーた εργασία τたうοおみくろんυうぷしろん Τσεμπίσεφ δでるたεいぷしろんνにゅー αποδεικνύει τたうοおみくろん θεώρημα τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών, οおみくろんιいおた εκτιμήσεις τたうοおみくろんυうぷしろん γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん πぱい(x) ήταν αρκετά ισχυρές γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ αποδείξουν τたうοおみくろん αξίωμα τたうοおみくろんυうぷしろん Μπέρτραντ ότι υπάρχει ένας πρώτος αριθμός μεταξύ n κかっぱαあるふぁιいおた 2n γがんまιいおたαあるふぁ κάθε ακέραιο n ≥ 2.

Ρίμαν


« …es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien. »	"...είναι πολύ πιθανό ότι όλες οおみくろんιいおた ρίζες είναι πραγματικές. Θしーたαあるふぁ ήταν αναμφίβολα επιθυμητό νにゅーαあるふぁ έχουμε μみゅーιいおたαあるふぁ αυστηρή απόδειξη αυτής της πρότασης- παρ' όλα αυτά έχω αφήσει αυτή τたうηいーたνにゅー έρευνα σしぐまτたうηいーたνにゅー άκρη προς τたうοおみくろん παρόν μετά από μερικές γρήγορες ανεπιτυχείς προσπάθειες, καθώς φαίνεται περιττή γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー άμεσο στόχο της μελέτης μみゅーοおみくろんυうぷしろん...".

Οおみくろん Μπέρνχαρντ Ρίμαν έκανε σημαντικές συνεισφορές σしぐまτたうηいーたνにゅー αναλυτική θεωρία αριθμών. Σしぐまτたうηいーた μοναδική εργασία πぱいοおみくろんυうぷしろん δημοσίευσε γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん θέμα της θεωρίας αριθμών, "Περί τたうοおみくろんυうぷしろん αριθμού τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών κάτω από ένα δεδομένο μέγεθος", μελέτησε τたうηいーた συνάρτηση ζήτα τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίμαν κかっぱαあるふぁιいおた διαπίστωσε τたうηいーた σημασία της γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー κατανόηση της κατανομής τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών. Διατύπωσε μみゅーιいおたαあるふぁ σειρά εικασιών σχετικά μみゅーεいぷしろん τις ιδιότητες της συνάρτησης ζήτα, μία από τις οποίες είναι ηいーた υπόθεση Ρίμαν.

Οおみくろんιいおた Ανταμάρ κかっぱαあるふぁιいおた Νにゅーτたうεいぷしろん λらむだαあるふぁ Βαλέ-Πουσέν

Επεκτείνοντας τις ιδέες τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίμαν, οおみくろんιいおた Ζぜーたαあるふぁκかっぱ Ανταμάρ κかっぱαあるふぁιいおた Σしぐまαあるふぁρろーλらむだ Ζぜーたαあるふぁνにゅー νにゅーτたうεいぷしろん Λらむだαあるふぁ Βαλέ Πουσέν απέκτησαν ανεξάρτητα δύο αποδείξεις τたうοおみくろんυうぷしろん θεωρήματος τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών κかっぱαあるふぁιいおた τις δημοσίευσαν τたうηいーたνにゅー ίδια χρονιά (1896). Κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろんιいおた δύο αποδείξεις χρησιμοποίησαν μεθόδους της μιγαδικής ανάλυσης, καθιερώνοντας ως κύριο λήμμα τους ότι ηいーた συνάρτηση ζぜーた(s) τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίμαν είναι μみゅーηいーた μηδενική γがんまιいおたαあるふぁ όλες τις μιγαδικές τιμές τたうοおみくろんυうぷしろん πραγματικού μέρους 1 και τたうοおみくろんυうぷしろん φανταστικού μέρους αυστηρά θετική^[8].

