Radián
El radián (símbolo: ) es una unidad de la amplitud de ángulos. El radián mide el ángulo presentado como central a una circunferencia y su medida es igual a la razón entre la longitud del arco que comprende de dicha circunferencia y la longitud del radio, es decir, mide la cantidad de veces que la longitud del radio traza ese determinado arco en la circunferencia. Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con el estereorradián.[1] A partir de ese año, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en la categoría de unidades derivadas. El radián se define en el SI como una unidad adimensional con 1 = 1.[2]
Esta unidad se utiliza primordialmente en física, cálculo infinitesimal, trigonometría, goniometría, etc.
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Definición
[editar]Un radián es la unidad de medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo cuyos lados son cortados por el arco de la circunferencia, y que además dicho arco tiene una longitud igual a la del radio.[3][4]
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El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios dividida entre el radio; es decir,
De forma más general, la magnitud en radianes de un ángulo subtendido es igual al cociente entre la longitud del arco y el radio del círculo; es decir, , donde
El ángulo de rotación (360°) correspondiente a una revolución completa es la longitud de la circunferencia dividida por el radio, que es , o 2
La relación 2
Utilidad
[editar]El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de
Símbolo de la unidad
[editar]La Oficina Internacional de Pesas y Medidas[6] y la Organización Internacional de Normalización[7] especifican rad como símbolo del radián. Símbolos alternativos que estaban en uso en 1909 son c (la letra c en superíndice, por "medida circular"), la letra r, o R (la letra R en superíndice),[8] pero estas variantes se utilizan con poca frecuencia, ya que pueden confundirse con un símbolo de grado (°) o un radio (r). Así, un ángulo de 1,2 radianes se escribiría hoy como 1,2 rad; las notaciones arcaicas podrían incluir 1,2 r, 1,2 rad, 1,2c, o 1,2R.
En la escritura matemática, a menudo se omite el símbolo "rad". Cuando se cuantifica un ángulo en ausencia de cualquier símbolo, se asumen los radianes, y cuando se quiere decir grados, se utiliza el símbolo de grado. °.
Análisis dimensional
[editar]El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo, la función seno de un ángulo x expresado en radianes cumple:
Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:
donde x se expresa en radianes.
El ángulo plano se define como
Giacomo Prando afirma que "el estado actual de las cosas conduce inevitablemente a apariciones y desapariciones fantasmales del radián en el análisis dimensional de las ecuaciones físicas".[15] Por ejemplo, un objeto colgado de una cuerda de una polea subirá o bajará y = r
Al menos una docena de científicos entre 1936 y 2022 han hecho propuestas para tratar el radián como una unidad de medida base que define su propia dimensión de "ángulo". [19][20][21] La revisión de propuestas de Quincey esboza dos clases de propuestas. La primera opción cambia la unidad de un radio a metros por radián, pero esto es incompatible con el análisis dimensional para el área del círculo,
En particular, Quincey identifica la propuesta de Torrens de introducir una constante
El SI puede considerarse en relación con este marco como un sistema de unidades naturales en el que se supone que se cumple la ecuación
Una constante dimensional para el ángulo es "bastante extraña" y es probable que la dificultad de modificar las ecuaciones para añadir la constante dimensional impida su uso generalizado.[21] Definir el radián como unidad base puede ser útil para el software, donde la desventaja de ecuaciones más largas es mínima. [28] Por ejemplo, la biblioteca de unidades Boost define unidades angulares con una dimensión ángulo_plano
,[29] y el sistema de unidades de Mathematica considera de forma similar que los ángulos tienen una dimensión angular. [30][31]
Equivalencias
[editar]- La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es:
π rad = 180°. Por tanto
1 radián = 57,29577951… grados sexagesimales y
1 grado sexagesimal = 0,01745329252… radianes.
- La equivalencia entre grados centesimales y radianes es:
π rad = 200g
La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.
