« Constante de Gelfond-Schneider » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique

Contenu supprimé Contenu ajouté

Intégrés

Dernière version du 11 janvier 2021 à 09:14

La constante de Gelfond-Schneider, mentionnée par David Hilbert comme exemple (avec la constante de Gelfond) dans son 7^e problème^[1], est :

2^{\sqrt {2}}=2{,}665144142\ldots

^[2].

Rodion Kuzmin prouva en 1930^[3] que ce nombre — et plus généralement, tout nombre de la forme $α あるふぁ$ ^βべーた avec $α あるふぁ$ algébrique différent de 0 et de 1 et $β べーた$ irrationnel quadratique — est transcendant, et Aleksandr Gelfond généralisa ce résultat en 1934, en démontrant le théorème de Gelfond-Schneider.

Sa racine carrée est le nombre transcendant

{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1{,}6325269\ldots

qui peut être utilisé dans une preuve qu'une puissance irrationnelle d'un nombre irrationnel peut parfois être rationnelle, parce que (√2^√2)^√2 = 2 (en utilisant le tiers exclu, on peut aboutir à la même conclusion sans savoir que √2^√2 est irrationnel).

Références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Eric W. Weisstein, « Gelfond-Schneider Constant », sur MathWorld.
↑ Suite A007507 de l'OEIS.
↑ (ru) R. Kuzĭmin, « Об одном новом классе трансцендентных чисел » [« Sur une nouvelle classe de nombres transcendants »], Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. VII (en), n^o 6,‎ 1930, p. 585-597 (lire en ligne).

Arithmétique et théorie des nombres

[1] (en) Eric W. Weisstein, « Gelfond-Schneider Constant », sur MathWorld.

[2] Suite A007507 de l'OEIS.

[3] (ru) R. Kuzĭmin, « Об одном новом классе трансцендентных чисел » [« Sur une nouvelle classe de nombres transcendants »], Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. VII (en), n^o 6,‎ 1930, p. 585-597 (lire en ligne).

[1]

[2]

[3]

@@ Ligne 1 : / Ligne 1 : @@
+{{Voir homonymes|Gelfond}}
-La '''constante de Gelfond-Schneider''' est :
+La '''constante de Gelfond-Schneider''', mentionnée par [[David Hilbert]] comme exemple (avec la [[constante de Gelfond]]) dans [[Septième problème de Hilbert|son {{7e}} problème]]<ref>{{MathWorld|nom_url=Gelfond-SchneiderConstant|titre=Gelfond-Schneider Constant}}.</ref>, est :
-:<math>2^{\sqrt{2}} = 2,665144142\ldots~.</math>
+:<math>2^\sqrt2=2{,}665144142\ldots</math><ref>Suite {{OEIS2C|id=A007507}} de l'[[OEIS]].</ref>.
-{{Lien|Rodion Kuzmin}} prouva en 1930 que ce nombre est [[Nombre transcendant|transcendant]] et [[Aleksandr Gelfond]] généralisa ce résultat en 1934, en démontrant le [[théorème de Gelfond-Schneider]].
+[[Rodion Kuzmin]] prouva en 1930<ref>{{Article|lang=ru|auteur=R. Kuzĭmin|date=1930|traduction titre=Sur une nouvelle classe de nombres transcendants|titre=Об одном новом классе трансцендентных чисел|revue={{Lien|Izvestiya: Mathematics|texte=Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. VII}}|numéro=6|p.=585-597|url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=5316&option_lang=eng}}.</ref> que ce nombre — et plus généralement, tout nombre de la forme {{math|αあるふぁ}}{{exp|βべーた}} avec {{math|αあるふぁ}} [[nombre algébrique|algébrique]] différent de 0 et de 1 et {{math|βべーた}} [[irrationnel quadratique]] — est [[Nombre transcendant|transcendant]], et [[Aleksandr Gelfond]] généralisa ce résultat en 1934, en démontrant le [[théorème de Gelfond-Schneider]].
 Sa [[racine carrée]] est le nombre transcendant
-:<math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}=1,6325269\ldots</math>
+:<math>\sqrt2^\sqrt2=1{,}6325269\ldots</math>
-qui peut être utilisé dans une [[Logique intuitionniste#Approche informelle|preuve qu'une puissance irrationnelle d'un nombre irrationnel peut parfois être rationnelle]], parce que ({{sqrt|2}}<sup>{{sqrt|2}}</sup>)<sup>{{sqrt|2}}</sup> = 2.
+qui peut être utilisé dans une preuve qu'une puissance irrationnelle d'un nombre irrationnel peut parfois être rationnelle, parce que ({{sqrt|2}}<sup>{{sqrt|2}}</sup>)<sup>{{sqrt|2}}</sup> = 2 ([[Principe du tiers exclu#Un deuxième exemple|en utilisant le tiers exclu, on peut aboutir à la même conclusion]] sans savoir que {{sqrt|2}}<sup>{{sqrt|2}}</sup> est irrationnel).
+== Références ==
+{{Références}}
 {{Portail|nombre}}