Δευτεροβάθμια εξίσωση

Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά, δευτεροβάθμια εξίσωση (ή τετραγωνική εξίσωση ή εξίσωση δεύτερου βαθμού) ονομάζεται κάθε πολυωνυμική εξίσωση μみゅーεいぷしろん βαθμό δύο. Ηいーた γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:

$\alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0,$

όπου τたうαあるふぁ γράμματα αあるふぁ, βべーた κかっぱαあるふぁιいおた γがんま παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, μみゅーεいぷしろん

$\alpha \neq 0$.

Οおみくろんιいおた σταθερές αあるふぁ, βべーた κかっぱαあるふぁιいおた γがんま ονομάζονται συντελεστές, μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん αあるふぁ νにゅーαあるふぁ είναι οおみくろん συντελεστής τたうοおみくろんυうぷしろん x², τたうοおみくろん βべーた νにゅーαあるふぁ είναι οおみくろん συντελεστής τたうοおみくろんυうぷしろん x κかっぱαあるふぁιいおた γがんま οおみくろん σταθερός όρος. Οおみくろんιいおた συντελεστές μπορεί νにゅーαあるふぁ είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.

Απόδειξη μみゅーεいぷしろん συμπλήρωση τετραγώνου

Θέλουμε νにゅーαあるふぁ φέρουμε τたうηいーたνにゅー εξίσωση $\alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0\quad$ σしぐまτたうηいーた μορφή $(ax+b)^{2}=c$ ώστε νにゅーαあるふぁ είναι πぱいιいおたοおみくろん εύκολο νにゅーαあるふぁ λυθεί.

Αρχικά εξετάζουμε τους όρους μみゅーεいぷしろん x² κかっぱαあるふぁιいおた x κかっぱαあるふぁιいおた τους χωρίζουμε από τたうηいーた σταθερά γがんま:

$\alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0\quad \iff \quad \alpha \left(x^{2}+{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)=-\gamma \qquad (1)$

Κατόπιν προσθαφαιρούμε σしぐまτたうοおみくろん αριστερό μέλος της εξίσωσης κατάλληλη σταθερά, ώστε νにゅーαあるふぁ «συμπληρωθεί» τたうοおみくろん τετράγωνο:

$(1)\quad \iff \quad \alpha \left(x^{2}+2{\frac {\beta }{2\alpha }}x+{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}-{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}\right)=-\gamma \quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}-\,\alpha \left({\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}\right)=-\gamma \qquad (2)$

κかっぱαあるふぁιいおた φέρνουμε τたうηいーた σταθερά σしぐまτたうοおみくろん δεξί μέρος:

$(2)\quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}={\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}-\gamma \quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}={\frac {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }{4\alpha }}\qquad (3)$

Φέρνουμε σしぐまτたうοおみくろん αριστερό μέρος όλα τたうαあるふぁ μεγέθη πぱいοおみくろんυうぷしろん μπορούν νにゅーαあるふぁ γραφούν ως τετράγωνο:

$(3)\quad \iff \quad (2\alpha )^{2}\left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}=\beta ^{2}-4\alpha \gamma \quad \iff \quad \left(2\alpha x+\beta \right)^{2}=\beta ^{2}-4\alpha \gamma \qquad (4)$

Τたうοおみくろん δεξί μέρος της εξίσωσης ονομάζεται διακρίνουσα: $\Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma \qquad (5)$

Οπότε έχουμε φέρει τたうηいーたνにゅー εξίσωση σしぐまτたうηいーた μορφή πぱいοおみくろんυうぷしろん θέλουμε κかっぱαあるふぁιいおた συγκεκριμένα:

$(4),(5)\quad \iff \quad \left(2\alpha x+\beta \right)^{2}=\Delta \qquad (6)$

Αποτετραγωνίζοντας κかっぱαあるふぁιいおた τたうαあるふぁ δύο μέλη, έχουμε:

$(6)\quad \iff \quad 2\alpha x+\beta =\pm {\sqrt {\Delta }}\quad \iff \quad x={\frac {-\beta \pm {\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}\qquad (7)$

Από τたうηいーたνにゅー $(7)$ προκύπτει ότι ηいーた εξίσωση έχει πάντα δύο ρίζες, μία πぱいοおみくろんυうぷしろん περιέχει τたうοおみくろん $+{\sqrt {\Delta }}$ κかっぱαあるふぁιいおた μία πぱいοおみくろんυうぷしろん περιέχει τたうοおみくろん $-{\sqrt {\Delta }}.$ Ανάλογα μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー τιμή της διακρίνουσας $\Delta ,$ διακρίνονται τρεις περιπτώσεις:

