Δέλτα τたうοおみくろんυうぷしろん Κρόνεκερ

Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά, τたうοおみくろん δέλτα τたうοおみくろんυうぷしろん Κρόνεκερ (ή αλλιώς σύμβολο τたうοおみくろんυうぷしろん Κρόνεκερ) είναι ηいーた διακριτή εκδοχή της συνάρτησης δέλτα τたうοおみくろんυうぷしろん Ντιράκ.

Αυστηρότερα, τたうοおみくろん δέλτα τたうοおみくろんυうぷしろん Κρόνεκερ ορίζεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー εξής τρόπο:

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0,&{\text{$αあるふぁνにゅー }}i\neq j,\\1,&{\text{αあるふぁνにゅー }}i=j,\end{cases}}}

γがんまιいおたαあるふぁ φυσικούς αριθμούς $i,j$.

Μιγαδική ανάλυση

Σしぐまτたうαあるふぁ πλαίσια της μιγαδικής ανάλυσης, τたうοおみくろん δέλτα τたうοおみくろんυうぷしろん Κρόνεκερ μπορεί νにゅーαあるふぁ αναπαρασταθεί υπό τたうηいーた μορφή τたうοおみくろんυうぷしろん παρακάτω ολοκληρώματος βρόχου:

$\delta _{mn}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{m-n-1}dz.$

όπου $m$, $n$ ακέραιοι κかっぱαあるふぁιいおた $i$ ηいーた φανταστική μονάδα. Οおみくろん βρόχος $C$ ταυτίζεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー μοναδιαίο κύκλο.

Γραμμική άλγεβρα

Σしぐまτたうαあるふぁ πλαίσια της γραμμικής άλγεβρας, τたうοおみくろん δέλτα τたうοおみくろんυうぷしろん Κρόνεκερ μπορεί νにゅーαあるふぁ αναπαρασταθεί υπό τたうηいーた μορφή ενός συμμετρικού πίνακα διάστασης $N\times N$ όπου $N$ είναι οおみくろん συνολικός αριθμός τたうωおめがνにゅー (θετικών) ακεραίων τιμών πぱいοおみくろんυうぷしろん μπορούν νにゅーαあるふぁ πάρουν οおみくろんιいおた δείκτες.

Συγκεκριμένα, γがんまιいおたαあるふぁ $i,j=1,2,3$ τότε τたうοおみくろん δέλτα τたうοおみくろんυうぷしろん Κρόνεκερ μπορεί νにゅーαあるふぁ αναπαρασταθεί υπό τたうηいーた μορφή ενός πίνακα $3\times 3$:

$\delta _{ij}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Σしぐまτたうηいーたνにゅー αναπαράσταση πίνακα λοιπόν, τたうοおみくろん δέλτα τたうοおみくろんυうぷしろん Κρόνεκερ ταυτίζεται μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろんνにゅー μοναδιαίο πίνακα.

Ιδιότητες

Σしぐまεいぷしろん τρεις διαστάσεις ($i,j,k=1,2,3$) τたうοおみくろん δέλτα τたうοおみくろんυうぷしろん Κρόνεκερ παρουσιάζει τις παρακάτω ιδιότητες:

• $\delta _{ii}=3$
• $\delta _{ij}\epsilon _{ijk}=0$
• $\epsilon _{ipq}\epsilon _{jpq}=2\delta _{ij}$
• $\epsilon _{ijk}\epsilon _{pqk}=\delta _{ip}\delta _{jq}-\delta _{iq}\delta _{jp}$

όπου $\epsilon _{ijk}$ τたうοおみくろん σύμβολο μετάθεσης. Σしぐまεいぷしろん όλες τις παραπάνω σχέσεις έγινε χρήση της σύμβασης άθροισης τたうοおみくろんυうぷしろん Αϊνστάιν.