Nombre dual
En mathématiques et en algèbre abstraite, les nombres duaux sont une algèbre associative unitaire commutative à deux dimensions sur les nombres réels, apparaissant à partir des réels par adjonction d'un nouvel élément
Ils sont notamment utiles pour fournir un outil de dérivation automatique. Ils ont également des applications en physique.
Définition[modifier | modifier le code]
Tout nombre dual s'écrit de façon unique sous la forme z = a + b
Cependant, exp(b
Généralisation[modifier | modifier le code]
Représentation polynomiale[modifier | modifier le code]
Cette construction peut être étendue plus généralement : pour un anneau commutatif R, on peut définir les nombres duaux sur R comme le quotient de l'anneau de polynômes R[X] par l'idéal (X2) : l'image de X est alors de carré nul et correspond à l'élément
Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]
Avec cette description, il est clair que les nombres duaux sur R forment une R-algèbre associative et commutative de dimension 2, donc un anneau commutatif de même caractéristique que R (c'est-à-dire de caractéristique 0 dans le cas usuel où R est le corps des réels).
Le nombre dual z = a + b
L'anneau R[
Représentation matricielle[modifier | modifier le code]
Comme dans le cas des nombres complexes, on peut facilement représenter les nombres duaux sur R par des matrices. Le nombre dual z = a + b
L'addition et la multiplication des nombres duaux sont alors données par l'addition et la multiplication matricielle. Le produit de z par son « conjugué » z* := a – b
Différentiation[modifier | modifier le code]
Une application des nombres duaux est la dérivation automatique. Considérons les nombres duaux ci-dessus. Étant donné un polynôme réel quelconque , on peut étendre directement le domaine de ce polynôme des réels vers les nombres duaux. Ainsi, nous avons ce résultat : , où est la dérivée de . En calculant sur les nombres duaux, plutôt que sur les réels, nous pouvons utiliser ceci pour calculer les dérivées des polynômes. Plus généralement, nous pouvons définir la division sur les nombres duaux et ainsi, avoir accès à la définition des fonctions transcendantes des nombres duaux, en définissant
- .
En calculant les compositions de ces fonctions sur les nombres duaux et en examinant les coefficients de dans le résultat, nous voyons que nous avons automatiquement calculé la dérivée de la composition.
Applications en physique[modifier | modifier le code]
Les nombres duaux trouvent des applications en physique, où ils constituent un des plus simples exemples non triviaux d'un superespace (en). La direction le long de
Applications en cinématique[modifier | modifier le code]
Les nombres duaux trouvent des applications en mécanique, plus précisément en cinématique, en permettant de combiner des rotations et des translations. Par exemple, les nombres duaux permettent de transformer les équations d'entrée/sortie d'un mécanisme sphérique à quatre barres, qui ne comportent que des liaisons rotoïdes, en un mécanisme spatial à quatre barres (rotoïde, rotoïde, rotoïde, cylindrique). Les angles dualisés deviennent ainsi des assemblages d'une partie primitive, les angles, et d'une partie duale, qui possède des unités de longueur[1].
Voir aussi[modifier | modifier le code]
Articles connexes[modifier | modifier le code]
Références[modifier | modifier le code]
- (en) Jorge Angeles, « The Application of Dual Algebra to Kinematic Analysis », dans Computational Methods in Mechanical Systems: Mechanism Analysis, Synthesis, and Optimization, Springer Berlin Heidelberg, coll. « NATO ASI Series », (ISBN 9783662037294, DOI 10.1007/978-3-662-03729-4_1, lire en ligne), p. 3–32