• Αあるふぁνにゅー $\Delta >0$, τότε προκύπτουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες:

$x_{+}={\frac {-\beta +{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}$

$x_{-}={\frac {-\beta -{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}$

• Αあるふぁνにゅー $\Delta =0$, τότε προκύπτουν δύο ρίζες, πぱいοおみくろんυうぷしろん εκφυλίζονται σしぐまεいぷしろん μみゅーιいおたαあるふぁ διπλή πραγματική ρίζα:

$x_{\pm }={\frac {-\beta }{2\alpha }}$

• Αあるふぁνにゅー $\Delta <0$, τότε ηいーた διακρίνουσα μπορεί νにゅーαあるふぁ γραφεί ως $\Delta =i^{2}|\Delta |$, όπου $i$ ηいーた φανταστική μονάδα μみゅーεいぷしろん $i^{2}:=-1$ κかっぱαあるふぁιいおた $|\Delta |$ ηいーた απόλυτη τιμή της διακρίνουσας. Τώρα ηいーた υπόριζη ποσότητα είναι μみゅーηいーた αρνητική κかっぱαあるふぁιいおた επομένως ορίζεται σしぐまτたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー μιγαδικών αριθμών. Επομένως, σしぐまεいぷしろん αυτή τたうηいーた περίπτωση προκύπτουν δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες:

$x_{+}={\frac {-\beta +i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\alpha }}$

$x_{-}={\frac {-\beta -i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\alpha }}$

Από τたうαあるふぁ παραπάνω συνάγεται ότι γがんまιいおたαあるふぁ νにゅーαあるふぁ έχει ηいーた εξίσωση πραγματικές λύσεις, πρέπει νにゅーαあるふぁ ισχύει $\Delta \geq 0$, επειδή κάθε πραγματικός αριθμός υψωμένος σしぐまτたうοおみくろん τετράγωνο είναι μみゅーηいーた αρνητικός (αριστερό μέρος της εξίσωσης 6), ηいーた διακρίνουσα $\Delta$ (δεξί μέρος της εξίσωσης 6) πρέπει νにゅーαあるふぁ είναι κかっぱαあるふぁιいおた αυτή μみゅーηいーた αρνητικός αριθμός.

Οおみくろんιいおた τύποι τたうοおみくろんυうぷしろん Βιετά

Οおみくろんιいおた τύποι τたうοおみくろんυうぷしろん Βιετά δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ τたうωおめがνにゅー ριζών ενός πολυωνύμου κかっぱαあるふぁιいおた τたうωおめがνにゅー συντελεστών τたうοおみくろんυうぷしろん. Σしぐまτたうηいーたνにゅー περίπτωση τたうωおめがνにゅー δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν τたうηいーたνにゅー ακόλουθη μορφή:

${\textstyle x_{+}+x_{-}=-{\frac {\beta }{\alpha }}}$

κかっぱαあるふぁιいおた

$x_{+}\cdot x_{-}={\frac {\gamma }{\alpha }}$

Αあるふぁνにゅー συμβολίσουμε μみゅーεいぷしろん $S$ τたうοおみくろん άθροισμα τたうωおめがνにゅー ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης κかっぱαあるふぁιいおた μみゅーεいぷしろん $P$ τたうοおみくろん γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται κかっぱαあるふぁιいおた ως εξής:

$x^{2}-Sx+P=0\$

όπου

$S=x_{+}+x_{-}=-{\frac {\beta }{\alpha }}$

κかっぱαあるふぁιいおた

$P=x_{+}\cdot x_{-}={\frac {\gamma }{\alpha }}$

Δείτε επίσης

• Τριώνυμο
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Εξίσωση

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん θέμα Quadratic equation σしぐまτたうοおみくろん Wikimedia Commons
• Διαδραστική εφαρμογή γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー λύση εξισώσεων δευτέρου βαθμού από τたうοおみくろん γράφημα
• Διαδραστική εφαρμογή γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー αραβική μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 2οおみくろんυうぷしろん βαθμού
• Γεωμετρική επίλυση εξισώσεων 2οおみくろんυうぷしろん βαθμού

Ελληνικά άρθρα

• Κωστοπούλου, Καλλιόπη; Καρκαζής, Γιάννης (Οκτώβριος 2020). «Στιγμιότυπα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: από τたうηいーた Βαβυλώνα σしぐまτたうηいーた σύγχρονη εποχή». Ευκλείδης Α΄ (118): 20-26. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_A_118_EYKLEIDHS_2020.pdf.