Grados | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
Radianes | 0 | 2 |
3 |
5 |
7 |
5 |
4 |
3 |
5 |
7 |
11 |
2 |
Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.
- El radián tiene una unidad derivada llamada radián por segundo (rad/s), que corresponde a la magnitud velocidad angular. Esta unidad tiene una equivalencia con las rpm. Las equivalencias se pueden calcular fácilmente haciendo la siguiente relación:
, que simplificada es: , o bien: .
Es decir que, para pasar una cantidad x de rpm a rad/s tenemos que multiplicarla por
Análogamente, para pasar una cantidad y de rad/s a rpm tenemos que multiplicarla por 30/
Conversiones entre grados y radianes
[editar]![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Radian-common.svg/300px-Radian-common.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9a/Degree-Radian_Conversion.svg/300px-Degree-Radian_Conversion.svg.png)
Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de ° equivale a radianes; un ángulo de ° equivale a radianes; y un ángulo de ° equivale a .
Convertir grados a radianes
Lo primero que tenemos que hacer para convertir ° a radianes es buscar ° (un grado). Sabiendo que ° = simplemente dividimos por :
Entonces nos quedaría:
Y ahora multiplicamos por :
Entonces queda resolver el lado derecho de la ecuación:
Ya en este punto, multiplicamos fracciones:
Y ya tendríamos el resultado:
Convertir de radianes a grados
Para convertir de radianes a grados, simplemente partimos de que radián es igual a , entonces, multiplicamos la medida dada en radianes por :
Entonces tenemos que el resultado es
Diferencia entre radián, gradián, y grado sexagesimal
[editar]Los tres son unidades de medida de ángulos planos, y se diferencian así:
- Radián (rad): ángulo que describe un arco cuya longitud es la del radio.
- Gradián o grado centesimal (g): ángulo que describe un arco cuya longitud es la cuadringentésima (1/400) parte de una circunferencia.
- Grado sexagesimal (°): ángulo que describe un arco cuya longitud es la tricentésima sexagésima (1/360) parte de una circunferencia.
Conversión de ángulos comunes
[editar]Unidades | Valores | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Revolución | 0 | 172 | 112 | 18 | 16 | 14 | 12 | 34 | 1 |
Grados (sexagesimales) | 0° | 5° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
Radianes | 0 rad | 3 |
2 | ||||||
𝜏72 rad | 𝜏12 rad | 𝜏8 rad | 𝜏6 rad | 𝜏4 rad | 𝜏2 rad | 3𝜏4 rad | 𝜏 rad | ||
Gradianes (grados centesimales) | 0g | 50g9 | 100g3 | 50g | 200g3 | 100g | 200g | 300g | 400g |
Véase también
[editar]Referencias
[editar]- ↑ «Resolution 8 of the CGPM at its 20th Meeting (1995)». Bureau International des Poids et Mesures. Archivado desde el original el 25 de diciembre de 2018. Consultado el 23 de septiembre de 2014.
- ↑ International Bureau of Weights and Measures, 2019, p. 151: "The CGPM decided to interpret the supplementary units in the SI, namely the radian and the steradian, as dimensionless derived units."
- ↑ «¿Qué es un radián?». 30 de octubre de 2014. Consultado el 29 de julco=Gaussianos.
- ↑ Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd edición), Reading: Addison-Wesley, p. APP-4, LCCN 76087042.
- ↑ International Bureau of Weights and Measures, 2019, p. 151.
- ↑ a b Oficina Internacional de Pesas y Medidas, 2019, p. 151.
- ↑ «ISO 80000-3:2006 Cantidades y unidades - Espacio y tiempo». 17 de enero de 2017.
- ↑ Error en la cita: Etiqueta
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- ↑ Oficina Internacional de Pesas y Medidas, 2019, p. 151: "Un radián corresponde al ángulo para el que s = r"
- ↑ Quincey, 2016, p. 844: "También, como se alude en Mohr y Phillips, 2015, el radián puede definirse en términos del área A de un sector (A = 12
θ r2), en cuyo caso tiene las unidades m2⋅m-2. " - ↑ Oficina Internacional de Pesas y Medidas, 2019, p. 151: "Un radián corresponde al ángulo para el cual s = r}, por lo tanto 1 rad = 1."
