Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές.Βοηθήστε συνδέοντας το κείμενο με τις πηγές χρησιμοποιώντας παραπομπές, ώστε να είναι επαληθεύσιμο. Το πρότυπο τοποθετήθηκε χωρίς ημερομηνία. Γιατη σημερινή ημερομηνία χρησιμοποιήστε: {{χωρίς παραπομπές|14|06|2024}}
Στηνθεωρία πιθανοτήτωνκαιστηνστατιστική, ηκατανομή πιθανοτήτων αποδίδει την πιθανότητα σε κάθε μετρήσιμο υποσύνολο των πιθανών αποτελεσμάτων του τυχαίου πειράματος, της έρευνας, ή την διαδικασία της επαγωγικής στατιστικής. Παραδείγματα αποτελούν τα πειράματα των οποίων ο δειγματικός χώρος είναι μη-αριθμητικός, όπου η κατανομή θα είναι μιακατηγορική κατανομή. Πειράματα των οποίων οδειγματικός χώρος αποτελείται από διακριτές τυχαίες μεταβλητές, όπου η κατανομή μπορεί να καθορίζεται από μια συνάρτηση συσσωρευμένης πιθανότητας. Τα πειράματα με δειγματικούς χώρους κωδικοποιούνται από συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, όπου η κατανομή μπορεί να καθορίζεται από μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Πιο πολύπλοκα πειράματα, όπως εκείνα που αφορούν στοχαστικές διαδικασίες που ορίζονται σε συνεχή χρόνο, μπορεί να απαιτήσει τη χρήση τωνπιο γενικών μέτρων πιθανότητας.
Μία κατανομή πιθανοτήτων μπορεί να οριστεί με τους εξής τρόπους:
Παρέχοντας μία (έγκυρη) συνάρτηση μάζας πιθανότητας (ή αλλιώς συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας)
Παρέχοντας μία αθροιστικής συνάρτησης συνάρτηση κατανομής
Παρέχοντας μία συνάρτησης κινδύνου
Παρέχοντας μία χαρακτηριστικής συνάρτησης
Παρέχοντας έναν κανόνα γιατην κατασκευή μιας νέας τυχαίας μεταβλητής από άλλες τυχαίες μεταβλητές των οποίων η κατανομή είναι γνωστή.
Η κατανομή πιθανοτήτων μπορεί να είναι είτε μονομεταβλητή είτε πολυμεταβλητή. Μία μονομεταβλητή κατανομή δίνει τις πιθανότητες για κάθε δυνατή τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής. Μία πολυμεταβλητή κατανομή δίνει τις πιθανότητες για κάθε δυνατή τιμή ενός τυχαίου διανύσματος, που περιλαμβάνει δύο ή περισσότερες τυχαίες μεταβλητές.
Οι μεταβλητές διακρίνονται σεποιοτικές (ή κατηγορικές) οι οποίες παίρνουν τιμές πουδεν είναι αριθμοί και στις ποσοτικέςπουοι τιμές που παίρνουν είναι αριθμοί, και περεταίρω διακρίνονται σεδιακριτέςκαισυνεχείς. Για παράδειγμα, το αποτέλεσμα του στριψίματος ενός νομίσματος είναι το σύνολο κορώνα, γράμματα (άρα κατηγορική), η μέτρηση του ύψους σε εκατοστά είναι διακριτή, καιη μέτρηση της θερμοκρασίας σε θερμόμετρο είναι συνεχής.
Γιανα ορίσουμε τις κατανομές πιθανοτήτων για τις απλές περιπτώσεις, πρέπει να γίνει διάκριση μεταξύ διακριτών και συνεχών τυχαίων μεταβλητών. Στην διακριτές μεταβλητές, μπορούμε να αναθέσουμε μια πιθανότητα σε κάθε δυνατή τιμή: για παράδειγμα, όταν ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι, κάθε μία από τις έξι τιμές έως έχει την πιθανότητα . Στις συνεχείς μεταβλητές οι τιμές που μπορούν να πάρουν είναι οποιεσδήποτε τιμές που μπορεί να υπάρχουν σε ένα διάστημα όπου ανήκουν στους πραγματικούς αριθμούς. Επίσης σεμια συνεχή μεταβλητή οι πιθανότητες είναι μη-μηδενικές μόνο εάν αναφέρονται σε χρονικά διαστήματα. Για παράδειγμα, η πιθανότητα ο δείκτης του θερμομέτρου να είναι ακριβώς είναι 0.