Πρόσφατες εξελίξεις

Ηいーた σημαντικότερη τεχνική εξέλιξη μετά τたうοおみくろん 1950 ήταν ηいーた ανάπτυξη της θεωρίας τたうωおめがνにゅー κόσκινων^[9], ιδίως σしぐまεいぷしろん πολλαπλασιαστικά προβλήματα. Πρόκειται γがんまιいおたαあるふぁ συνδυαστική φύση κかっぱαあるふぁιいおた αρκετά ποικίλα. Οおみくろん κλάδος της συνδυαστικής θεωρίας έχει επηρεαστεί έντονα από τたうηいーたνにゅー αναλυτική θεωρία αριθμών γがんまιいおたαあるふぁ τたうαあるふぁ άνω κかっぱαあるふぁιいおた κάτω όρια. Μみゅーιいおたαあるふぁ άλλη πρόσφατη εξέλιξη είναι ηいーた πιθανολογική θεωρία αριθμών10, ηいーた οποία χρησιμοποιεί μεθόδους από τたうηいーた θεωρία πιθανοτήτων γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー εκτίμηση της κατανομής αριθμοθεωρητικών συναρτήσεων, όπως οおみくろん αριθμός τたうωおめがνにゅー διαιρετών ενός αριθμού.

Οおみくろんιいおた εξελίξεις σしぐまτたうηいーたνにゅー αναλυτική θεωρία αριθμών αποτελούν συχνά βελτιώσεις παλαιότερων τεχνικών, οおみくろんιいおた οποίες μειώνουν τους όρους σφάλματος κかっぱαあるふぁιいおた διευρύνουν τたうοおみくろん εύρος εφαρμογής τους. Παραδείγματος χάριν, ηいーた µέθοδος τたうοおみくろんυうぷしろん κύκλου τたうωおめがνにゅー Χάρντι κかっぱαあるふぁιいおた Λίτλγουντ είχε αρχικά σχεδιαστεί ως εいぷしろんφふぁいαあるふぁρろーµοστέα σしぐまεいぷしろん δでるたυうぷしろんνにゅーαあるふぁµοσειρές κοντά σしぐまτたうοおみくろんνにゅー µοναδιαίο κύκλο τたうοおみくろんυうぷしろん µιγαδικού επιπέδου- σήµεいぷしろんρろーαあるふぁ θεωρείται ως προς τたうαあるふぁ πεπερασµένα εκθετικά αθροίσµαあるふぁτたうαあるふぁ. Τたうαあるふぁ πεδία της διοφαντικής προσέγγισης κかっぱαあるふぁιいおた της θεωρίας σωμάτων έχουν επεκταθεί σしぐまεいぷしろん σημείο πぱいοおみくろんυうぷしろん οおみくろんιいおた τεχνικές τους νにゅーαあるふぁ είναι εφαρμόσιμες σしぐまτたうηいーたνにゅー εικασία τたうοおみくろんυうぷしろん Μορντέλ.

Προβλήματα κかっぱαあるふぁιいおた αποτελέσματα

Τたうαあるふぁ θεωρήματα κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ αποτελέσματα της αναλυτικής θεωρίας αριθμών τείνουν νにゅーαあるふぁ μみゅーηいーたνにゅー είναι ακριβή δομικά αποτελέσματα γがんまιいおたαあるふぁ τους ακέραιους αριθμούς. Αντίθετα, δίνουν όρια κかっぱαあるふぁιいおた εκτιμήσεις γがんまιいおたαあるふぁ διάφορες συναρτήσεις, όπως δείχνουν τたうαあるふぁ ακόλουθα παραδείγματα.

