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In statistica, il termine score indica il gradiente (il vettore delle derivate parziali) del logaritmo della funzione di verosimiglianza.
In termini formali, data l'osservazione
con funzione di verosimiglianza
, lo score
è dato da:
![{\displaystyle V={\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)={\frac {1}{L(\theta ;X)}}{\frac {\partial L(\theta ;X)}{\partial \theta }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3a312141f0ac5d3362f934040a5e9ccfb1cfca)
è una funzione di
(i parametri da stimare) e
(le osservazioni).
Sotto alcune condizioni di regolarità, il valore atteso di
rispetto all'osservazione x condizionato a
, ovvero
, è nullo.
Riscrivendo la funzione di veromiglianza come funzione di densità (
), si ha infatti:
![{\displaystyle \mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\log f(x;\theta )\right)f(x;\theta )dx=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}{f(x;\theta )}}f(x;\theta )dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af711ca77b37c5ed35d038784e894e8b0b7d4b27)
da cui, semplificando otteniamo:
![{\displaystyle \mathbb {E} (V|\theta )=\int _{x=-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{x=-\infty }^{+\infty }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa8183090c0efa74daa83187c440ec2b58a89edd)
La varianza dello score è l'informazione di Fisher:
.
Poiché il valore atteso dello score è nullo, la varianza dello score è data da:
![{\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=\mathbb {E} \left\{\left.\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\log L(\theta ;X)\right]^{2}\right|\theta \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287165d625687ca77c4ac00bdd234649fdc1138f)