Spectre de Lagrange
En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le spectre de Lagrange est un ensemble de nombres réels apparaissant dans la théorie de l'approximation diophantienne. Le spectre de Markov, défini par Andreï Markov, est une variante de cet ensemble jouant un rôle dans l'étude de l'équation diophantienne de Markov.
Définitions
[modifier | modifier le code]Spectre de Lagrange
[modifier | modifier le code]Le théorème de Hurwitz affirme que tout réel
Plus précisément, on définit L(
- ;
l'ensemble des L(
Une formulation équivalente, mais plus pratique, en termes de limites inférieures, revient à dire que :
où m est l'entier (dépendant de n) rendant la différence minimale.
Développement en fraction continue et spectre de Markov
[modifier | modifier le code]Partant du développement en fraction continue de
on introduit la suite de nombres , où s'obtient en retirant les n premiers termes du développement de
Si l'on remplace dans cette définition la limite supérieure par la borne supérieure, on obtient un nouvel ensemble de nombres M(
Caractérisations du spectre de Markov
[modifier | modifier le code]La définition précédente peut s'interpréter géométriquement à l'aide de l'étude de la position de droites de pente
Par les formes quadratiques
[modifier | modifier le code]On considère l'ensemble des formes quadratiques à coefficients réels, de discriminant fixé [4]. Pour chacune de ces formes, la borne supérieure des valeurs absolues des inverses des valeurs non nulles prises en un point du réseau appartient au spectre de Markov ; plus précisément
- [5].
En relation avec l'équation diophantienne de Markov
[modifier | modifier le code]Les nombres de Markov sont les entiers naturels x, y ou z faisant partie d'une solution de l'équation diophantienne de Markov : , formant la suite (1,2,5,13,34,89,...) (suite A002559 de l'OEIS). Markov a démontré que le n-ème nombre de Lagrange, Ln, est donné par la formule , où mn est le n-ème nombre de Markov.
Géométrie des spectres
[modifier | modifier le code]Le spectre de Lagrange est inclus dans celui de Markov, et ils sont identiques dans leur partie initiale comprise entre √5 et 3 (commençant par √5, √8, √221/5, √1517/13[6]...). Le spectre de Lagrange est continu à partir de sa dernière discontinuité, la constante de Freiman, un nombre dont la valeur exacte est
c'est-à-dire que et que pour tout x<F, il existe y non dans L tel que x<y<F[7],[8]. L est en fait strictement inclus dans M, mais on ignore, par exemple, la valeur du plus petit élément de M qui n'est pas dans L[9].
La transition entre la partie discrète de L (entre √5 et 3) et la partie continue (après F) a une structure fractale, décrite plus précisément par le théorème suivant[10] :
Pour tout , la dimension de Hausdorff de est égale à celle de . Si d est la fonction associant à t cette dimension, alors d est continue, croissante, et envoie R sur [0,1].
Ce théorème se généralise d'ailleurs à d'autres spectres analogues[11].
Systèmes dynamiques associés aux spectres
[modifier | modifier le code]Les définitions de L et de M à l'aide de développements en fractions continues amènent naturellement à les faire correspondre à un système dynamique : l'ensemble des suites (infinies dans les deux directions) d'entiers non nuls, muni de l'opérateur de décalage défini par . Associant alors à chaque suite de S le réel défini par la somme des développements en fractions continues , les résultats donnés plus haut montrent[12] que
- et
- .
La géométrie des spectres (c'est-à-dire, par exemple, la dimension de Hausdorff de la restriction du spectre à un intervalle donné) peut alors être étudiée à l'aide d'outils venant de cette théorie, comme les partitions de Markov (en)[13].
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Notes et références
[modifier | modifier le code]- Ainsi nommé en hommage aux travaux de Lagrange sur les fractions continues[réf. souhaitée].
- Andreï Markov, Sur les formes quadratiques binaires indéfinies, Math. Ann. , 15 (1879) pp. 381–406.
- Series 1985
- Une autre valeur de
Δ (positive) demanderait simplement à diviser par √Δ les nombres obtenus dans la définition de M ci-dessous - Perrine 1988, p.44 et suivantes
- Cassels 1957 p.18
- Gregory Freiman (en), Diophantine approximation and geometry of numbers (the Markoff spectrum). Kalininskii Gosudarstvennyi Universitet, Moscou, 1975.
- (en) Eric W. Weisstein, « Freiman's Constant », sur MathWorld
- Cusick et Flahive 1989, pp.35–45.
- Moreira 2017 ; cet article donne un peu plus d'informations sur d, mentionnant par exemple que et que dès que t est supérieur à .
- (en) Aline Cerqueira, Carlos Matheus et Carlos Moreira, « Continuity of Hausdorff dimension across generic dynamical Lagrange and Markov spectra », arXiv, (lire en ligne).
- Ibarra et Moreira 2017, p.2.
- Ibarra et Moreira 2017.
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- Serge Perrine, Approximation diophantienne (théorie de Markov), Université de Lorraine, (lire en ligne).
- (en) John Cassels, An introduction to Diophantine approximation, CUP, coll. « Cambridge Tracts » (no 45), (lire en ligne)
- (en) Caroline Series, « The Geometry of Markoff Numbers », The Mathematical Intelligencer, (lire en ligne)
- (en) Thomas W. Cusick et Mary E. Flahive, The Markov and Lagrange Spectra, vol. 30, American Mathematical Society, , 97 p. (ISBN 978-0-8218-1531-1, lire en ligne).
- (en) John Horton Conway et Richard Guy, The Book of Numbers, Springer, pp. 188–189, .
- (en) Carlos Moreira, « Geometric properties of the Markov and Lagrange spectra », arXiv, (lire en ligne)
- (en) Sergio Ibarra et Carlos Moreira, « On the Lagrange and Markov dynamical spectra », Ergodic Theory and Dynamical Systems, vol. 37, no 5, , p. 1570–1591 (ISSN 0143-3857, DOI 10.1017/etds.2015.121, lire en ligne)
Liens externes
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Markov spectrum » (voir la liste des auteurs).
- (en) « Markov spectrum problem », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)