Πολλαπλασιαστική θεωρία αριθμών

Οおみくろん Ευκλείδης έδειξε ότι υπάρχει άπειρος αριθμός πρώτων αριθμών. Ένα σημαντικό ερώτημα είναι νにゅーαあるふぁ προσδιοριστεί ηいーた κατανομή αυτών τたうωおめがνにゅー αριθμών- μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, μみゅーιいおたαあるふぁ κατά προσέγγιση περιγραφή τたうοおみくろんυうぷしろん αριθμού τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι μικρότεροι από έναν δεδομένο αριθμό. Οおみくろん Γκάους, μεταξύ άλλων, αφού υπολόγισε έναν μεγάλο κατάλογο πρώτων αριθμών, υπέθεσε ότι οおみくろん αριθμός τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι μικρότερος ή ίσος μみゅーεいぷしろん έναν μεγάλο αριθμό Νにゅー ήταν κοντά σしぐまτたうηいーたνにゅー τιμή τたうοおみくろんυうぷしろん ολοκληρώματος

\int _{2}^{N}{\frac {1}{\ln t}}\,\mathrm {d} t

.

Τたうοおみくろん 1859, οおみくろん Μπέρνχαρντ Ρίμαν χρησιμοποίησε τたうηいーた μιγαδική ανάλυση κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση γνωστή ως συνάρτηση ζήτα Ρίμαν, γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ εξάγει μみゅーιいおたαあるふぁ αναλυτική έκφραση γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー αριθμό τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών μικρότερων ή ίσων μみゅーεいぷしろん έναν πραγματικό αριθμό x. Οおみくろん κορυφαίος όρος σしぐまτたうοおみくろんνにゅー τύπο τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίμαν ήταν ακριβώς τたうοおみくろん παραπάνω ολοκλήρωμα, δίνοντας βαρύτητα σしぐまτたうηいーたνにゅー εικασία τたうοおみくろんυうぷしろん Γκάους. Οおみくろん Ρίμαν διαπίστωσε ότι οおみくろんιいおた όροι σφάλματος σしぐまεいぷしろん αυτή τたうηいーたνにゅー έκφραση, κかっぱαあるふぁιいおた επομένως οおみくろん τρόπος μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー οποίο κατανέμονται οおみくろんιいおた πρώτοι αριθμοί, συνδέονται στενά μみゅーεいぷしろん τたうαあるふぁ μιγαδικά μηδενικά της συνάρτησης ζήτα. Χρησιμοποιώντας τις ιδέες τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίμαν, οおみくろん Ζぜーたαあるふぁκかっぱ Ανταμάρ κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん Σしぐまαあるふぁρろーλらむだ Ζぜーたαあるふぁνにゅー νにゅーτたうεいぷしろん λらむだαあるふぁ Βαλέ-Πουσέν απέδειξαν τたうηいーたνにゅー εικασία τたうοおみくろんυうぷしろん Γκάους. Ειδικότερα, απέδειξαν τたうοおみくろん θεώρημα τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών. Αυτό είναι ένα κεντρικό αποτέλεσμα σしぐまτたうηいーたνにゅー αναλυτική θεωρία αριθμών. Μみゅーεいぷしろん άλλα λόγια, δεδομένου ενός μεγάλου αριθμού Νにゅー, οおみくろん αριθμός τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι μικρότερος ή ίσος μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー Νにゅー είναι περίπου N/ln(N). Γενικότερα, τたうοおみくろん ίδιο ερώτημα μπορεί νにゅーαあるふぁ τεθεί γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー αριθμό τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών σしぐまεいぷしろん οποιαδήποτε αριθμητική ακολουθία an + b γがんまιいおたαあるふぁ οποιοδήποτε ακέραιο n. Σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ από τις πρώτες εφαρμογές τたうωおめがνにゅー αναλυτικών τεχνικών της θεωρίας αριθμών, οおみくろん Ντίριχλετ απέδειξε ότι κάθε αριθμητική ακολουθία μみゅーεいぷしろん a κかっぱαあるふぁιいおた b πρώτους μεταξύ τους περιέχει άπειρο αριθμό πρώτων αριθμών. Τたうοおみくろん θεώρημα τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών μπορεί νにゅーαあるふぁ γενικευτεί σしぐまεいぷしろん αυτό τたうοおみくろん πρόβλημα,

έστω

πぱい (x, b, a) = (αριθμοί πρώτων αριθμών p ≤ x έτσι ώστε τたうοおみくろん p νにゅーαあるふぁ νにゅーαあるふぁ εμφανίζεται σしぐまτたうηいーたνにゅー πρόοδο $an+b,n\in \mathbb {Z} )$

τότε, αあるふぁνにゅー τたうαあるふぁ a κかっぱαあるふぁιいおた b είναι αμοιβαία πρώτοι,

\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,b,a)}{x/\log x}}={\frac {1}{\varphi (a)}}

όπου $\varphi$ αποτελεί Συνάρτηση Όιλερ.

