Radyan
Bu madde, Vikipedi biçem el kitabına uygun değildir. (Aralık 2016) |
Bu madde hiçbir kaynak içermemektedir. (Aralık 2016) (Bu şablonun nasıl ve ne zaman kaldırılması gerektiğini öğrenin) |
Radyan | |
---|---|
Birim sistemi | SI'dan türetilen birim |
Neyin birimi | Açı |
Sembol | rad, c |
Birim dönüşümleri | |
1 rad ... | ... eşittir ... |
Derece | ≈ 57,295° |
Radyan, bir dairede yarıçap uzunluğundaki yay parçasını gören merkez açıya eşit açı ölçme birimidir. 1 radyan 180
Radyan, bir açının ölçüsünü ifade etmek için kullanılan bir açı birimidir. Açının merkez açıya karşılık gelen yayının uzunluğunun, çemberin yarıçapına bölünmesiyle elde edilir.
Daha açık bir ifadeyle, çemberin merkezinden geçen iki ışın arasındaki açı, radyan cinsinden ifade edilebilir. Bu açı, çemberin merkezindeki birim uzunluklu bir yay tarafından kaplanıyorsa, açının ölçüsü 1 radyandır.
Radyan, derece gibi başka bir açı birimi alternatifi olarak kullanılabilir. Bir açının radyan cinsinden ölçümü, derece cinsinden ölçümünden farklıdır ve pi sayısı ile ilişkilidir. Tam bir daire, 2
Örneğin, yarıçap değeri 1 m, olan bir çemberde 1 m uzunlukta yayı gören merkez açı 1 radyan'dır.
Radyan, açısal ölçünün standart birimidir ve matematiğin birçok alanında kullanılır. Bir açının radyan olarak ölçümü sayısal olarak bir birim dairenin karşılık gelen bir yayının uzunluğuna eşittir, böylece bir radyan 57,3 derecenin hemen altındadır (yay uzunluğu yarıçapa eşit olduğunda). Birim daha önceden bir SI tamamlayıcı birimi idi, ama bu kategori 1995 yılında kaldırıldı ve radyan şimdi bir SI türetilmiş birimi olarak kabul edilir. Tam açı ölçümünün SI birimi steradyandır. Radyan, rad sembolü ile temsil edilir (Unicode-kodu U+33AD ㎭). Üst simge c harfi "dairesel ölçüm" için alternatif bir semboldür, ancak bu seyrek kullanılır çünkü bir derece sembolü (°) ile kolayca karıştırılabilir. Yani örneğin bir 1,2 radyan değeri 1,2 rad, 1,2rad ya da 1,2c olarak yazılabilir.
Tanım
[değiştir | kaynağı değiştir]Radyan, dairesel bir yay tarafından oluşturulan düzlem açıyı, yayın uzunluğu bölü yayın yarıçapı olarak açıklar. Bir radyan, bir dairenin yarıçapına eşit uzunlukta olan bir yayın bu dairenin merkezinde oluşturduğu açıdır. Daha genel olarak, böyle bir açının radyan cinsinden büyüklüğü yay uzunluğunun dairenin yarıçapına olan oranına eşittir. Yani
İki uzunluğun oranı itibarıyla radyan hiçbir birim sembolü gerektirmeyen bir "saf sayı"dır ve matematiksel yazıda "rad" sembolü hemen hemen her zaman ihmal edilir. Hiçbir sembol olmadığında bir açının biriminin radyan olduğu varsayılır ve derece birimi için ° sembolü kullanılır.
Tam bir devir 2
Tam bir devrin radyan cinsinden büyüklüğü (360 derece) tüm çevrenin uzunluğu bölü yarıçaptır (ya da 2
Tarihte bir açının derecesine karşı radyan ölçü kavramını 1714 yılında Roger Cotes ortaya koymuştu.[1][2] Radyanı, isim dışında her yönden açıkladı ve açısal ölçü birimi olarak doğallığını fark etti. Açıları yay uzunluğuna göre ölçme fikri diğer matematikçiler tarafından hâlihazırda kullanılıyordu. Örneğin al-Kashi (c. 1400) birim olarak çap bölümlerini kullandı, burada bir çap bölümü 1/60 radyan idi ve ayrıca çap bölümünün altmışlı kesirlik alt birimlerini de kullandılar.[3] Radyan terimi basılı bir yayında ilk olarak 5 Haziran 1873 tarihinde Queen's College, Belfast'ta James Thomson (Lord Kelvin'in kardeşi) tarafından hazırlanan sınav sorularında kullanıldı. O, bu terimi 1871'den beri kullanmaktaydı, bununla birlikte 1869 yılında, daha sonradan University of St Andrews'a giren Thomas Muir rad, radyal ve radyan terimleri arasında bocaladı. 1874 yılında Muir, James Thomson ile görüştükten sonra radyanı benimsedi. [4][5][6]
Dönüştürmeler
[değiştir | kaynağı değiştir]Radyan ile derece arasında dönüştürme
[değiştir | kaynağı değiştir]Belirtildiği gibi bir radyan 180/
:
Örneğin:
Tersi durumda, dereceden radyana dönüştürmek için
:
Örneğin:
Radyan sayısı 2
Radyandan dereceye dönüşüm türetmesi
Bir dairenin çevre uzunluğu ‘dir, burada dairenin yarıçapıdır.
