Tangens

Tangens
Basegenskaper
Paritet	Udda
Definitionsmängd	x ≠ (k + ½)πぱい, k∈ℤ
Värdemängd	(−∞,∞)
Period	πぱい
Särskilda värden
Maxima	∞ (ingen)
Minima	–∞ (ingen)
Särskilda egenskaper
Kritisk punkt	Ingen
Inflexionspunkt	kπぱい, k∈ℤ
Fixpunkt	0

Tangens (tan, ibland tg) är en trigonometrisk funktion och definieras som

$\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

Alternativt kan tangens definieras med hjälp av en rätvinklig triangel

med vinkeln αあるふぁ mellan en katet och hypotenusan. Tangens för αあるふぁ är förhållandet mellan längden av motstående katet och längden av närstående katet:

$\tan \alpha ={\frac {a}{b}}$

Om z är komplext gäller

$\tan z={\cfrac {e^{-\mathrm {i} z}-e^{\mathrm {i} z}}{\mathrm {i} (e^{-\mathrm {i} z}+e^{\mathrm {i} z})}}$

Tangensfunktionen definieras också av serieutvecklingen

$\tan x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ;\,\,|x|<{\frac {\pi }{2}}$

Egenskaper

Samband mellan vinklar

$\tan(\alpha +\beta )={\cfrac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

$\tan(\alpha -\beta )={\cfrac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$

$\tan(2\alpha )={\cfrac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

$\tan {\cfrac {\alpha }{2}}={\cfrac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }}$

$\tan(\alpha +\beta +\gamma )={\cfrac {\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \,\tan \beta \,\tan \gamma }{1-\tan \beta \,\tan \gamma -\tan \gamma \,\tan \alpha -\tan \alpha \,\tan \beta }}$

$\tan \left(\sum _{1}^{N}=i\,\theta _{n}\right)={\cfrac {\prod _{n=1}^{N}(1-i\tan \theta _{n})-\prod _{n=1}^{N}(1+i\tan \theta _{n})}{\prod _{n=1}^{N}(1+i\tan \theta _{n})+(\prod _{n=1}^{N}(1-i\tan \theta _{n})}}$

Derivata

${\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x={\cfrac {2}{\cos 2x+1}}$

Integral

$\int \tan x\,dx=-\ln \cos x+C$

Se även

• Tangenssatsen
• Trigonometriska identiteter