Σταμαθηματικά, τοεκατοστιαίο ποσοστό ή ποσοστό επί τοις εκατό (ή και συνεκδοχικά ποσοστό) είναι ένας αριθμός ή ένας λόγος εκφρασμένος σε ένα κλάσμα με παρονομαστή το 100. Συχνά συμβολίζεται χρησιμοποιώντας το σύμβολο τοις εκατό "%" ημετην συντομογραφία "pct.", Πολλές φορές χρησιμοποιείται καιη συντομογραφία "pc" αντί γιατο "pct."[1]. Το ποσοστό είναι ένας αδιάστατος αριθμός (καθαρός αριθμός).
Για παράδειγμα, το 45% (διαβάζεται ως σαράντα πέντε τοις εκατό) είναι ίσο μετο45/100 ή μετο0,45. Τα ποσοστά πουδεν είναι λόγος εκφράζονται ως την σχέση ενός τμήματος από το σύνολο. Για παράδειγμα, εάν το σύνολο είναι ο συνολικός αριθμός των μαθητών από μια τάξη, όταν το 50% των μαθητών στην τάξη είναι άνδρες τότε αυτό σημαίνει ότι 50 από τους 100 μαθητές είναι άνδρες.
Αν υπήρχαν 1000 μαθητές τότε από αυτούς οι 500 θα ήταν άνδρες. Ένα αντίστοιχο σύστημα το οποίο εκφράζει έναν αριθμό ως κλάσμα με παρονομαστή το 1000 ονομάζεται «τοις χιλίοις». Τα ποσοστά χρησιμοποιούνται ως δείκτες γιανα εκφράσουν πόσο μεγάλη ή μικρή είναι μια ποσότητα σε σχέση με μία άλλη. Η πρώτη ποσότητα συνήθως αντιπροσωπεύει ένα μέρος της δεύτερης ποσότητας. Για παράδειγμα, μια αύξηση κατά $0,15 στην τιμή των $2,50 είναι μια αύξηση κατά 0,15/2,50=0,06 της τιμής. Εκφρασμένο σε ποσοστά, η αύξηση αυτή είναι μια αύξηση της τιμής κατά 6%. Ενώ οι ποσοστιαίες τιμές πολλές φορές περιορίζονται ώστε να βρίσκονται μεταξύ του 0 και του 100, δεν υπάρχει κανένας μαθηματικός περιορισμός καιτα ποσοστά μπορούν να λάβουν και άλλες τιμές[2]. Για παράδειγμα συχνά αναφέρονται σε τιμές 111% ή -35% ειδικά όταν θέλουμε να δείξουμε αλλαγές ποσοστού ή συγκρίσεις.
ΣτηνΑρχαία Ρώμη, πολύ πριντην ύπαρξη του δεκαδικού συστήματος, οι υπολογισμοί γινόντουσαν συχνά με κλάσματα τα οποία είναι πολλαπλάσια του 1/100. Για παράδειγμα, οΑύγουστος εισέπραττε φόρο 1/100 για αγαθά που πωλούνταν σε δημοπρασία γνωστή ως «centesima rerum venalium». Ο υπολογισμός με αυτά τα κλάσματα ήταν παρόμοιος μετον υπολογισμό με ποσοστά. Όταν η ονομαστική αξία του χρήματος αυξήθηκε κατά τοΜεσαίωνα, οι υπολογισμοί με παρονομαστή το 100 έγιναν πιο τακτικοί και από τα τέλη του 15ου αιώνα μέχρι τις αρχές του 16ου αιώνα έγινε συχνό φαινόμενο για αριθμητικά κείμενα να συμπεριλάβουν τέτοιου είδους υπολογισμούς. Σε πολλά από αυτά τα κείμενα εφάρμοζαν αυτές τις μεθόδους γιατο κέρδος καιτην απώλεια, τα επιτόκια, καιτοv κανόνα των τριών. Μέχρι το 17ο αιώνα ήταν συνηθισμένο να παραθέτονται τα επιτόκια σε εκατοστά.[3]
Ο όρος "τοις εκατό" προέρχεται από την ελληνικήν τοις εκατόν, που σημαίνει "από το εκατό"[4].Το σύμβολο γιατο "τοις εκατό" εξελίχθηκε από τη σταδιακή συρρίκνωση τουιταλικού όρου 'per cento' , που σημαίνει «για εκατό". Το "per" ήταν συχνά συντομογραφία του "p." και τελικά εξαφανίστηκε εντελώς. Το "cento" συμβολίστηκε από δύο κύκλους που χωρίζονται από μια οριζόντια γραμμή, από το οποίο προέρχεται το σύγχρονο σύμβολο "%"[5].