Ησυνάρτηση μάζας πιθανότητας (σ.μ.π.) καθορίζει την κατανομή πιθανοτήτων γιατο άθροισμα των τιμών δύο αμερόληπτων ζαριών. Για παράδειγμα, το σχήμα δείχνει ότι . Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας επιτρέπει τον υπολογισμό των πιθανοτήτων των γεγονότων, όπως , και όλες τις άλλες πιθανότητες στην κατανομή.Ησυνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανομής, ή αλλιώς Gaussian ή "καμπύλη καμπάνα", ηπιο σημαντική συνεχής τυχαία κατανομή. Όπως φαίνεται στο σχήμα, οι πιθανότητες στα διαστήματα των τιμών αντιστοιχούν στην περιοχή κάτω από την καμπύλη.
Επειδή ηθεωρία πιθανοτήτωνκαιηστατιστική εφαρμόζονται σε αρκετούς διαφορετικούς τομείς, η ορολογία δεν είναι ενιαία και μερικές φορές προκαλεί σύγχυση. Οι ακόλουθοι όροι χρησιμοποιούνται σχετικά με κατανομές πιθανότητας:
Κατηγορική κατανομή:για διακριτές τυχαίες μεταβλητές με πεπερασμένο σύνολο τιμών.
Συνάρτηση πυκνότητας (σ.π.) : κυρίως χρησιμοποιείται για συνεχείς μεταβλητές.
Οι ακόλουθοι όροι είναι κάπως ασαφείς, δεδομένου ότι μπορεί να αναφέρεται σε αθροιστικές καιμη αθροιστικές κατανομές, ανάλογα με τις προτιμήσεις του συγγραφέα:
Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας: συνεχής ή διακριτή, αθροιστική καιμη αθροιστική.
Συνάρτηση πιθανότητας: ακόμα πιο διφορούμενη, μπορεί να σημαίνει οποιοδήποτε από τα παραπάνω ή άλλα πράγματα.
Τέλος,
Κατανομή πιθανότητας: μερικές φορές είναι το ίδιο μετην συνάρτηση κατανομής πιθανότητας, αλλά συνήθως αναφέρεται στην πληρέστερη απόδοση πιθανοτήτων σε όλα τα μετρήσιμα υποσύνολα των αποτελεσμάτων, όχι μόνο σε συγκεκριμένα αποτελέσματα ή περιοχές των αποτελεσμάτων.
Επειδή μια κατανομή πιθανότητας στην πραγματική γραμμή προσδιορίζεται από την πιθανότητα της τυχαίας μεταβλητής σεημι-ανοικτό διάστημα , η κατανομή πιθανοτήτων που χαρακτηρίζονται από αθροιστική συνάρτηση κατανομής της είναι:
Μια διακριτή κατανομή πιθανότητας είναι μια κατανομή πιθανοτήτων που παίρνει τιμές σε ένα πεπερασμένο ή αριθμήσιμοσύνολο. Η συνάρτηση πιθανότητας ορίζεται ως:
.
Η πιθανότητα κάθε γεγονότος (για) δίνεται από το άθροισμα:
.
Επιπλέον, η συνάρτηση ικανοποιεί:
Ο αριθμός των δυνατών τιμών της μπορεί να είναι άπειρος, αρκεί οι πιθανότητες να τίνουν στο αρκετά γρήγορα ώστε το άθροισμα να είναι . Για παράδειγμα, εάν για τότε έχουμε το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι
Η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας για μία διακριτή κατανομή. Οι πιθανότητες γιατα μονοσύνολα {1}, {3} και {7} είναι αντίστοιχα 0.2, 0.5, 0.3. Ένα σύνολο πουδεν περιέχει κάποιο από αυτά τα στοιχεία έχει μηδενική πιθανότητα.
Μια συνεχής κατανομή πιθανότητας είναι μια κατανομή πιθανοτήτων που έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Πολλοί μαθηματικοί αποκαλούν, επίσης, μια τέτοια διανομή απόλυτα συνεχής, δεδομένου ότι αθροιστική συνάρτηση κατανομής της είναι απολύτως συνεχής σε σχέση μετο μέτρο λ Lebesgue. Ανη κατανομή του είναι συνεχής, τότε τοΧ ονομάζεται συνεχής τυχαία μεταβλητή. Υπάρχουν πολλά παραδείγματα με συνεχή κατανομή πιθανότητας όπως: ηκανονική, ηομοιόμορφη, ηεκθετική, και άλλες.