- ↑ Oficina Internacional de Pesas y Medidas, 2019, p. 137.
- ↑ Bridgman, Percy Williams (1922). org/details/dimensionalanaly00bridrich/page/n13/mode/2up Análisis dimensional. New Haven : Yale University Press. «Amplitud angular de oscilación [...] Sin dimensiones.»
- ↑ Aubrecht, Gordon J.; French, Anthony P.; Iona, Mario; Welch, Daniel W. (February 1993). «El radián-La unidad problemática». The Physics Teacher 31 (2): 84-87. Bibcode:1993PhTea..31...84A. doi:10.1119/1.2343667.
- ↑ Prando, Giacomo (August 2020). «Una unidad espectral». Nature Physics 16 (8): 888. Bibcode:.16..888P 2020NatPh. .16..888P. S2CID 225445454. doi:10.1038/s41567-020-0997-3.
- ↑ Leonard, William J. (1999). Minds-on Physics: Advanced topics in mechanics (en inglés). Kendall Hunt. p. 262. ISBN 978-0-7872-5412-4.
- ↑ French, Anthony P. (Mayo 1992). «¿Qué pasa con los 'radianes'? (comentario)». The Physics Teacher 30 (5): 260-261.
- ↑ Oberhofer, E. S. (Marzo 1992). «¿Qué pasa con los 'radianes'?». The Physics Teacher 30 (3): 170-171. Bibcode:1992PhTea..30..170O.
- ↑ Brinsmade, 1936; Romain, 1962; Eder, 1982; Torrens, 1986; Brownstein, 1997; Lévy-Leblond, 1998; Foster, 2010; Mills, 2016; Quincey, 2021; Leonard, 2021; Mohr et al., 2022
- ↑ Mohr y Phillips, 2015.
- ↑ a b c d Quincey, Paul; Brown, Richard J C (1 de junio de 2016). «Implicaciones de la adopción del ángulo plano como magnitud base en el SI». Metrologia 53 (3): 998-1002. Bibcode:2016Metro..53..998Q. S2CID 119294905. arXiv:02373 1604. 02373. doi:10.1088/0026-1394/53/3/998.
- ↑ a b Quincey, 2016.
- ↑ Otras propuestas incluyen la abreviatura "rad" (Brinsmade, 1936), la notación (Romain, 1962), y las constantes ם (Brownstein, 1997), ◁ (Lévy-Leblond, 1998), k (Foster, 2010),
θ C (Quincey, 2021), y (et al., Trott). - ↑ a b Torrens, 1986.
- ↑ Mohr et al., 2022, p. 6.
- ↑ Mohr et al., 2022, pp. 8-9.
- ↑ Quincey, 2021.
- ↑ Quincey, Paul; Brown, Richard J C (1 de agosto de 2017). «Un enfoque más claro para definir sistemas de unidades». Metrologia 54 (4): 454-460. Bibcode:.54..454Q 2017Metro. .54..454Q. S2CID 119418270. arXiv:1705.03765. doi:10.1088/1681-7575/aa7160.
- ↑ Schabel, Matthias C.; Watanabe, Steven. «Boost.Units FAQ - 1.79.0». www.boost.org. Consultado el 5 de mayo de 2022. «Los ángulos se tratan como unidades».
- ↑ Mohr et al., 2022, p. 3.
- ↑ «DimensionesUnitarias-Documentación del Lenguaje Wolfram». reference.wolfram.com. Consultado el 1 de julio de 2022.
Bibliografía
[editar]- Florian Cajori, 1929, History of Mathematical Notations, Vol. 2, pp. 147–148; Nature, 1910, Vol. 83, pp. 156, 217, y 459—460;