Η επί τοις εκατό τιμή υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας την αριθμητική τιμή του λόγου μετο 100. Για παράδειγμα, γιανα βρούμε τα 50 μήλα ως ποσοστό του 1250 μήλα, πρώτα υπολογίζουμε την αναλογία 50/1250 = 0,04, καιστη συνέχεια πολλαπλασιάζονται με 100 για να ληφθεί 4%.Η επί τοις εκατό τιμή μπορεί επίσης να βρεθεί με πολλαπλασιασμό πρώτα, έτσι σε αυτό το παράδειγμα το 50 θα πολλαπλασιάζεται επί 100 για να δώσει 5,000, και αυτό το αποτέλεσμα θα διαιρεθεί με 1250 για να δώσει 4%.Γιανα υπολογιστεί ένα ποσοστό επί τοις εκατό, πρέπει να μετατραπούν τα δύο ποσοστά σε κλάσματα των 100, ή σε δεκαδικά ψηφία, καινα πολλαπλασιαστούν. Για παράδειγμα, το 50% των 40% είναι:
Δεν είναι σωστό να διαιρεθεί ένας αριθμός μετο 100 και να χρησιμοποιηθεί το σύμβολο τοις εκατό κατά την ίδια στιγμή. (Π.χ. 25% = 25/100 = 0,25, όχι 25% /100, το οποίο στην πραγματικότητα είναι 25/100/100= 0,0025. Ένας όρος όπως το 100/100% θα μπορούσε επίσης να είναι σφάλμα, αυτό θα μπορούσε να διαβαστεί ως 1 τοις εκατό, ακόμη καιανη πρόθεση ήταν ναπω 100%.)
Κάθε φορά που μιλάμε για ένα ποσοστό, είναι σημαντικό να καθοριστεί μετι συσχετίζεται , δηλαδή ποιο είναι το σύνολο που αντιστοιχεί στο 100%. Το παρακάτω πρόβλημα απεικονίζει το σημείο αυτό.
Σε ένα συγκεκριμένο κολέγιο το 60% του συνόλου των φοιτητών είναι γυναίκες καιτο 10% του συνόλου των φοιτητών ασχολούνται μετην επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες. Αντο 5% των φοιτητριών ασχολούνται μετην επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες, ποιο είναι το ποσοστό από αυτούς που ασχολούνται μετην επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες να είναι γυναίκες;
Ζητείται δηλαδή να υπολογιστεί ηαναλογίατων γυναικών που ασχολούνται μετην επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες προς όλους που ασχολούνται μετην επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες . Γνωρίζουμε ότι το 60% του συνόλου των φοιτητών είναι γυναίκες, και μεταξύ αυτών το 5% είναι φοιτήτριες που ασχολούνται μετην επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες, έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι 60/100 × 5 /100 = 3/100 ή 3% του συνόλου των φοιτητών είναι γυναίκες που ασχολούνται μετην επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες. Διαιρώντας αυτό από το 10% που είναι το συνόλου των φοιτητών που ασχολούνται μετην επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες, φτάνουμε στην απάντηση: 3% /10% = 30 εκατοστά ή 30% του συνόλου που ασχολούνται μετην επιστήμη των υπολογιστών σε μεγάλες εταιρείες είναι γυναίκες.