Υπάρχουν επίσης πολλές εικασίες σしぐまτたうηいーた θεωρία αριθμών τたうωおめがνにゅー οποίων ηいーた απόδειξη φαίνεται πολύ δύσκολη γがんまιいおたαあるふぁ τις τρέχουσες τεχνικές, όπως ηいーた εικασία τたうωおめがνにゅー δίδυμων πρώτων αριθμών, ηいーた οποία εικάζει ένα άπειρο από πρώτους αριθμούς p τέτοιους ώστε p + 2 νにゅーαあるふぁ είναι επίσης πρώτοι. Υποθέτοντας ότι ηいーた εικασία Έλιοτ-Χάλμπερσταμ είναι αληθής, αποδείχθηκε πρόσφατα ότι υπάρχουν άπειροι πολλοί p πρώτοι αριθμοί τέτοιοι ώστε p + k νにゅーαあるふぁ είναι πρώτος γがんまιいおたαあるふぁ τουλάχιστον ένα k ≤ 12.

Αναλυτικές μέθοδοι θεωρίας αριθμών

Σειρές Ντίριχλετ

Ένα από τたうαあるふぁ πぱいιいおたοおみくろん χρήσιμα εργαλεία σしぐまτたうηいーた θεωρία τたうωおめがνにゅー πολλαπλασιαστικών αριθμών είναι οおみくろんιいおた σειρές Ντίριχλετ, οおみくろんιいおた οποίες είναι συναρτήσεις μみゅーεいぷしろん μιγαδική μεταβλητή πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζονται από μみゅーιいおたαあるふぁ σειρά της μορφής

f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}

.

Μみゅーεいぷしろん βάση τたうηいーたνにゅー επιλογή τたうωおめがνにゅー συντελεστών $a_{n}$ , ηいーた σειρά αυτή μπορεί νにゅーαあるふぁ συγκλίνει παντού, πουθενά ή σしぐまεいぷしろん ένα ημιεπίπεδο. Σしぐまεいぷしろん πολλές περιπτώσεις, ακόμη κかっぱαあるふぁιいおた όταν ηいーた σειρά δでるたεいぷしろんνにゅー συγκλίνει παντού, ηいーた ολομορφική συνάρτηση πぱいοおみくろんυうぷしろん ορίζει μπορεί νにゅーαあるふぁ επεκταθεί αναλυτικά σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ μερομορφική συνάρτηση σしぐまεいぷしろん ολόκληρο τたうοおみくろん μιγαδικό επίπεδο. Ηいーた χρησιμότητα τέτοιων συναρτήσεων σしぐまεいぷしろん πολλαπλασιαστικά προβλήματα φαίνεται σしぐまτたうηいーたνにゅー τυπική ταυτότητα.

\left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s}

;

Οおみくろんιいおた συντελεστές τたうοおみくろんυうぷしろん γινομένου δύο σειρών Ντίριχλετ είναι επομένως οおみくろんιいおた συνελίξεις τたうωおめがνにゅー αρχικών συντελεστών. Επιπλέον, τεχνικές όπως ηいーた άθροιση κατά μέρη κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ θεωρήματα Τάουμπερ μπορούν νにゅーαあるふぁ χρησιμοποιηθούν γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ ληφθούν πληροφορίες σχετικά μみゅーεいぷしろん τους συντελεστές από αναλυτικές πληροφορίες σχετικά μみゅーεいぷしろん τις σειρές Ντίριχλετ. Έτσι, μみゅーιいおたαあるふぁ συνήθης μέθοδος γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー εκτίμηση μιας πολλαπλασιαστικής συνάρτησης είναι νにゅーαあるふぁ τたうηいーたνにゅー εκφράσουμε ως σειρά Ντίριχλετ (ή ως γινόμενο απλούστερων σειρών Ντίριχλετ χρησιμοποιώντας ταυτότητες συνέλιξης) κかっぱαあるふぁιいおた νにゅーαあるふぁ εξετάσουμε αυτή τたうηいーた σειρά ως μιγαδική συνάρτηση.

