در حسابان بردارها گرادیان (به فرانسوی : Gradient ) یک میدان نردهای ، میدانی برداری است که مؤلفههای آن نرخ تغییر میدان نخستین را در جهتهای مختلف نشان میدهد. جهت خود میدان برداری گرادیان جهت بیشینهٔ تغییرات است.
به تعبیر دیگر برداری که اندازه و جهت حداکثر نرخ فضائی تغییر یک کمیت عددی را نمایش میدهد، گرادیان آن کمیت عددی تعریف میکنیم.
∇
f
=
(
∂
f
∂
x
1
,
…
,
∂
f
∂
x
n
)
{\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}
در حالت خاص برای اسکالر
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
، گرادیان f در دستگاه کارتزین به صورت زیر نوشته میشود:
grad
f
=
∂
f
∂
x
i
+
∂
f
∂
y
j
+
∂
f
∂
z
k
=
∇
f
{\displaystyle {\mbox{grad}}\,f={\partial f \over \partial x}\mathbf {i} +{\partial f \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial f \over \partial z}\mathbf {k} =\nabla f}
∇
ϕ
{\displaystyle \nabla \phi }
برداری است در جهت بیشینه آهنگ تغییر فضایی
ϕ
{\displaystyle \phi }
و همواره بر سطح
ϕ
=
c
t
e
{\displaystyle \phi =cte}
عمود است؛ مثلاً گرادیان سرعت برابر نیروی محرکه است.
در دستگاه مختصات مختلف[ ویرایش ]
در دستگاه مختصات دکارتی (کارتزین) گرادیان برابر است با:
∇
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
∂
f
∂
x
,
∂
f
∂
y
,
∂
f
∂
z
)
{\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}
و در دستگاه مختصات استوانهای :
∇
f
(
ρ ろー
,
θ しーた
,
z
)
=
(
∂
f
∂
ρ ろー
,
1
ρ ろー
∂
f
∂
θ しーた
,
∂
f
∂
z
)
{\displaystyle \nabla f(\rho ,\theta ,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial \rho }},{{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}
و در دستگاه مختصات کروی عبارت است از:
∇
f
(
r
,
θ しーた
,
ϕ
)
=
(
∂
f
∂
r
,
1
r
∂
f
∂
θ しーた
,
1
r
sin
θ しーた
∂
f
∂
ϕ
)
{\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\phi )={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial r}},{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}\end{pmatrix}}}
اگر
f
{\displaystyle f}
و
g
{\displaystyle g}
دو اسکالر باشند، آنگاه گرادیان
f
g
{\displaystyle fg}
برابر است با:
∇
(
f
g
)
=
f
∇
g
+
g
∇
f
{\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}
و اگر
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
و
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
دو تابع برداری باشند، گرادیان
u
→
⋅
v
→
{\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}
∇
(
u
→
⋅
v
→
)
=
(
u
→
⋅
∇
)
v
→
+
(
v
→
⋅
∇
)
u
→
+
u
→
×
(
∇
×
v
→
)
+
v
→
×
(
∇
×
u
→
)
{\displaystyle \nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}+{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})}
به عنوان مثال :
گرادیان
f
(
x
,
y
,
z
)
=
2
x
+
3
y
2
−
sin
(
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)}
برابر است با:
∇
f
=
(
∂
f
∂
x
,
∂
f
∂
y
,
∂
f
∂
z
)
=
(
2
,
6
y
,
−
cos
(
z
)
)
{\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}}
جورج براون آرفکن، روشهای ریاضی در فیزیک ، ترجمهٔ اعظم پورقاضی، مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۹۱۴-۲
Optimization computes maxima and minima.