Μερικές φορές λόγω ασυνεπούς χρήσης, δεν είναι πάντοτε σαφές από τα συμφραζόμενα μετι βρίσκετε σε σχέση το ποσοστό. Όταν μιλάμε γιαμια «10% αύξηση» ή «10% πτώση» σεμια ποσότητα, η συνήθης ερμηνεία είναι ότι αυτό είναι σε σχέση μετην αρχική τιμή της εν λόγω ποσότητας. Για παράδειγμα, αν ένα αντικείμενο είναι αρχικά στην τιμή των $ 200 και η τιμή αυξηθεί κατά 10% (αύξηση κατά $ 20), η νέα τιμή θα είναι $ 220. Να σημειωθεί ότι αυτή η τελική τιμή είναι 110% της αρχικής τιμής (100% + 10% = 110%).
Μια αύξηση κατά 100% σε ποσότητα σημαίνει ότι το τελικό ποσό είναι 200% της αρχικής ποσότητας (100% του αρχικού + 100% αύξησης = 200% του αρχικού) με άλλα λόγια, η ποσότητα έχει διπλασιαστεί.
Μια αύξηση του 800% σημαίνει ότι το τελικό ποσό είναι 9 φορές το αρχικό (100% + 800% = 900% = 9 φορές μεγαλύτερο).
Μια μείωση 60% σημαίνει ότι το τελικό ποσό είναι 40% του αρχικού (100% - 60% = 40%).
Μια μείωση της τάξης του 100% σημαίνει ότι το τελικό ποσό είναι μηδέν (100% - 100% = 0%).
Σε γενικές γραμμές, μια μεταβολή x τοις εκατό σε μία ποσότητα καταλήγει σεμια τελική ποσότητα η οποία είναι 100 + χ τοις εκατό του αρχικού ποσού (ισοδύναμα, 1 + 0.01x φορές το αρχικό ποσό).
Είναι σημαντικό να γίνει κατανοητό ότι οι μεταβολές τοις εκατό, όπως έχουν συζητηθεί εδώ, δεν προσθέτονται μετον συνήθη τρόπο, μόνο εάν εφαρμόζονται διαδοχικά. Για παράδειγμα, ανη αύξηση 10% στην τιμή θεωρείται νωρίτερα (στο αντικείμενο $ 200, αυξάνοντας την τιμή τουστα $ 220) και ακολουθεί μια μείωση 10% στην τιμή (μείωση των $ 22), η τελική τιμή θα είναι $ 198, δεν είναι η αρχική τιμή των $ 200. Ο λόγος γιατην εμφανή διαφορά είναι ότι οι δύο τοις εκατό αλλαγές (+ 10% και -10%) υπολογίζονται σε διαφορετικές ποσότητες ($ 200 και $ 220, αντίστοιχα), καιγια αυτό δεν «ακυρώνονται».
Γενικά, εάν μία αύξηση x τοις εκατό ακολουθείται από μια μείωση της τάξης του x τοις εκατό, καιτο αρχικό ποσό ήταν ρ, το τελικό ποσό είναι p (1 + 0.01x) (1 - 0.01x) = p (1 - (0.01x ) ^2) Έτσι, η καθαρή μεταβολή είναι μια συνολική μείωση κατά x τοις εκατό του x τοις εκατό (το τετράγωνο της αρχικής μεταβολής τοις εκατό, όταν εκφράζεται ως δεκαδικός αριθμός). Έτσι, στο ανωτέρω παράδειγμα, μετά από μια αύξηση και μείωση κατά x = 10 τοις εκατό, το τελικό ποσό, $ 198, ήταν το 10% του 10%, ή 1%, λιγότερο από το αρχικό ποσό των $ 200. Η καθαρή μεταβολή είναι η ίδια όταν έχουμε μείωση του ποσοστού x που ακολουθείται από μια αύξηση κατά x τοις εκατό καιτο τελικό ποσό είναι p (1 + 0.01x) (1 - 0.01x) = p (1 - (0.01x) ^2).