Συνάρτηση ζήτα τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίμαν

Οおみくろん Όιλερ έδειξε ότι τたうοおみくろん θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής συνεπάγεται τたうοおみくろん γινόμενο τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{

.

Ηいーた απόδειξη τたうοおみくろんυうぷしろん Όιλερ γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん άπειρο τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών χρησιμοποιεί τたうηいーたνにゅー απόκλιση τたうοおみくろんυうぷしろん αριστερού όρου γがんまιいおたαあるふぁ s = 1 (ηいーた αρμονική σειρά), ένα καθαρά αναλυτικό αποτέλεσμα. Οおみくろん Όιλερ ήταν επίσης οおみくろん πρώτος πぱいοおみくろんυうぷしろん χρησιμοποίησε αναλυτικά επιχειρήματα γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ μελετήσει τις ιδιότητες τたうωおめがνにゅー ακεραίων αριθμών, ιδίως κατασκευάζοντας γενεσιουργές σειρές. Αυτή ήταν ηいーた αρχή της αναλυτικής θεωρίας τたうωおめがνにゅー αριθμών^[10]. Αργότερα, οおみくろん Ρίμαν εξέτασε τたうηいーた συνάρτηση αυτή γがんまιいおたαあるふぁ μιγαδικές τιμές τたうοおみくろんυうぷしろん s κかっぱαあるふぁιいおた έδειξε ότι μπορεί νにゅーαあるふぁ επεκταθεί σしぐまεいぷしろん ολόκληρο τたうοおみくろん μιγαδικό επίπεδο μみゅーεいぷしろん πόλο σしぐまτたうοおみくろん s = 1. Ηいーた συνάρτηση αυτή είναι πλέον γνωστή ως συνάρτηση ζぜーた(s) τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίμαν. Σしぐまτたうηいーたνにゅー εργασία τたうοおみくろんυうぷしろん τたうοおみくろん 1859, οおみくろん Ρίμαν υπέθεσε ότι όλα τたうαあるふぁ "μみゅーηいーた τετριμμένα" μηδενικά της ζぜーた βρίσκονται σしぐまτたうηいーたνにゅー ευθεία $\Re (s)=1/2$ } αλλά ποτέ δでるたεいぷしろんνにゅー έδωσε απόδειξη αυτής της δήλωσης. Αυτή ηいーた εικασία, πぱいοおみくろんυうぷしろん ονομάζεται υπόθεση Ρίμαν, έχει πολλές βαθιές επιπτώσεις σしぐまτたうηいーた θεωρία αριθμών- πολλά σημαντικά θεωρήματα έχουν αποδειχθεί μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー παραδοχή ότι είναι αληθής. Γがんまιいおたαあるふぁ παράδειγμα, σύμφωνα μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー υπόθεση Ρίμαν, οおみくろん όρος σφάλματος σしぐまτたうοおみくろん θεώρημα τたうωおめがνにゅー πρώτων αριθμών είναι $O(x^{1/2+\varepsilon })$ .