Διαισθητικά, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή είναι εκείνη η οποία μπορεί να λάβει μια συνεχή σειρά από τιμές, σε αντίθεση μεμια διακριτή κατανομή, όπου το σύνολο των πιθανών τιμών γιατην τυχαία μεταβλητή είναι υπολογίσιμο. Ενώ γιαμια διακριτή κατανομή ένα γεγονός με πιθανότητα μηδέν είναι αδύνατο (π.χ., να φέρεις 3½ σε ένα αμερόληπτο ζάρι είναι αδύνατο, και έχει πιθανότητα μηδέν),στην περίπτωση της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής αυτό δεν συμβαίνει .Για παράδειγμα, εάν κάποιος μετρά το πλάτος ενός φύλλου δρυός, το αποτέλεσμα της 3½ εκατοστά είναι δυνατόν να συμβεί. Ωστόσο, έχει πιθανότητα μηδέν επειδή υπάρχουν πολλές άλλες πιθανές τιμές, ακόμη και μεταξύ 3 cm και 4 cm. Κάθε ένα από αυτά τα επιμέρους αποτελέσματα έχει μηδενική πιθανότητα, αλλά η πιθανότητα ότι το αποτέλεσμα θα ανήκει στο διάστημα (3 εκατοστών, 4 εκατοστά) είναι μη μηδενική. Αυτό το φαινομενικά παράδοξο λύνεται από το γεγονός ότι η πιθανότητα τουΧ αποκτά κάποια τιμή μέσα σε ένα άπειρο σύνολο. Επισήμως, κάθε πιθανή τιμή έχει μια απειροελάχιστη πιθανότητα, η οποία στατιστικά είναι ισοδύναμη μετο μηδέν.
Επισήμως, εάν τοΧ είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή, τότε έχει μια ƒ συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (x), και ως εκ τούτου την πιθανότητα να ανήκουν σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα, ας πούμε [a, b] δίνεται από το ολοκλήρωμα
Ειδικότερα, η πιθανότητα γιατοΧνα λάβει μια συγκεκριμένη τιμή (δηλαδή a ≤ X ≤ a) είναι μηδέν, επειδή η πιθανότητα να συμπίπτουν τα άνω καιτα κάτω όρια είναι πάντοτε ίση με μηδέν.
Ο ορισμός αναφέρει ότι μια συνεχής κατανομή πιθανοτήτων πρέπει να έχει πυκνότητα, ή ισοδύναμα την αθροιστική συνάρτηση κατανομής της απολύτως συνεχής. Η απαίτηση αυτή είναι ισχυρότερη από απλή συνέχεια της αθροιστική συνάρτηση κατανομής, και υπάρχει μια ειδική κατηγορία των κατανομών πουδεν είναι ούτε συνεχής ούτε διακριτές ούτε ένα μίγμα από αυτά. Ένα παράδειγμα δίνεται από την κατανομή Cantor. Τέτοιες όμως ποτέ δεν συναντώνται στην πράξη.
Σημείωση σχετικά μετην ορολογία: κάποιοι συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο «συνεχής διανομή" γιανα υποδηλώσουν τη διανομή με συνεχή αθροιστική συνάρτηση κατανομής.
Μια σύμβαση αναφέρει ότι μια κατανομή πιθανοτήτων μ λέγεται συνεχής ανη αθροιστική συνάρτηση κατανομής F (x) του = μ(- ∞, x] είναι συνεχής και, ως εκ τούτου, το μέτρο της πιθανότητας μ{x}=0για κάθε x.
Μια άλλη σύμβαση διατηρεί το όρο συνεχή κατανομή πιθανότητας για απολύτως συνεχείς κατανομές. Αυτές οι κατανομές μπορούν να χαρακτηρίζονται από μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: μιαμη-αρνητική Lebesgue συνάρτηση f που ορίζεται επί των πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
.svg)
![{\displaystyle (-\infty ,x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2402c0ff48631309599dc5d8be7607fb994d8d)
![{\displaystyle F(x)=\Pr \left[X\leq x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38abba897b79daf3a91bf12d0cd42f5aaf345a9)
![{\displaystyle p_{X}:S\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17b0753a66a9bd5b2ef6de0cacb6cb5f0af48388)
![{\displaystyle \Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ae6784958a2bb100f46b72d3842ab3b42f8f40)
![{\displaystyle F(x)=\mu (-\infty ,x]=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df830ff3ca42181723642c74edca4784ac70560)