Αυτό μπορεί να επεκταθεί σεμια περίπτωση όπου δεν έχουν την ίδια ποσοστιαία μεταβολή. Εάν η αρχική μεταβολή τοις εκατό είναι το x καιτο δεύτερη ποσοστιαία μεταβολή είναι y, καιτο αρχικό ποσό ήταν p, τότε το τελικό ποσό είναι p (1 + 0.01x) (1 + 0.01y). Γιανα αλλάξουμε το παραπάνω παράδειγμα, μετά από μια αύξηση του x = 10 τοις εκατό και μείωση y = -5 τοις εκατό, το τελικό ποσό, $ 209, είναι 4,5% περισσότερο από το αρχικό ποσό των $ 200.
Όπως φαίνεται από τα παραπάνω, τοις εκατό μεταβολές μπορούν να εφαρμοστούν με οποιαδήποτε σειρά καινα έχουν το ίδιο αποτέλεσμα.
Στην περίπτωση τωνεπιτοκίων, ένα πολύ σύνηθες , αλλά μαθηματικά λάθος, τρόπος γιανα δηλωθεί ότι το επιτόκιο αυξήθηκε για παράδειγμα από 10% σε 15% είναι να πούμε ότι το επιτόκιο αυξήθηκε κατά 5 τοις εκατό, όταν στην πραγματικότητα αυτό που εννοείται είναι ότι το επιτόκιο αυξήθηκε κατά 5 ποσοστιαίες μονάδες (π.μ.). Ως αποτέλεσμα, οι άνθρωποι συχνά δεν καταλαβαίνουν μέχρι να είναι αργά τη συγκλονιστική αλήθεια ότι οι μηνιαίες πληρωμές τους σε ένα δάνειο θα αυξηθούν κατά 20 τοις εκατό, όταν οι τράπεζες ή οι δημοσιογράφοι (λανθασμένα) μιλάνε γιαμια αύξηση 2%, που σημαίνει στην πραγματικότητα μια αύξηση από 10% σε 12%. Η ίδια σύγχυση μεταξύ των διαφόρων εννοιών του ποσοστού και στις ποσοστιαίες μονάδες προκαλεί μεγάλες παρεξηγήσεις για παράδειγμα, όταν οι δημοσιογράφοι τακτικά αναφέρουν εσφαλμένα σχετικά μετα αποτελέσματα των εκλογών. Ένα ακόμα παράδειγμα μετα ομόλογα, είναι σύνηθες να αναφέρεται σε αύξηση μιας ποσοστιαίας μονάδας ως αύξηση κατά 100 αρχικές μονάδες.
Σταβρετανικά αγγλικά, μερικές φορές το τοις εκατό γράφεται ως δύο λέξεις (per cent, ανκαιτο ποσοστό καιτο εκατοστημόριο γράφονται ως μία λέξη) [6]. Στααμερικανικά αγγλικά, percent είναι ηπιο συχνή παραλλαγή [7] (αλλά το per mille γράφεται ως δύο λέξεις).
Στις αρχές του εικοστού αιώνα, υπήρξε μια ακόμα διακεκομμένη μορφή συντομογραφίας του "τοις εκατό", εκτός από την συνηθισμένη μορφή "τοις εκατό". Η μορφή «τοις εκατό" χρησιμοποιείτε ακόμα ως μέρος μιας εξαιρετικά επίσημης γλώσσας που βρέθηκε σε ορισμένα έγγραφα, όπως συμφωνίες εμπορικού δανείου (ιδιαίτερα σε εκείνες που υπόκεινται, ή εμπνέονται από το κοινό δίκαιο), όπως καιστα αντίγραφα Hansard της βρετανικής κοινοβουλευτικής διαδικασίας. Ο όρος έχει αποδοθεί στηΛατινική τοις εκατόν [8]. Η διαδικασία να λαμβάνουμε υπόψη τις τιμές ως τμήματα του εκατό χρησιμοποιήθηκε αρχικά στηνΕλλάδα. Τοσύμβολο του τοις εκατό (%) εξελίχθηκε από ένα σύμβολο που ήταν η συντομογραφία του 'per cento' στα ιταλικά. Σε ορισμένες άλλες γλώσσες, χρησιμοποιείται η μορφή 'procent' ή 'prosent' αντ 'αυτού. Ορισμένες γλώσσες χρησιμοποιούν είτε σύμβολα που δηλώνουν το τοις εκατό είτε εκφράσεις σε φυσική γλωσσά που έχουν το ίδιο νόημα, π.χ. στην Ρουμανική διάλεκτο το 10% μπορεί να διαβάσει ή να γραφτεί μερικές φορές είτε δέκα για κάθε εκατό, όπως καιστην αγγλική. Άλλες συντομεύσεις είναι σπανιότερες, αλλά μερικές φορές τις συναντάμε.