Yani aşağıdaki denklik bağıntısı doğrudur:
360^\circ \iff 2\pi r [Çünkü 360 derecelik bir dönüş için tam bir daire çizmek gerekir]
Radyanın tanımına göre tam bir daire şöyle gösterilir:
Yukarıdaki bağıntılar birleştirildiğinde:
Radyan ile grad arasında dönüştürme
[değiştir | kaynağı değiştir]2
Örneğin,
Bazı yaygın açıların dönüştürülmesi
[değiştir | kaynağı değiştir]Tabloda bazı yaygın açıların dönüştürülmesi gösterilmektedir.
Birimler | Değerler | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Devir | 0 | 124 | 112 | 110 | 18 | 16 | 15 | 14 | 13 | 25 | 12 | 34 | 1 |
Radyan | 0 | 112 |
16 |
15 |
14 |
13 |
25 |
12 |
23 |
45 |
32 |
2 | |
Derece | 0° | 15° | 30° | 36° | 45° | 60° | 72° | 90° | 120° | 144° | 180° | 270° | 360° |
Grad | 0g | 1623g | 3313g | 40g | 50g | 6623g | 80g | 100g | 13313g | 160g | 200g | 300g | 400g |
Radyan olarak ölçmenin avantajları
[değiştir | kaynağı değiştir]Kalkulusta ve matematiğin pratik geometrinin ötesindeki diğer birçok dalında açılar evrensel olarak radyan cinsinden ölçülür. Bunun nedeni radyanın matematiksel bir "doğallığa" sahip olmasıdır. Bu doğallık, bir dizi önemli sonucun daha zarif bir şekilde formüle edilebilmesine olanak verir.
En dikkat çekici olan şudur ki trigonometrik fonksiyonlar içeren analizlerin sonuçları, fonksiyonların argümanları radyan cinsinden ifade edildiğinde basit ve zariftir. Örneğin radyan kullanımı,
dahil olmak üzere matematikteki birçok kimliğin temeli olan basit limit formülüne olanak verir:
Bunlar ve diğer özellikler nedeniyle, fonksiyonların geometrik anlamları ile açıkça ilgili olmayan matematiksel problemlerin çözümlerinde trigonometrik fonksiyonlar görünür.
(örneğin, diferansiyel denkleminin çözümleri , integralinin değerlendirilmesi vb.).Tüm bu durumlarda, fonksiyon argümanlarının en doğal olarak açıların radyan ölçümüne geometrik bağlamlarda karşılık gelen biçimde yazıldığı tespit edilmiştir.
Trigonometrik fonksiyonlar, radyanlar kullanıldığında ayrıca basit ve zarif dizi açılımlarına da sahiptir; örneğin sin x için aşağıdaki Taylor dizisi:
Eğer x derece olarak ifade edilseydi dizi,
Sinüs ve kosinüs fonksiyonları arasındaki matematiksel olarak önemli ilişkiler ve üstel fonksiyonlar da (örnek olarak bkz: Euler formülü) fonksiyonların argümanları radyan ise zariftir, diğer türlü ise karmaşıktır.
Boyutsal analiz
[değiştir | kaynağı değiştir]Radyan, ölçü birimi olmasına rağmen boyutsuz bir miktardır. Bu, daha önce verilen tanımda görülebilir: bir dairenin merkezinden uzanan ve radyan olarak ölçülen bir açı, kapalı yayın uzunluğunun dairenin yarıçap uzunluğuna olan oranına eşittir. Birimler birbirini götürdüğünden bu oran boyutsuzdur.
Polar ve küresel koordinatlar koordinatları iki ve üç boyutlu tanımlamak için radyanlar kullandığı halde birim, yarıçap koordinatından türetilmiştir, böylece açı ölçüsü hala boyutsuzdur.[7]
Fizikte kullanım
[değiştir | kaynağı değiştir]Radyan, açısal ölçümler gerektiğinde fizikte yaygın olarak kullanılır. Örneğin açısal hız, tipik olarak saniyede radyan (rad/s) cinsinden ölçülür. Saniyede bir devir, saniyede 2
Benzer şekilde açısal ivme çoğu zaman saniye kare başına radyan (rad/s2) cinsinden ifade edilir.
Boyutsal analiz amacıyla, birimler sırasıyla s−1 ve s−2 dir.
Aynı şekilde, iki dalganın faz farkı da radyan cinsinden ölçülebilir. Örneğin, iki dalganın faz farkı (k·2
Radyan birimlerin katları
[değiştir | kaynağı değiştir]Metrik ön eklerde radyan kullanımı sınırlıdır ve matematikte hiç yoktur. bir mili-radyan (mrad) bir radyanın binde biridir ve bir mikroradyan (urad ya da
Mikroradyan (
Kaynakça
[değiştir | kaynağı değiştir]Dış bağlantılar
[değiştir | kaynağı değiştir]Vikisözlük'te radyan ile ilgili tanım bulabilirsiniz. |
- Radian12 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at MathWorld