Paralelo (geometria)

Bi dimentsioko geometrian, bi zuzen paraleloak dira elkar ebakitzen ez badute.

Hiru dimentsioko espazio euklidearrean, bi planok ez badute punturik partekatzen, paraleloak direla esaten da. Hiru dimentsioko espazioan elkartzen ez diren bi zuzenek, paralelo izatekotan, plano berean egon behar dute.

Zuzen paraleloak

Definizioa

Paralelismoa, geometrian, dimentsio bateko edo gehiagoko edozein aldaera linealen (zuzenen, planoen, hiperplanoen, eta abarren) artean eginiko erlazioa da.

Plano kartesiarrean bi zuzen paraleloak dira, baldin eta malda bera badute edo ardatzarekiko perpendikularrak badira; adibidez, funtzio konstantea.

Geometria afinean, aldaera lineal bat V = p + E moduan adieraz dezakegu, non p eta E, hurrenez hurren, puntua eta espazio bektoriala baitira, esaten da A = a + F eta B = b + G paraleloak direla, F eta G Eren azpiespazio bektorialak izanda, baldin eta soilik baldin F Gn badago edo G Fn badago, A eta B Vren azpialdaerak izanik.

Plano afinean $(V=\mathbb {R} ^{2})$ , bektore gidatzaile bera duten bi zuzen dira paraleloak.

Beha dezagun orain hiru dimentsioko espazio afin batean zuzen bat eta plano bat paraleloak izan daitezkeela. Horrela, plano batean dauden bi zuzen paraleloak dira baldin eta zuzen berdinak badira edo ez badute punturik partekatzen, eta era berean, espazioan bi plano paraleloak dira baldin eta bi planoak berdinak badira edo ez badute zuzenik partekatzen.

Bakartasun-axioma

Geometria euklidearra beste geometria batzuetatik desberdintzen duen axiomak honela dio:

Plano batean zuzen batetik kanpo dagoen puntu bakoitzetik zuzen paralelo bakarra pasatzen da.

Propietateak

P multzoa, hau da, planoan dauden zuzenen multzoa emanda honako erlazio bitarra definitu dezakegu: $a\parallel b$ . Honek esan nahi du a b-ren paraleloa dela.

a, b eta c P planoko zuzenak izanda, hurrengo propietateak betetzen dira:

Bihurkorra: edozein zuzen bere buruarekiko paraleloa da:

$\forall a\in P:\quad a\parallel a$

Simetrikoa: zuzen bat beste batekiko paraleloa bada,alderantzizkoa ere betetzen da: $\forall a,b\in P:\quad a\parallel b\longrightarrow \quad b\parallel a$

Iragankorra: zuzen bat beste zuzen baten paralelo bada eta bigarren zuzen hori beste zuzen baten paralelo bada, orduan lehenengo zuzena hirugarren zuzenaren paralelo da:

$\forall a,b,c\in P:\quad {\Big (}\;a\parallel b\;\land \;b\parallel c\;{\Big )}\longrightarrow \quad a\parallel c$

Beraz, planoetako zuzenen arteko paralelismoa baliokidetasun-erlazio bat da.

Espazioko plano paraleloen multzoetan froga daitezke aipaturiko propietate hauek.

Oharra: Bihurkor eta simetriko propietateak multzoen ebakiduraren ondorio dira, eta ez daude bakartasunaren axiomaren menpe.

Teoremak

Planoan bi zuzen perpendikularrak badira beste zuzen batekiko, bi zuzen horiek paraleloak dira elkarren artean.
Plano batean zuzen batek beste zuzen bat ebakitzen badu, orduan bigarren zuzenarekiko paraleloak diren zuzen guztiak ebakitzen ditu.

Bi teorema hauetako propietateak eta propietate iragankorraren frogapenak bakartasunaren axioma erabiltzen dute.