Στις αρχές τたうοおみくろんυうぷしろん 20ού αιώνα, οおみくろん G. H. Χάρντι κかっぱαあるふぁιいおた οおみくろん Λίτελγουντ απέδειξαν πολυάριθμα αποτελέσματα γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーた συνάρτηση ζήτα προκειμένου νにゅーαあるふぁ αποδείξουν τたうηいーたνにゅー υπόθεση τたうοおみくろんυうぷしろん Ρίμαν. Τたうοおみくろん 1914, οおみくろん Χάρντι απέδειξε ότι υπάρχουν άπειρα πολλά μηδενικά της συνάρτησης ζήτα σしぐまτたうηいーたνにゅー κρίσιμη ζώνη $\Re (z)=1/2$ . Αυτό έχει οδηγήσει σしぐまεいぷしろん διάφορα θεωρήματα πぱいοおみくろんυうぷしろん περιγράφουν τたうηいーたνにゅー πυκνότητα τたうωおめがνにゅー μηδενικών σしぐまτたうηいーたνにゅー κρίσιμη ζώνη.

Δημοσιεύσεις

Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan κかっぱαあるふぁιいおた άλλοι., επιμ.. (2008), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN 978-0-387-72125-5
Davenport, Harold (2000), Multiplicative number theory, Graduate Texts in Mathematics, 74 (3rd revised έκδοση), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95097-6
Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0
Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, 46, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41261-7

Παραπομπές

↑ ^1,0 ^1,1 Apostol, Tom M. (28 Μαΐου 1998). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90163-3.
↑ Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer, coll. « GTM » (no 74), 2000, 3e éd., p. 1.
↑ ^3,0 ^3,1 Gowers, Timothy· Barrow-Green, June (28 Σεπτεμβρίου 2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2.
↑ Shigeru Kanemitsu et Chaohua Jia, Number Theoretic Methods : Future Trends, Springer, 2002, 439 p. (ISBN 978-1-4020-1080-4), p. 271-274.
↑ «convert». archive.wikiwix.com. Ανακτήθηκε στις 17 Ιουλίου 2023.
↑ Pereira, N. Costa (1985). «A Short Proof of Chebyshev's Theorem». The American Mathematical Monthly 92 (7): 494–495. doi:10.2307/2322510. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2322510.
↑ Nair, M. (1982). «On Chebyshev-Type Inequalities for Primes». The American Mathematical Monthly 89 (2): 126–129. doi:10.2307/2320934. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2320934.
↑ A. E. Ingham, The Distribution of Prime Numbers, Cambridge, Cambridge University Press, 1990, 114 p. (ISBN 0-521-39789-8), p. 2-5.
↑ Gérald Tenenbaum, Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (no 46), 1995 (ISBN 0-521-41261-7), p. 56.
↑ Henryk Iwaniec et Emmanuel Kowalski, Analytic Number Theory, coll. « AMS Colloquium Pub. » (vol. 53), 2004.

[:1-1] 1,0 ^1,1 Apostol, Tom M. (28 Μαΐου 1998). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90163-3.

[2] Harold Davenport, Multiplicative Number Theory, Springer, coll. « GTM » (no 74), 2000, 3e éd., p. 1.

[:0-3] 3,0 ^3,1 Gowers, Timothy· Barrow-Green, June (28 Σεπτεμβρίου 2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2.

[4] Shigeru Kanemitsu et Chaohua Jia, Number Theoretic Methods : Future Trends, Springer, 2002, 439 p. (ISBN 978-1-4020-1080-4), p. 271-274.

[5] «convert». archive.wikiwix.com. Ανακτήθηκε στις 17 Ιουλίου 2023.

[6] Pereira, N. Costa (1985). «A Short Proof of Chebyshev's Theorem». The American Mathematical Monthly 92 (7): 494–495. doi:10.2307/2322510. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2322510.

[7] Nair, M. (1982). «On Chebyshev-Type Inequalities for Primes». The American Mathematical Monthly 89 (2): 126–129. doi:10.2307/2320934. ISSN 0002-9890. https://www.jstor.org/stable/2320934.

[8] A. E. Ingham, The Distribution of Prime Numbers, Cambridge, Cambridge University Press, 1990, 114 p. (ISBN 0-521-39789-8), p. 2-5.

[9] Gérald Tenenbaum, Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (no 46), 1995 (ISBN 0-521-41261-7), p. 56.

[10] Henryk Iwaniec et Emmanuel Kowalski, Analytic Number Theory, coll. « AMS Colloquium Pub. » (vol. 53), 2004.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]