Matemaattisessa tilastotieteessä pistemääräfunktioksi kutsutaan uskottavuusfunktion
L
(
θ しーた
;
X
)
{\displaystyle L(\theta ;X)}
logaritmin derivaattaa. Pistemääräfunktio ilmaisee uskottavuusfunktion riippuvuutta parametrista
θ しーた
{\displaystyle \theta }
.
Ratkaisemalla pistemääräfunktion nollakohta voidaan laskea parametrin
θ しーた
{\displaystyle \theta }
suurimman uskottavuuden estimaatti .
Olkoon otos
X
{\displaystyle X}
ja sen uskottavuusfunktio
L
(
θ しーた
;
X
)
{\displaystyle L(\theta ;X)}
. Tällöin pistemääräfunktio
V
{\displaystyle V}
voidaan löytää ketjusäännön avulla:
V
≡
V
(
θ しーた
,
X
)
=
∂
∂
θ しーた
log
L
(
θ しーた
;
X
)
=
1
L
(
θ しーた
;
X
)
∂
L
(
θ しーた
;
X
)
∂
θ しーた
.
{\displaystyle V\equiv V(\theta ,X)={\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)={\frac {1}{L(\theta ;X)}}{\frac {\partial L(\theta ;X)}{\partial \theta }}.}
Pistemääräfunktion
V
{\displaystyle V}
odotusarvo havainnoilla
x
{\displaystyle x}
, parametrilla
θ しーた
{\displaystyle \theta }
on nolla. Tämä voidaan havaita kirjoittamalla uskottavuusfunktio
L
(
θ しーた
;
x
)
=
f
(
x
;
θ しーた
)
{\displaystyle L(\theta ;x)=f(x;\theta )}
tiheysfunktiona,
E
(
V
|
θ しーた
)
=
∫
x
=
−
∞
+
∞
(
∂
∂
θ しーた
log
f
(
x
;
θ しーた
)
)
f
(
x
;
θ しーた
)
d
x
=
∫
x
=
−
∞
+
∞
∂
f
(
x
;
θ しーた
)
∂
θ しーた
f
(
x
;
θ しーた
)
f
(
x
;
θ しーた
)
d
x
{\displaystyle \mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(x;\theta )\right)f(x;\theta )dx=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}{f(x;\theta )}}f(x;\theta )dx}
mikäli oletetaan että derivoinnin ja integroinnin järjestys voidaan vaihtaa (katso Leibnizin integraalisääntö ), niin integraali voidaan yksinkertaistaa muotoon:
E
(
V
|
θ しーた
)
=
∫
x
=
−
∞
+
∞
∂
f
(
x
;
θ しーた
)
∂
θ しーた
d
x
=
∂
∂
θ しーた
∫
x
=
−
∞
+
∞
f
(
x
;
θ しーた
)
d
x
=
∂
∂
θ しーた
1
=
0.
{\displaystyle \mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{x=-\infty }^{+\infty }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}1=0.}
Pistemääräfunktion varianssia kutsutaan Fisher-informaatioksi ja sitä merkitään
I
(
θ しーた
)
{\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )}
. Koska pistemääräfunktion odotusarvo on nolla, voidaan Fisher-informaatio esittää muodossa:
I
(
θ しーた
)
=
E
{
[
∂
∂
θ しーた
log
L
(
θ しーた
;
X
)
]
2
|
θ しーた
}
.
{\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\mathbb {E} \left\{\left.\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)\right]^{2}\right|\theta \right\}.}
Cox, D.R., Hinkley, D.V. (1974) Theoretical Statistics , Chapman & Hall. ISBN 0-412-12420-3
Schervish, Mark J. (1995). Theory of Statistics . New York: Springer, kappale 2.3.1. ISBN 0-387-94546-6 .