Hermiten polynomi

Hermiten polynomit ovat joukko ortogonaalisia polynomeja. Käytännön sovelluksissa niihin törmää esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa ja kvanttimekaniikassa. Hermiten polynomien määrittely eroaa hiukan riippuen siitä, onko materiaalin kirjoittaja tottunut matematiikassa vai fysiikassa käytettyyn esitysmuotoon. Tässä esitetty käsittely vastaa fyysikoiden käyttämää muotoilua. Nämä saadaan muutettua "matemaatikkomuotoon" melko yksinkertaisesti. Polynomit on nimetty ranskalaisen matemaatikon, Charles Hermiten mukaan.

Hermiten polynomeja saadaan Hermiten differentiaaliyhtälön

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+2ny=0$

ratkaisuna, kun yhtälön ratkaisuun käytetty sarjakehitelmä katkeaa $n$:nnen kertaluvun termin jälkeen. Viisi ensimmäistä Hermiten polynomia ovat

$H_{0}(x)=1\,$

$H_{1}(x)=2x\,$

$H_{2}(x)=4x^{2}-2\,$

$H_{3}(x)=8x^{3}-12x\,$

$H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\,$

Polynomien matemaatikko- ja fyysikkomuotojen välillä on yhteys

$H_{n}^{\mathrm {fys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {mat} }({\sqrt {2}}\,x)\,$.

Hermiten polynomit ovat ortogonaalisia yli koko reaalilukusuoran, sillä kahden polynomin funktiolla $e^{-x^{2}}$ painotettu sisätulo on nolla eli

$\langle H_{n},H_{m}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{m}(x)dx=0$

aina kun $n\neq m$. Hermiten polynomit voidaan laskea Rodriguesin kaavasta

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}$

tai helpommin rekursiokaavalla

$H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)\,$.

Hermiten polynomien generoiva funktio on

$e^{2tx-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)t^{n}}{n!}}$.

Tätä on kätevää käyttää monien polynomien ominaisuuksien todistamisessa. Koska Hermiten polynomit ovat ortogonaalisia, niitä voidaan käyttää funktioavaruuden kantana ja näin muodostaa muille funktioille sarjakehitelmiä. Funktio $f(x)$ voidaan lausua Hermiten polynomikannassa

$f(x)=c_{0}H_{0}(x)+c_{1}H_{1}(x)+c_{2}H_{2}(x)+\ldots$,

missä kertoimet $c_{k}$ saadaan laskemalla integraali

$c_{k}={\frac {1}{2^{k}k!{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}f(x)H_{k}(x)$

Hermiten funktiot

Kvanttimekaanisen harmonisen oskillaattorin ominaistilat $n=0...5$ ovat Hermiten funktioita.

Hermiten polynomien ("fyysikkomuoto") avulla saadaan joukko uusia funktioita

$\psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}e^{-x^{2}}H_{n}(x)$.

Näitä kutsutaan Hermiten funktioiksi. Ne ovat ortogonaalisia välillä $[-\infty ,\infty ]$, sillä

$\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)dx=\delta _{nm}$,

missä $\delta _{nm}$ on Kroneckerin delta. Hermiten funktiot ovat tärkeitä kvanttimekaniikassa, sillä ne toteuttavat differentiaaliyhtälön

$\psi _{n}''(x)+(2n+1-x^{2})\psi _{n}(x)=0\,$,

mikä vastaa Schrödingerin yhtälöä (yksiulotteisen) harmonisen oskillaattorin tapauksessa eli ne vastaavat hiukkasen energian ominaistiloja ja sitä kautta ovat hiukkasen aaltofunktioita.

Hermiten funktiot ovat myös (jatkuvan) Fourier'n muunnoksen ominaisfunktioita.

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Johdatus funktionaalianalyysiin. (Moniste 95) Tampere: TTKK, 1983. ISBN 951-720-831-6