Στην γραμματική καιστον τρόπο γραφής στα κείμενα συχνά διαφέρει το πώς πρέπει να γραφτούν τα ποσοστά. Για παράδειγμα, είναι σύνηθες να προτείνεται η λέξη ποσοστό (ή τοις εκατό) να διατυπώνεται σε όλα τα κείμενα, όπως στο "1 τοις εκατό» και όχι «1%». Άλλοι οδηγοί γραμματικής προτιμούν τη λέξη γιανα γράφεται στα ανθρωπιστικά κείμενα καιτο σύμβολο να χρησιμοποιούνται σε επιστημονικά κείμενα. Οι περισσότεροι οδηγοί γραμματικής συμφωνούν ότι πάντα πρέπει να συνοδεύεται με έναν αριθμό, όπως στο "5 τοις εκατό" και όχι "πέντε τοις εκατό", η μόνη εξαίρεση να είναι όταν είναι στην αρχή μιας πρότασης: " Δέκα τοις εκατό όλων των συγγραφέων αγαπούν τον τρόπο γραφής στα κείμενα" επίσης να χρησιμοποιούνται δεκαδικά αντί του κλάσματος, παραδείγματος "3,5 τοις εκατό του κέρδους» και όχι «3/2 τοις εκατό του κέρδους». Είναι επίσης ευρέως αποδεκτό να χρησιμοποιείται το σύμβολο τοις εκατό (%) σε μορφή πίνακα καισε γραφικό υλικό.
Η λέξη «ποσοστό» είναι συχνά ένας εσφαλμένος δείκτης στο πλαίσιο των αθλητικών στατιστικών στοιχείων, όταν ο αναφερόμενος αριθμός εκφράζεται ως δεκαδικό ποσοστό, όχι ένα ποσοστό: «ΟιPhoenix SunsμετονShaquille O'Neal τελείωσαν τοΝΒΑμε ποσοστό εύστοχων καλαθιών 0.609 κατά τη διάρκεια της σεζόν 2008-09. " (Ο 'Νιλ είχε 60,9% εύστοχα καλάθια , όχι 0.609%). Ομοίως, τοποσοστό νίκης της ομάδας, δηλαδή το κλάσμα με παρονομαστή τούς αγώνες πουο σύλλογος είχε κερδίσει, συνήθως εκφραζόταν ως δεκαδικός, δηλαδή μια ομάδα που έχει ένα ποσοστό νίκης 0,500 έχει κερδίσει το 50% των αγώνων τους. Μετον ίδιο τρόπο υπολογίζεται καιομέσος ορός χτυπημάτων.
Όπως το «επί τοις εκατό» χρησιμοποιείται γιανα περιγράψει τηνκλίση της πλαγιάς ενός δρόμου ή σιδηροδρομικών, με τύπο 100 × ύψωμα/ δρόμο θα μπορούσε επίσης να εκφραστεί ως ηεφαπτομένη της γωνίας κλίσης επί 100. Αυτή είναι η αναλογία των αποστάσεων όταν ένα όχημα θα προχωρήσει κάθετα η οριζόντια ανάλογα αν γίνεται απότομη ανωφέρεια ή κατωφέρεια αντίστοιχα, τότε εκφράζεται σε ποσοστό.