Historia

Plano berean zehar inoiz elkartzen ez diren bi lerro paraleloak direlako definizioa Euclid's Elements liburuan agertzen da, liburuaren 23. definizioan, hain zuzen. Greziarrek beste definizio desberdin batzuei buruz egin zuten eztabaida, gehienak Euklidesen bostgarren postulatua azaltzen saiatzeko. Proklosek Posidoniori esleitzen dio lerro paraleloak lerro distantziakideak direla esaten duen definizioa. Sinplizio Ziliziakoak ere Posidoniusen lerro paraleloen definizioa aipatzen du, baita Aganisek definizio horretan egindako aldaketak ere.

XIX. mendearen amaieran, artean ere erabiltzen zen, Ingalaterrako bigarren ikastaroan, Euclid's Elements liburua ikasliburu gisa. Geometria proiektiboaren eta geometria ez-euklidearraren eremuetan egindako aurrerapenei esker, geometriari buruzko testu berriak idatzi ahal izan ziren, eta geometriari buruzko ordura arteko testuliburuen ordez erabiltzen hasi ziren. Testu berriek aurreko testuliburuekiko duten ezberdintasunik handiena lerro paraleloen definizioari dagokio; aldaketa honekin batera, hainbat kritika heldu ziren. Kritika horien artean, beharbada, gogorretako bat Charles Dodgson-ek (Lewis Carrol ezizenez ezagutua bera) idatzitako antzerki-lanean jasotzen da (Euclid and His Modern).

Terminoak eraldatu zituen lehenengo liburuetako bat James Maurice Wilsonek 1868an idatzitako Elementary Geometry liburua izan zen, norabidearen kontzeptu primitiboan oinarrituta. Wilhelm Killingren arabera, Wilsonek erabilitako ideia hori Leibnizek erabilitakoaren jarraipena zen. Wilson-ek norabide terminoa, nahiz eta definitu gabe, beste kontzeptu batzuk azaltzeko erabili zuen; adibidez, honako hau: "Elkar ebakitzen duten bi lerro norabide desberdinak dituzte eta norabide-desberdintasun horri bi lerroen arteko angeluari deritzo." Wilson-ek, hamabostgarren definizioan, lerro paraleloaren kontzeptua azaldu zuen; honela: "Norabide bera duten, baina lerro beraren gainean ez dauden bi lerro paraleloak dira". Augustus De Morganek aurreko definizioa aztertu eta akatsak zituela adierazi zuen. Akats horien artean, definizioaren oinarria eta definizio beraren erabilera daude. Dodgsonek ere gaitzetsi zuen Wilsonek erabilitako definizioa. Wilsonek bere lerro paraleloen definizioa aldatu zuen bere liburuaren hirugarren argitaralditik aurrera.

Beste erreformatzaile batzuk ere saiatu ziren paralelo kontzeptu horri buruzko definizio bat ematen, baina definizio horiek ez zuten funtzionatu. Zailtasun handiena zen, Dodgsonek adierazi zuen moduan, definizioa erabiltzeko beste axioma batzuk gehitu beharra zegoela. Posidoniusek lerro distantziakideei buruz emandako definizioak, Francis Cuthbertsonek bere Euclidean Geometry liburuan (1874) erabiliak, arazo bat zuten; izan ere, lerro zuzenetik distantzia finko batera dauden puntuak lerro bat balira azaldu behar dira. Arazo hori ezin zen frogatu, eta egia balitz bezala onartu behar zen.

Paralelismo euklidearra

Bi zuzen

Bi dimentsiotan (Planoan)

Izan bitez bi zuzen paralelo, $l$ eta $m$ , espazio euklidearrean. Orduan, honako propietateak baliokideak dira:

$m$ zuzeneko edozein puntu $l$ zuzenarekiko distantzia berdinera (minimora) dago (lerro distantziakideak).
$m$ zuzena $l$ zuzenaren plano berean dago, baina ez du $l$ ebakitzen (gogoratu zuzenak infinitura luzatzen direla).
$m$ eta $l$ zuzenak beste hirugarren zuzen batek (zeharkakoa) plano berean ebakitzen baditu, ebakidura-angelu korrespondenteak kongruenteak dira zeharkako zuzenarekin.

Propietate baliokideak direnez, horietako edozein har daiteke definizio moduan espazio euklidearrean, baina lehenengo eta hirugarren propietateek neurriaren teoria erabiltzen dutenez, korapilatsuagoak dira bigarrena baino. Horregatik, bigarrena da aukerarik ohikoena paralelotasuna definitzeko espazio euklidearrean^[1]. Beste propietateak Euklidesen paraleloen postulatuaren ondorioak dira.

