Gran icosidodecaedro retrorromo

Gran hexecontaedro pentagrámico
	Familia: Poliedros duales uniformes
Caras	60
Polígonos que forman las caras	60 pentagramas irregulares
Configuración de caras	V(3.3.3.3.5⁄2)/2
Aristas	150
Vértices	92
Grupo de simetría	I, [5,3]+, 532
Grupo de rotación	I, [5,3]+, 532
Poliedro dual	Gran icosidodecaedro retrorromo
Propiedades
	no convexo
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Gran icosidodecaedro retrorromo
	Familia: Poliedros uniformes estrellados
Caras	92
Polígonos que forman las caras	80 triángulos equiláteros; 12 pentagramas regulares
Aristas	150
Vértices	60
Configuración de vértices	(3.3.3.3.5⁄2)/2
Grupo de simetría	I, [5,3]+, 532
Grupo de rotación	I, [5,3]+, 532
Poliedro dual	Gran hexecontaedro pentagrámico
Símbolo de Schläfli	sr{3/2,5/3}
Símbolo de Wythoff	\| 2 3⁄2 5⁄3
Propiedades
	no convexo
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El gran icosidodecaedro retrorromo o gran icosidodecaedro retrorromo invertido es un poliedro uniforme no convexo, indexado como U₇₄. Tiene 92 caras (80 triángulos y 12 pentagramas), 150 aristas y 60 vértices.^[1] Su símbolo de Schläfli es sr{³/₂,⁵/₃}.

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas para los vértices de un gran icosidodecaedro retrorromo son todas las permutaciones pares de

(±2αあるふぁ, ±2, ±2βべーた),

(±(αあるふぁ−βべーたτたう−1/τたう), ±(αあるふぁ/τたう+βべーた−τたう), ±(−αあるふぁτたう−βべーた/τたう−1)),

(±(αあるふぁτたう−βべーた/τたう+1), ±(−αあるふぁ−βべーたτたう+1/τたう), ±(−αあるふぁ/τたう+βべーた+τたう)),

(±(αあるふぁτたう−βべーた/τたう−1), ±(αあるふぁ+βべーたτたう+1/τたう), ±(−αあるふぁ/τたう+βべーた−τたう)) and

(±(αあるふぁ−βべーたτたう+1/τたう), ±(−αあるふぁ/τたう−βべーた−τたう), ±(−αあるふぁτたう−βべーた/τたう+1)),

con un número par de signos más, donde

αあるふぁ = ξくしー−1/ξくしー

y donde

βべーた = −ξくしー/τたう+1/τたう²−1/(ξくしーτたう),

siendo τたう = (1+√5)/2 la razón áurea y ξくしー la raíz real positiva más pequeña de ξくしー³−2ξくしー=−1/τたう, es decir

\xi ={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}+{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right)\left({\frac {1}{2\tau }}-{\sqrt {{\frac {\tau ^{-2}}{4}}-{\frac {8}{27}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}{2}}

o aproximadamente 0.3264046. Al tomar las permutaciones impares de las coordenadas anteriores con un número impar de signos más se obtiene otra figura, el enantiomorfo de la primera. Al tomar las permutaciones impares con un número par de signos más o viceversa se obtienen las mismas dos figuras, rotadas 90 grados.

El circunradio para una figura de longitud de arista unitaria es

R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0.580002\dots

donde $x$ es la raíz apropiada de $x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}$ . Las cuatro raíces reales positivas de la ecuación de sexto grado en $R^{2},$

4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0

son los circunradios del dodecaedro romo (U₂₉), el gran icosidodecaedro romo (U₅₇), el gran icosidodecaedro romo invertido (U₆₉) y el gran icosidodecaedro retrorromo (U₇₄).

Gran hexecontaedro pentagrámico

El gran hexecontaedro pentagrámico (o gran ditriacontaedro dentoide) es un poliedro no convexo isoedral. Es el dual del gran icosidodecaedro retrorromo.