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Tangentea (laburtuta tan edo tg ) aurkako katetoaren eta ondoko katetoaren arteko arrazoia da.
tg
α あるふぁ
=
C
B
¯
A
C
¯
=
a
b
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AC}}}={\frac {a}{b}}}
Arrazoi honen tamainak ez du zerikusirik aukeratuta triangeluaren tamainarekin, baizik eta angeluaren balioarekin.
Regiomontano izan zen, ziurrenik, Europan trigonometria matematikako adar ezberdindu gisa landu zuen lehenengoa. De triangulis omnimodis lanean, 1464koa , eta Tabluae directionum en, beranduago, funtzio tangentea aipatzen zuen, nahiz eta izenik ez zion eman[ 1] .
Identitate trigonometriko hau bi angeluren batuketaren identitatetik abiatzen da, dagoeneko sinu eta kosinuarentzat ezagutzen dena.
ϕ
,
θ しーた
{\displaystyle \phi ,\theta \ }
angeluak izanda:
tg
(
ϕ
+
θ しーた
)
=
sen
(
ϕ
+
θ しーた
)
cos
(
ϕ
+
θ しーた
)
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen}(\phi +\theta )}{\cos(\phi +\theta )}}}
Lehengo identitateengatik ordezkatuta:
tg
(
ϕ
+
θ しーた
)
=
sen
ϕ
cos
θ しーた
+
cos
ϕ
sen
θ しーた
cos
ϕ
cos
θ しーた
−
sen
ϕ
sen
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen} \phi \cos \theta +\cos \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta -\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta }}}
Zatikiaren aldeak ebatziz
cos
ϕ
cos
θ しーた
{\displaystyle \cos \phi \cos \theta \,}
:
tg
(
ϕ
+
θ しーた
)
=
sen
ϕ
cos
θ しーた
+
cos
ϕ
sen
θ しーた
cos
ϕ
cos
θ しーた
cos
ϕ
cos
θ しーた
−
sen
ϕ
sen
θ しーた
cos
ϕ
cos
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\cfrac {\operatorname {sen} \phi \cos \theta +\cos \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}{\cfrac {\cos \phi \cos \theta -\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}}
tg
(
ϕ
+
(
−
θ しーた
)
)
=
tg
ϕ
+
tg
(
−
θ しーた
)
1
−
tg
ϕ
tg
(
−
θ しーた
)
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\phi +(-\theta )\right)={\frac {\operatorname {tg} \phi +\operatorname {tg} (-\theta )}{1-\operatorname {tg} \phi \operatorname {tg} (-\theta )}}}
tg
(
ϕ
−
θ しーた
)
=
tg
ϕ
−
tg
θ しーた
1
+
tg
ϕ
tg
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\phi -\theta \right)={\frac {\operatorname {tg} \phi -\operatorname {tg} \theta }{1+\operatorname {tg} \phi \operatorname {tg} \theta }}}
tg
(
ϕ
±
θ しーた
)
=
tg
ϕ
±
tg
θ しーた
1
∓
tg
ϕ
tg
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\phi \pm \theta \right)={\frac {\operatorname {tg} \phi \pm \operatorname {tg} \theta }{1\mp \operatorname {tg} \phi \operatorname {tg} \theta }}}
Hemendik abiatuz
tg
(
ϕ
+
θ しーた
)
=
tg
ϕ
+
tg
θ しーた
1
−
tg
ϕ
tg
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\phi +\theta \right)={\frac {\operatorname {tg} \phi +\operatorname {tg} \theta }{1-\operatorname {tg} \phi \operatorname {tg} \theta }}}
eta
ϕ
=
θ しーた
{\displaystyle \phi =\theta \,}
eginez, orduan:
tg
(
2
ϕ
)
=
2
tg
ϕ
1
−
tg
2
ϕ
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(2\phi \right)={\frac {2\operatorname {tg} \phi }{1-\operatorname {tg} ^{2}\phi }}}
ψ ぷさい angeluaren tangentea ezagututa, 3ψ ぷさい tangentea aurkitu:
tg
(
3
ψ ぷさい
)
=
3
tg
ψ ぷさい
−
tg
3
ψ ぷさい
1
−
3
tg
2
ψ ぷさい
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(3\psi \right)={\frac {3\operatorname {tg} \psi -\operatorname {tg} ^{3}\psi }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\psi }}}
θ しーた angeluaren erdiaren tangentea aurkitu:
tg
θ しーた
2
=
sen
θ しーた
1
+
cos
θ しーた
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1+\cos \theta }}}
[ 2]
Tangentearen deribatua honela kalkulatzen da:
[
tg
(
x
)
]
′
=
sec
2
(
x
)
{\displaystyle [\operatorname {tg} (x)]'=\sec ^{2}(x)\,}