Hiru dimentsiotan (Espazioan)

Hiru dimentsioko espazioan elkar ebakitzen duten bi zuzen ez dira zertan paraleloak izan. Baldin eta soilik baldin plano berean badaude dei daitezke paralelo; beste edozein kasutan zuzenak gurutzatzen direla esaten da.

Hiru dimentsioko espazioan bi zuzen ezberdin, $l$ eta $m$ , paraleloak dira baldin eta soilik baldin $m$ zuzeneko $p$ puntutik $l$ zuzeneko gertueneko punturaino den distantzia $p$ puntuaren hautapenarekiko independentea baldin bada. Hori ez da inoiz gertatzen gurutzatzen diren zuzenetan.

Zuzen bat eta plano bat

Izan bitez $m$ zuzena eta $q$ planoa hiru dimentsioko espazioan; orduan, zuzen hori ez dago planoan baldin eta soilik baldin ez badute elkar ebakitzen.

Definizio horren baliokidea da honako hau: zuzen bat eta plano bat paraleloak dira baldin eta soilik baldin $m$ zuzeneko $p$ puntutik $q$ planoan gertuen dagoen punturainoko distantzia $p$ puntuaren hautapenarekiko independentea baldin bada.

Bi plano

Bi zuzen paralelok plano berean egon behar duten bezala, bi plano paralelok hiru dimentsioko espazio berean egon behar dute eta ezin dute puntu komunik eduki.

Izan bitez bi plano ezberdin, $q$ eta $r$ , hiru dimentsioko espazioan; orduan, paraleloak dira baldin eta soilik baldin $q$ planoko $p$ puntutik $r$ planoan gertueneko dagoen punturainoko distantzia $p$ puntuaren hautapenarekiko independentea baldin bada. Hau ez da inoiz gertatzen bi planoak hiru dimentsioko espazio berean ez badaude.

Geometria ez-euklidearrerako luzapena

Geometria ez-euklidearrean, ohikoagoa da geodesikoei buruz hitz egitea zuzenei baino. Edozein geometriatan, geodesia bat bi punturen arteko bide laburrena da. Geometria ez-euklidearrean (geometria eliptikoan edo hiperbolikoan) gorago aipatutako hiru propietateak ez dira baliokideak, eta bigarrena soilik da baliagarria, geometria ez-euklidearrean ez baitu neurririk erabiltzen. Ohiko geometrian hiru propietateek hiru kurba ezberdin definitzen dituzte: kurba distantziakideak, geodesia paraleloak eta geodesia perpendikular komun bat partekatzen dutenak.

Geometria hiperbolikoa

Esferaren zenbait geodesia eta kurba paralelo.

Geometria euklidearrean, bi geodesiak edo elkar ebakitzen dute, edo paraleloak dira. Geometria hiperbolikoan, bi geodesia plano berean izan daitezke:

Ebakitzaileak: planoko puntu batean elkar ebakitzen badute.
Paraleloak: ez badute puntu batean elkar ebakitzen, baina infinituko puntu batean (puntu ideala) bat egiten badute.
Ultraparaleloak: ez badute infinituko punturik partekatzen.

Literaturan, geodesiko ultraparaleloak ez-ebakiak izenez ezagutzen dira. Infinituan elkar ebakitzen duten geodesikoaei limite paralelo deritze.

Zuzen ultraparaleloek perpendikular bakarra dute komun (ultraparaleloen teorema) eta perpendikular horren bi aldeetan dibergitzen dute.

Geometria esferikoa edo eliptikoa

Geometria esferikoan, geodesia guztiak zirkulu nagusiak dira. Zirkulu nagusiek esfera bi hemisferio berdinetan banatzen dute, eta zirkulu nagusi guztiek elkar ebakitzen dute. Horregatik, geodesia bat emanda, ez dago beste geodesiarik non biak paraleloak diren. Kurba distantziakideei latitudeko paralelo deritze; latitudearen analogoak dira.