Φάσμα Μάρκοφ

Σしぐまτたうαあるふぁ μαθηματικά, τたうοおみくろん Φάσμα Μάρκοφ επινοήθηκε από τたうοおみくろんνにゅー Αντρέι Μάρκοφ, είναι ένα περίπλοκο σύνολο πραγματικών αριθμών πぱいοおみくろんυうぷしろん προκύπτουν σしぐまτたうηいーた θεωρία της διοφαντικής προσέγγισης, κかっぱαあるふぁιいおた περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι μεγαλύτεροι από τたうηいーた σταθερά τたうοおみくろんυうぷしろん Φράιμαν.

Περιεχόμενο

Αρχίζοντας από τたうοおみくろん θεώρημα τたうοおみくろんυうぷしろん Χούρβιτς σしぐまτたうηいーた διοφαντική προσέγγιση, ότι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός $\xi$ έχει μみゅーιいおたαあるふぁ αλληλουχία ορθολογικών προσεγγίσεων m/n μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー τάση

$\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}$

είναι δυνατόν νにゅーαあるふぁ ζητηθεί ηいーた κάθε τιμή 1/c όπου 1/c ≥ √5 μみゅーεいぷしろん τたうηいーたνにゅー ύπαρξη κάποιου $\xi$ γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろんνにゅー οποίο ισχύει

$\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {c}{n^{2}}}$

ως μみゅーιいおたαあるふぁ ακολουθία, γがんまιいおたαあるふぁ τたうηいーたνにゅー οποία τたうοおみくろん c είναι ηいーた καλύτερη δυνατή (μέγιστη) τιμή. Παρόμοια 1/c συνθέτουν τたうοおみくろん φάσμα τたうοおみくろんυうぷしろん Λαγκράνζ, ένα σύνολο πραγματικών αριθμών μみゅーεいぷしろん τιμή τουλάχιστον √5 (ηいーた οποία είναι ηいーた μικρότερη τιμή τたうοおみくろんυうぷしろん φάσματος). Οおみくろん υπολογισμός είναι δύσκολος, αλλά παρατηρώντας τたうοおみくろん σύνολο τたうωおめがνにゅー c βλέπουμε ότι μπορεί νにゅーαあるふぁ οριστεί ένα όριο ακολουθίας. Γがんまιいおたαあるふぁ τたうοおみくろん οποίο, θεωρούμε

$\liminf _{n\to \infty }n^{2}\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|$

όπου τたうοおみくろん m, σしぐまεいぷしろん συνάρτηση μみゅーεいぷしろん τたうοおみくろん n, επιλέγεται ως ένας ακέραιος τέτοιος ώστε νにゅーαあるふぁ κάνει τたうηいーた διαφορά ελάχιστη. Αυτή είναι μみゅーιいおたαあるふぁ συνάρτηση τたうοおみくろんυうぷしろん $\xi$, όπου τたうοおみくろん αντίστροφο τたうοおみくろんυうぷしろん φάσματος Λαγκράνζ είναι τたうοおみくろん εύρος τたうωおめがνにゅー τιμών πぱいοおみくろんυうぷしろん παίρνει σしぐまεいぷしろん άρρητους αριθμούς.

Τたうοおみくろん αρχικό μέρος τたうοおみくろんυうぷしろん φάσματος Λαγκράνζ, δηλαδή τたうοおみくろん μέρος πぱいοおみくろんυうぷしろん βρίσκεται σしぐまτたうοおみくろん διάστημα [√5, 3), συνδέεται μみゅーεいぷしろん κάποιες δυαδικές τετραγωνικές μορφές πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι αόριστες (έτσι παράγεται εντός δύο πραγματικών γραμμικών μορφών). Οおみくろんιいおた πρώτες τιμές είναι √5, √8, √221/5, √1517/13, ... . Τたうοおみくろん φάσμα Μάρκοφ ασχολείται άμεσα μみゅーεいぷしろん τたうαあるふぁ φαινόμενα πぱいοおみくろんυうぷしろん συνδέονται μみゅーεいぷしろん αυτές τις τετραγωνικές μορφές.

Σταθερά τたうοおみくろんυうぷしろん Φράιμαν είναι τたうοおみくろん όνομα πぱいοおみくろんυうぷしろん δίνεται σしぐまτたうοおみくろん τέλος τたうοおみくろんυうぷしろん τελευταίου διακένου σしぐまτたうοおみくろん φάσμα Λαγκράνζ, δηλαδή:

$F={\frac {2\,221\,564\,096+283\,748{\sqrt {462}}}{491\,993\,569}}=4.5278295661\dots .$

Οおみくろんιいおた πραγματικοί αριθμοί πぱいοおみくろんυうぷしろん είναι μεγαλύτεροι από τたうοおみくろん F είναι επίσης μέλη τたうοおみくろんυうぷしろん φάσματος Μάρκοφ.

Περαιτέρω ανάγνωση

• Αριθμός Μάρκοφ
• Αριθμός Λαγκράνζ
• Φάσμα Λαγκράνζ

Βιβλιογραφία

• Cassels, J. W. S. (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45. Cambridge University Press. Zbl 0077.04801. 
• Conway, John H.· Guy, Richard K. (1995). The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag. σελίδες 188–189. ISBN 0-3879-7993-X. 
• Cusick, Thomas· Flahive, Mari (1989). The Markoff and Lagrange spectra. Math. Surveys and Monographs. 30. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023. 

Εξωτερικοί συνδέσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Markov spectrum problem», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=m/m062540